陕西省西安市高新一中初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(解析版)-A4
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这是一份陕西省西安市高新一中初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(解析版)-A4,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 的相反数是( )
A. 23B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相反数,熟练掌握相反数的定义是解本题的关键.利用相反数的定义判断即可.
【详解】解:有理数的相反数是23.
故选:A.
2. 如图,已知直线,将一个含有角的直角三角板按照如图所示放置,已知,则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质,由三角形外角的性质得出,从而求出的度数,熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键.
【详解】解:,
,
故选:C.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、乘法分配律、合并同类项,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法,计算出正确的结果.根据积的乘方、同底数幂的乘法、乘法分配律、合并同类项逐一判断即可求解.
【详解】、与不是同类项,不能合并,故此选项不符合题意;
、,故此选项不符合题意;
、,故此选项不符合题意;
、,故此选项符合题意;
故选:.
4. 下列条件中,能判定是菱形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质、菱形的判定等知识,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可.
【详解】解:∵四边形是平行四边形,
∴A.当时,不是菱形,故选项A不符合题意;
B. 当时,四边形是菱形,故选项B符合题意;
C.当时,不是菱形,故选项C不符合题意;
D. 当时,不是菱形,故选项D不符合题意.
故选:B.
5. 已知直线与直线相交于点,则关于x,y的二元一次方程组的解为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系,首先把代入,求出a的值,进而得到交点坐标,再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案.
【详解】解:∵直线经过点,
∴,
解得,
∴交点坐标为,
∴关于x,y的二元一次方程组的解为,
故选:A.
6. 如图,在中,,,平分,交于点E,交于点F,若,,则的长为( )
A. B. 4C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理等知识,关键是推出.
根据三角形的内角和定理得出,,根据角平分线和对顶角相等得出,即可得出.
【详解】解:∵,,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴.
故选:B.
7. 如图,是的弦,连接,弦上有一点,连接并延长与过点的的切线交于点,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识,连接,根据切线的性质得出,根据等腰三角形的性质求出,可得,再根据即可解决问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题.
【详解】解:连接,
∵是的切线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
故选:C.
8. 二次函数(为常数,且)中与的部分对应值如表:
①;②;③;④当时,,下列结论中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式以及二次函数的性质,利用待定系数法求出、、的值,再逐项分析判断即可,熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性是解题的关键.
【详解】解:将、、代入二次函数解析式得:
,解得,
∴二次函数解析式为.对称轴为,开口向下,最大值,
①,正确;
②,正确;
③,错误;
④∵,与轴交点,开口向下,
∴当时,,正确.
正确的有3个,
故选:C.
二、填空题(共5小题,每题3分,计15分)
9. 已知实数在数轴上对应的点的位置如图所示,则_____.(填“”“”或“”)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、利用数轴比较实数的大小,由题图数轴可知,,由距离原点的长度比距离原点的长度大得出,即可得解,采用数形结合的思想是解此题的关键.
【详解】解:由题图数轴可知,,
∵距离原点的长度比距离原点的长度大,
∴.
故答案为:.
10. 如图,正八边形中,连接,交于点,则的值为____________________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆、等腰直角三角形的性质,根据正八边形的性质证明和是全等的等腰直角三角形,进而可以解决问题,得到和是全等的等腰直角三角形是解此题的关键.
【详解】解:∵是正八边形,连接,交于点,
∴,
∴,
∴,
∴和是全等的等腰直角三角形,
∴,
∴,
故答案为:.
11. 我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一些诗歌形式的算题,其中有一个“白羊问题”:甲赶羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后;戏剧问甲及一百否?甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群.得你一只来方凑,玄机奥妙谁猜透.题目的意思是:甲赶了一群羊在草地上往前走,乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面.乙问甲:“你这群羊有一百只吗?”甲说:“如果再有这么一群,再加半群,又加四分之一群,再把你的一只凑进来,才满100只.”请问甲原来赶的羊一共有_____只?
【答案】36
【解析】
【分析】设甲原来赶的羊一共有x只,根据“如果再有这么一群,再加半群,又加四分之一群,再把你的一只凑进来,才满100只”建立方程,然后解方程即可得.
【详解】设甲原来赶的羊一共有x只
由题意得:
解得
则甲原来赶的羊一共有36只
故答案为:36.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,依据题意,正确建立方程是解题关键.
12. 在平面直角坐标系中,反比例函数与交于点与点,若点为边的三等分点,连接,若的面积为6,则的值为 _______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,作轴,垂足为,轴,垂足为,则轴,得出点为的三等分点,设,则,,根据的面积为12,求解即可.
【详解】解:作轴,垂足为,轴,垂足为,
,
∴轴,
∵点为边的三等分点,
∴点为的三等分点,
设,
∴,,
∵的面积为6,
∴的面积为12,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
13. 如图所示,在矩形中,,,是边上的一个定点,且,作,分别交边于点,连接.当取最大值5时,则的长为 _____.
