内蒙古包头市青山区第一中学（北方重工业集团有限公司第一中学）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份内蒙古包头市青山区第一中学（北方重工业集团有限公司第一中学）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）
1. 一元二次方程配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法的运用，先把等式左边的4移项到右边，再加上一次项系数的一半的平方即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
同时加上一次项系数的一半的平方得，，
∴，
故选：C ．
2. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若，则四边形是矩形B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形D. 若，则四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键．
根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得．
【详解】解：由作图知，，
∵，
∴，
在平行四边形中，当时，
，
∴四边形不一定是矩形，
故A不符合题意；
当时，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
故B符合题意；
当时，
平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
故C不符合题意；
当时，
平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形不一定是菱形，
故D不符合题意；
故选：B．
3. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票房，设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，由题可得：
，
故选：D．
4. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，，则下列结论错误是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例判断即可．
【详解】解：∵直线，，，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，，，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
5. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得x=6．
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
6. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再将化为，最后整体代入即可求解．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
即，
，
，
故选：A．
8. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在中，，在中，，在中，，从而即可得出结论．
【详解】解：过作于点，延长到上于一点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确，，
∴，故③正确，
∴，
∵，
∴，即，故②正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知，则的值为___________．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查了比例性质，设，用含的式子表示，代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，设，
∴，
∴，
故答案为： ．
10. 一个四边形各边长为，另一个和它相似的四边形最长边为，则四边形最短边长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据对应边成比例可得相似比为13，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形与四边形是相似图形，
∴相似比为，
∴四边形最短边长为，
故答案为： ．
11. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把x=0代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得，由此即可求解．
【详解】解：把x=0代入一元二次方程得，，且，
解得，，且，
∴，
故答案为： ．
12. 圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之，刘徽，韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果，
∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
13. 如图，在平行四边形中，，是的垂直平分线，且的长是一元二次方程的一个根，则平行四边形的周长为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，因式分解法求一元二次方程的根．
根据因式分解法解一元二次方程得，可得，再根据等腰直角三角形，垂直平分线的性质，勾股定理可得，，，结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：，
变形得，，
移项得，，
提取公因式得，，
∴或，
解得，，
∵的长是一元二次方程的一个根，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，则，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形的周长为，
故答案为： ．
14. 如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿AB以的速度向点运动，同时动点从点出发沿CA以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出，再根据相似三角形的判定，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可．
【详解】解：点从的运动时间为，点从的运用时间为，
设运动时间为，
∴，
∵是钝角三角形，
∴，
∵是公共角，
∴当时，，
∴，
解得，，符合题意；
当时，，
∴，
解得，，符合题意；
综上所述，当运动时间是或时，以为顶点的三角形与相似，
故答案为：或 ．
三、解答题（共6题，共58分）
15. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查公式法，因式分解法求一元二次方程，
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）先将等于右边提取公因数2，然后移项，再提取公因式，根据因式分解法求一元二次方程的解方法即可求解
【小问1详解】
解：，
∴，，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：，
等于右边提取公因式得，，
移项得，，
提取公因式得，，即，
∴或，
解得，．
16. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
（1）
请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有________人；
②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．
（2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
【答案】（1）①240，②36
（2）600 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等．
（1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小；
（2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．
小问1详解】
解：人，
∴参加问卷调查的学生人数是240人，
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：240，36；
【小问2详解】
解：人，
∴样本中最喜欢A课程的人数为60人，
∴样本中最喜欢C课程的人数为人，
∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人；
【小问3详解】
解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种，
∴恰好甲和丁同学被选到概率为．
17. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少？
（2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．
【答案】（1）6m （2）20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得 ，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
【小问2详解】
解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元，
根据题意得， ，
整理得，，
解得或（舍去）．
答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元．
18. 如图，在中，对角线与交于点O，点E是延长线上的一点，连接、，且，分别延长、交于点F．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）本题考查菱形的判定，证明即可得到证明；
（2）本题考查三角形相似的判定，根据菱形的性质及得到即可得到证明；
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：在菱形中，，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 如图，在中，点为的中点，过点作，延长到点使，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）先求出，再在中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，
∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵是的中点，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
20. 等腰，为的中点，小慧拿着含角的透明三角板，使角的顶点落在，三角板绕点旋转．
（1）如图，当三角板的两边分别交于点时，求证：；
（2）操作：将三角板绕点旋转到图情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点，
①探究1：与还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接，与是否相似？请说明理由；
③设，的面积为，试用的代数式表示（直接写出答案即可）
【答案】（1）证明过程见详解
（2）①探究1：，理由见详解；②探究2：，理由见详解；③
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，，可得，根据，可得，结合相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）①探究1：证明方法同（1），即根据等腰三角形，三角形的内角和定理，平角的性质可得 ，由此即求解；
②探究2：由①的证明可得，则有，根据，可得，根据两边对应成比例，其夹角相等，两三角形相似即可求解；
③根据，可得是的角平分线，如图所示，过点作于点，延长线于点，连接，根据角平分线的性质定理可得，由等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质可得，再根据三角形的面积的计算方法即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等腰三角形，，
∴，
在中，，
∵，且，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①探究1： ，理由如下，
根据（1）的证明可得，，，
∴，
∴；
②探究2：，理由如下，
由①的证明可得，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，且，
∴；
③由②可得，
∴，即是角平分线，
如图所示，过点作于点，延长线于点，连接，
∴，
∵是等腰三角形，，，点是的中点，
∴，，
∴，
∴在中，，即，
在中，，
∴，，且，
∴，即．
甲
乙
丙
丁
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）