山东省济宁市嘉祥县金屯镇中学 2024—2025 学年 九年级上学期 第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省济宁市嘉祥县金屯镇中学 2024—2025 学年 九年级上学期 第一次月考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程的一般形式是“，，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项”，由此问题可求解．
【详解】解：把化为一般形式为，
∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为；
故选D．
2. 下列各式中,y是x的二次函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：A、y是x的二次函数，故此选项正确；
B、不是二次函数，故此选项错误；
C、不是二次函数，故此选项错误；
D、不是二次函数，故此选项错误；
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 它的开口方向是向上
B. 当时，随的增大而增大
C. 它的顶点坐标是
D. 当时，有最大值是5
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象以及性质对各项进行判断即可．
【详解】A．由抛物线可看出，故开口向下，故此选项不符合题意；
B．当时，随的增大而增大，故此选项符合题意；
C．它的顶点坐标，故此选项不符合题意；
D．当时有最大值是5，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题的关键．
4. 若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（ ）
A. 9B. C. 0D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2，可以求得2a-b的值，从而可以求得6a-3b+6的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2，
∴a×（-2）2+b×（-2）+6=0，
化简，得2a-b+3=0，
∴2a-b=-3，
∴6a-3b+6=3（2a-b）+6=-9+6=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，灵活变化，建立所求式子与已知方程之间的关系．
5. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识，要注意根据一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论．当方程为一元一次方程时，可以得到；当方程为一元二次方程时，，根据一元二次方程根的判别式即可得到且，进而即可求出a的取值范围．
【详解】解：当方程为一元一次方程时，，此时方程有实数根；
当方程为一元二次方程时，，并且，
即，
解得，
∴且，
综上所述：关于x的方程有实数根，则a的取值范围是．
故选：A
6. 某品牌网上专卖店1月份营业额为50万元,已知第一季度的总营业额共600万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=600万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为50万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为50×（1+x），
∴三月份的营业额为50×（1+x）×（1+x）=50×（1+x）2，
∴可列方程为50+50×（1+x）+50×（1+x）2=600，
即50[1+（1+x）+（1+x）2]=600．
故选B．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7. 已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A. 7B. 10C. 11D. 10或11
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解方程得或，
当腰长为3时，则底边长为4，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为；
当腰长为4时，则底边长为3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为，
综上所述，的周长为10或11，
故选D．
8. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答.
【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是；
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.
9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键.
10. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程必有一根为0；
②若，则方程必有两个不相等的实数根．
③若方程有一根为，则方程必有两相等的实数根．
④若，则方程一定有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，则该一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，则该一元二次方程有两个相等的实数根，当时，则该一元二次方程没有实数根”，据此可解答．
【详解】解：①若，则方程变为，解得，因此该方程必有一个根为0的说法正确；
②若，则有或，所以该方程必有两个根和1，故原说法正确；
③若方程有一根为，则，整理得，所以该方程必有两个相等的实数根，故原说法正确；
④若，则，可知，故方程必有两个不相等的实数根，故原说法正确；
故选D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若二次函数，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．根据二次函数的定义得出，，求解即可．
【详解】解∶∵函数是二次函数，
∴，，
解得，
故答案为∶2．
12. 定义运算☆，若，，☆，则的值为___________．
【答案】2或
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，根据定义列得一元二次方程求解即可，正确理解题意掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：∵，，☆，
∴
整理得，
解得或，
故答案为2或．
13. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为．
考点：根与系数的关系．
14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据函数式得开口向下，对称轴为直线，即可得出三点到对称轴的距离，根据二次函数的增减性和对称性即可判断，，的大小关系．
【详解】的开口向下，对称轴为直线，
、、三点到对称轴的距离分别为3，4，1，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题的关键
15. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】设绳索长为尺，
可列方程为：，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16. 用适当的方法解方程．
（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）由题意易得，然后得出，进而根据求根公式即可求解；
（2）先移项，然后根据因式分解法可进行求解方程；
（3）根据方程可利用十字相乘法进行分解，然后即可求解方程．
【小问1详解】
解：
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
或，
解得：；
【小问3详解】
解：
或
解得：．
17. 某口置生产厂生产的口置一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口置需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个
（1）求口罩日产量的月平均增长率：
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【答案】（1）口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）预计四月份平均日产量为53240个．
【解析】
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1＋x）个，三月份平均日产量为40000（1＋x）2个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量＝三月份平均日产量×（1＋增长率），即可预计出四月份平均日产量．
【小问1详解】
解：设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1＋x）个，三月份平均日产量为40000（1＋x）2个，
依题意得：40000（1＋x）2＝48400，
解得：x1＝−2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
【小问2详解】
48400×（1＋10%）＝53240（个）．
答：预计四月份平均日产量53240个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18. 已知关于x的方程：．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）说明该方程的判别式大于等于零即可证明结论；
（2）利用因式分解法求出方程两个根，然后结合题意即可解答．
小问1详解】
证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴，
∵方程的两个实数根都是整数．
∴整数m的值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的个数与的关系和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】（1）当天可获利1692元
（2）
（3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解；
（2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解；
（3）根据（2）及题意可进行求解．
【小问1详解】
解：由题意得：（元）；
答：当天可获利1692元．
【小问2详解】
解：由题意得：
，
∴盈利与的函数关系式；
【小问3详解】
解：由（2）即题意得：
，
解得：，
∵为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
20. 如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象和性质推得点B的坐标是解题的关键．
（1）根据抛物线的顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）根根据点A和点B的坐标，结合三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为，
即抛物线的对称轴为，
故点，
设抛物线的解析式为：，
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：∵，，
∴．
21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值；
（3）若关于的方程（是常数）是“连根方程”，请直接写出之间满足的关系式．
【答案】（1）是连根方程
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，掌握“连根方程”的定义，是解题的关键．
（1）因式分解法解方程，根据“连根方程”的定义，进行判断即可；
（2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系进行求解即可；
（3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴是连根方程；
【小问2详解】
∵方程（是常数）是“连根方程”，
设的两个根为，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小问3详解】
方程（是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为：，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故．
22. 已知抛物线和
（1）如何将抛物线平移得到抛物线？
（2）如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．
①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
②若，求点的横坐标．
【答案】（1）见解析 （2）①存在，；②
【解析】
【分析】1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得；（2）①求出，代入求得，得到，当点M在上时，，最小，当时，，得到；②设交x轴于点N，，则，根据等腰三角形性质得到，得到，解得点的横坐标为．
【小问1详解】
将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到；
【小问2详解】
①存在，理由：
当时，
，
∴，
代入，
得，
∴，
∴，
当点M在上时，
，最小，
∵对称轴为直线，
∴，
∴；
②设交x轴于点N，，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴点的横坐标为．