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、确定圆的条件、解直角三角形等知识,作于,连接,则,,从而得出越大,越小,越大,证明出,得出,从而得出越大,越大,越大,即当点在处时,最大,证明,得出,从而得出,结合得,,即可得解.
【详解】解:如图,作于,连接,
,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴越大,越小,越大,
∵,
∴共圆,
∴,
∴,
∴越大,越大,越大,
∴当点在处时,最大,如图2,
,
∵四边形四边形是矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵得,,
∴,
故答案为:1.
三、解答题(共10小题,计81分)
14. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算,负整数指数幂,先化简各式,然后再进行计算即可得出答案,熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键.
【详解】解:
.
15. 解不等式组.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
【详解】解:,
解不等式得,
解不等式得,
则不等式组的解集为.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
16. 如图,某校一面长的墙前有一块空地,校方准备用长的栅栏围成一个一面靠墙的矩形花圃(除围墙外,实线部分均为栅栏,且不浪费栅栏,栅栏厚度忽略不计),矩形中种植矮牵牛,矩形中种植千日红,矩形作为水池给两块矩形花圃浇灌.已知,,花圃的种植总面积(除水池外)为,则的长为多少?
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,设的长为,则,,,根据“花圃的种植总面积(除水池外)为”列出一元二次方程,解方程即可得出答案,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解此题的关键.
【详解】解:设的长为,则,,,
由题意得:,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去),
答:的长为.
17. 秦腔,别称“梆子腔”,是中国汉族最古老的戏剧之一,也是国家级非物质文化遗产之一.小博和小雅两位同学都是秦腔的爱好者,准备一起参加学校的文艺汇演,他们共同熟悉的曲目有《八义图》《和氏璧》《临潼山》《三娘教子》,他们设计了如下活动:在四张卡片的正面分别写有A:《八义图》,B:《和氏璧》,C:《临潼山》,D:《三娘教子》(这四张卡片除正面标记外,其余都相同),将这四张卡片背面朝上,洗匀.
(1)小博从这四张卡片中随机抽出一张卡片,这张卡片的正面所写的曲目是C:《临潼山》的概率为 ;
(2)小博和小雅通过活动决定若两人抽出同一个曲目,则两人共同出演此节目.小博从这四张卡片中随机抽出一张,记下卡片正面所写曲目后,放回,背面朝上,洗匀.然后小雅从中随机抽出一张,请用画树状图或列表的方法,求小博和小雅共同出演的概率为多少?
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率,简单的概率计算,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
(1)直接利用概率公式可得答案.
(2)根据题意列出表格得出共有16种等可能的结果,其中小博和小雅抽到同一个曲目的结果有4种,再利用概率公式可得出答案.
【小问1详解】
解:∵共有4张卡片,且每张卡片被抽取的可能性相同,
∴随机抽出一张卡片,卡片的正面所写的曲目是C:《临潼山》的概率为;
故答案为:;
【小问2详解】
解:由题意,列表为:
共有16种等可能的结果,其中小博和小雅抽到同一个曲目的结果有4种,
∴小博和小雅共同出演的概率为.
18. 一天中午,小旭和小华两人想利用所学知识测量当地一座古塔的高度(古塔的底部不可到达),如图所示,小旭先在塔影子的顶端C处竖立长为的标杆,测得标杆的影长为,此时小华在标杆的影子顶端E处放置测角仪,测得塔顶端B的仰角为,已知测角仪EF的高度为,,,,点A,C,E在同一水平直线上,求该古塔的高度.(参考数据:,,)
【答案】约为;
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用,根据影长比得到,设,表示出,在中结合三角函数求解即可得到答案;
【详解】解:如图:
设,
由题意得:,
∴,
∴,
由题意得:,,,
∴,
在中,,
∴,
∵,
∴,
解得:,
∴,
∴,
∴该古塔的高度约为.
19. 2022年10月12日,“天宫课堂”第三课开讲.为了激发学生的航天兴趣,某校举行了太空科普知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分为如下组(满分分),组:,组:,组:,组:,组:,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:
(1)频数分布直方图中__________,所抽取学生成绩的中位数落在__________组:
(2)补全学生成绩频数分布直方图.
(3)若成绩在分及以上为优秀,学校共有名学生,估计该校成绩优秀的学生有多少人?
【答案】(1)
(2)见解析 (3)估计该收成绩优秀的学生有人
【解析】
【分析】(1)频数分布直方图中的人数是,所占百分比是,由此可求出总体人数,根据中位数的计算方法即可求解;
(2)已知总体人数,根据频数分布直方图中各组人数即可求出组人数;
(3)根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解.
