云南省昆明市第一中学2025届高三上学期第四次联考（11月）数学试题（解析版）-A4

这是一份云南省昆明市第一中学2025届高三上学期第四次联考（11月）数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 在的展开式中常数项为， 已知是函数的零点，则等内容，欢迎下载使用。
命题人：昆一中数学命题小组
审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 崔锦
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：B
2. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三个数值可以借助中间值来比较大小.
【详解】因为，所以.
故选：B.
（人教A版必修一教材35页教材习题9）
3. 已知集合，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据列式，由此求得的值.
【详解】由得，
所以或，
解得.
故选：C
4. 正四棱锥的棱长均为分别是的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据四棱锥的性质，在中，求得三边长，再利用直角三角形边角关系求解.
【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，
在中，，所以，即，
所以，即点到直线的距离为.
选：C.
5. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由复数的几何意义和模长公式可得，结合的范围，即可得出答案.
【详解】解析：设，则，
，
所以，
因为，所以，
所以的最大值为.
故选：D.
6. 在的展开式中常数项为（ ）
A. 721B. -61C. 181D. -59
【答案】D
【解析】
【分析】先求出展开式的通项公式=,其中的展开式的通项公式为，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值.
【详解】=的展开式的通项公式为
=，
其中的展开式的通项公式为，
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项；
故常数项为++.
故选：D
7. 已知是函数的零点，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用构造函数法，结合导数列方程来求得正确答案.
【详解】由得，，即，
令，，所以在上单调递增，
因为是的零点，所以，即，
又在上单调递增，所以.
故选：A
8. 满足不等式的有序整数组的个数为（ ）
A. 231B. 267C. 334D. 377
【答案】D
【解析】
【分析】根据中的个数进行分类，分四种情况讨论，相加即可.
【详解】若全为0，则有序整数组的个数为1个；
若有两个为0，则有序整数组的个数为个：
若有1个为0，则有序整数组的个数为个；
若中没有0，易知或4或5或6，则有序整数组的个数为，
所以有序整数组的个数共有个.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表：
记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案.
【详解】由题，有，
.
故选：AC
10. 在平面直角坐标系中，为圆与轴的交点，点为该平面内异于的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线方程
B. 若，则曲线的离心率为
C. 若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为
D. 若，过原点的直线与曲线交于两点，则面积最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据斜率的乘积、双曲线、椭圆、三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题，设Px,y，有，且.
对于A，，即，A错误；
对于B和C，，即，
所以离心率为，渐近线方程为，B和C正确：
对于D，，即，
设直线的方程为，有，则，
所以，
而点到直线的距离为，所以，
所以当时，面积取最大值，D正确.
故选：BCD
11. 已知正项数列满足，记，则（ ）
A. 是等差数列B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先将递推式整理成，即可判断A；设等差数列的公差为，写出通项，利用裂项相消法求出，结合即可求出，进而得到，从而判断BC；构造函数，，利用导数分析得到，对不等式放缩，再结合裂项相消法即可判断D.
【详解】因为，
所以，即，
即，所以数列为等差数列，故A正确：
设等差数列的公差为，又因为，
所以，则，
所以，
所以
，
则，所以，
所以，所以，故B错误；
由，故C正确：
设，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，，
所以，
又因为
，
，
即，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于构造函数，，利用导数得到，进而进行放缩，结合裂项相消法求和即可求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据全概率公式以及对立事件的概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
（人教A版选择性必修二教材56页教材习题9）
13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成（简称为步“刨程”）.设第一个正整数为，按“冰雹猜想”的运算方法，第步得到的数记为，若，则可以是__________.（只需满足条件的一个值即可）
【答案】（中任一个）
【解析】
【分析】采用逆运算的方法，利用树形图求得正确答案.
【详解】由题意得：确定一个经过步运算，使得的正整数，
因此，采取逆运算的方法，即由1出发对该数作乘以，
或者减去后除以（这时要求结果为正奇数）的运算，
将此逆运算次的情形列成如图所示的树形图，
即得可以是.
故答案为：（中任一个）
14. 已知点是抛物线的焦点，过定点的直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在动点，使得四边形为平行四边形，则定点坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，直线，联立直线和抛物线的方程求出，由四边形为平行四边形可知代入坐标化简可得，再结合在抛物线上即可得出答案.
【详解】解析：设，直线，
因为，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以
所以，
所以.
代入，有，所以，
所以过定点12,0.
故答案为：12,0.
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为.
（1）求与的样本相关系数；
（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.
附：①回归方程中：
②样本相关系数
③若，则
④
【答案】（1）
（2）652
【解析】
【分析】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得；
（2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，所以，
所以
【小问2详解】
因为，，
所以，解得，即，
因为，所以，
所以数学成绩服从正态分布，
因为
，
所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人.
16. 在中，角所对的边分别为是的面积，且满足.
（1）证明：；
（2）若，求角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式和两角和的正弦公式化简已知式可得，再代入余弦定理可得，最后由正弦定理和两角和与差的正弦公式化简即可得出答案.
（2）由得，代入，结合二倍角的正弦公式和余弦公式化简即可得出答案.
【小问1详解】
因为，所以，
，，可得.
由余弦定理可得，
即.由正弦定理得，
即
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
由得.
因为，
所以，
所以，
展开得，
，，，
，
，
可得.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，，，.
（1）证明：；
（2）若是线段上的动点，且，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在平面内取一点，分别在平面内作，，利用面面垂直和线面垂直的性质推导出，，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）过点在平面内作，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法结合二次函数的基本性质可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【小问1详解】
如图，在平面内取一点，分别在平面内作，，
垂足分别为点、，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以
【小问2详解】
过点在平面内作，
由因为平面，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为
、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，则，
因为，，、平面，所以，平面，
所以平面的一个法向量为，
由题易得、、、，则，
设，则，
设直线与平面所成的角为，
，
所以线与平面所成的角的正弦值的取值范围是.
18. 已知，，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：.
【答案】（1）极小值为0，无极大值.
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）把代入函数中，并求出f′x，根据f′x的正负得到的单调性，进而求出的极值.
（2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数y=gx的单调性和极值，画出y=gx的大致图象，数形结合求解即可.
（3）求出f′x，并得函数y=fx在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对hx求导证明即可.
【小问1详解】
当时，，定义域为，求导可得，
令，得，
当时，f′x0，函数在区间0,+∞上单调递增，
所以y=fx在处取到极小值为0，无极大值.
【小问2详解】
方程，
当时，显然方程不成立，
所以，则，
方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，
，
当或时，，
在区间和0,1上单调递减，
并且时，gx0，
当时，，在区间1,+∞上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数y=gx的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，
故的取值范围为.
【小问3详解】
证明：，由，得，
当时，，当时，，
所以函数y=fx在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立
所以函数hx在R上单调递增.
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以，即得证.
（人教A版选择性必修一教材113页例6）
19. 平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点作不垂直于轴的直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，设动点，结合题意列出等式并化简即可求出轨迹方程；
（2）借助等差数列定义，可将证明等差数列问题转化为证明，讨论直线斜率是否存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立曲线得到方程组，设而不求，利用韦达定理即可证明.
【小问1详解】
设动点，由题意可得，
化简整理得：，
所以动点的轨迹方程为；
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，的坐标分别为，则，
即，所以成等差数列；
当直线斜率存在时，设直线：，，
联立直线和椭圆方程，化简得，
则，
，
，
即，所以成等差数列；
综上，成等差数列.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
班级
人数
平均分
方差
甲
60
130
1
乙
40
120
2