【小问1详解】
解:本次调查一共随机抽取的学生总人数为:(名),
∴组的人数为:(名),
∴.
∵所抽取学生成绩的中位数是第个和第个成绩的平均数,.
∴所抽取学生成绩的中位数落在组,
故答案为:.
【小问2详解】
解:组的人数为:(人).
补全学生成绩额数分布直方图如下:
【小问3详解】
解:(人).
∴估计该校成绩优秀的学生有人.
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识,理解频数分布直方图,饼图的相关信息,掌握运用样本百分比估算总体数量,求中位数分方法是解题的关键.
20. 声音在空气中的传播速度与温度之间近似满足一次函数关系.经实验得到当温度为时,声音的传播速度约为;当温度下降至时,声音的传播速度约为.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)某人在距政府规划的烟花集中燃放地处看烟花,当此时的温度是时,那么烟花绽放声响几秒后可以传到此人所站的地方?
【答案】(1)
(2)5秒
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是待定系数法求一次函数的解析式.
(1)根据近似满足一次函数关系,设与之间的函数关系式为,待定系数法求解即可;
(2)将代入函数关系式可得出,再根据时间路程速度,进而求解.
【小问1详解】
解:设与之间的函数关系式为,
根据题意得,
解得,
∴与之间的函数关系式为;
【小问2详解】
解:当时,,
(秒),
∴烟花绽放声响5秒后可以传到此人所站的地方.
21. 如图,是的外接圆,的半径为,,,直径与交于点,过点作交于点.
(1)求证:;
(2)求的长.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理,正确地作出辅助线是解此题的关键.
(1)连接,则,根据圆周角定理得出,求得,得到;
(2)根据直角三角形的性质得到,,连接,根据圆周角定理得到,再根据勾股定理即可得出结论.
【小问1详解】
证明:连接,
则,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∵,
∴,,
连接,
,
∵是的直径,
∴,
∵,
,
∴,
∴.
22 如图①,抛物线:与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,若为抛物线顶点,连接及,求证:;
(3)如图③,在平面内放置一块玻璃片,并用记号笔画出遮盖部分的抛物线,再将玻璃片向上平移个单位长度,使与的三边有两个交点,请求出的取值范围.
【答案】(1)
(2)见解析 (3)或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,相似三角形的判定,函数图象的平移,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
(1)利用待定系数法求函数的解析式即可;
(2)利用三边分别成比例证明三角形相似即可;
(3)由题意可知的解析式为,当经过原点时,与有一个交点;当经过点或时,与的三边有三个交点;当与轴有一个交点时,顶点在轴上,与的三边有两个交点;直线与抛物线有唯一交点时,与的三边有两个交点;即可得出答案.
【小问1详解】
解:将,代入,
∴,
解得,
∴抛物线表达式为;
【小问2详解】
证明:∵,
∴顶点,
当时,,
∴,
∵,,
∴,,,,,,
∴,
∴;
【小问3详解】
解:由题意可知的解析式为,
当经过原点时,,解得,
此时与有一个交点,
当经过点时,,解得,
当经过点时,,解得,
∴当时,与的三边有三个交点,
∴时,与的三边有两个交点;
当与轴有一个交点时,顶点在轴上,
∴,解得,此时与的三边有两个交点;
直线解析式为,
当有唯一解时,,
解得,
∴时,与的三边有两个交点;
综上所述:或时,与的三边有两个交点.
23. 问题提出
(1)如图①,为等腰三角形,以为直径作半圆O,点C、D在半圆O上,连接、、,过点C作与交于点E,若,,求长.
问题解决
(2)为了迎接省运会,某公园门口摆放花草绿植,布置以省运会为主题的绿植区,营造运动气氛.如图②,是一个面积为的圆形广场,点O为圆心,广场内有一个四边形绿植区,连接、,点E是上的一点,已知和均为等边三角形,按布置计划,放置月季花,放置绣球花,其余部分放置造型绿雕.为了造型的美观性,需要面积尽可能得大,求出面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】(1)证明,得出,,求出,根据等腰直角三角形的性质求出结果即可;
(2)证明,得出.说明要使得面积的最大值,只要面积最大,得出D到最远.即当为直径时符合题意,求出此时的最大值即可.
【详解】解:(1)∵是直径,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴.
∴,,
∵,
∴.
在中,
∵,
∴.
(2)由题意,,
∴,即,
∵,
∴.
又∵,
∴,
∴.
要使得面积的最大值,
∴只要面积最大,
∴D到最远.
∴当为直径时符合题意.
∴,此时E与圆心O重合.
如图,由圆的面积为,
∴圆的半径,
由题意可得,,
又∵,
∴是等边三角形.
∴,
∵,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴此时最大值为:.
…
0
1
3
…
…
3
5
3
…
A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
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