山东省济南市长清区第三初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省济南市长清区第三初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列各组线段中，成比例的是（ ）
A. 2cm，3cm，4cm，5cmB. 2cm，4cm，6cm，8cm
C. 3cm，6cm，8cm，12cmD. 1cm，3cm，5cm，15cm
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【详解】解：A、∵，∴选项A不成比例；
B、∵，∴选项B不成比例；
C、∵，∴选项C不成比例；
D、∵，∴选项D成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是掌握判断四条线段是否成比例的方法．
2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案．
【详解】
即
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键．
3. 小刚、小强计划利用暑期从A，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图可知共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率，
故选：B．
4. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根和判别式的关系是解题的关键．根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，即可求出结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，
解得：且，
故选：B．
6. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用以及勾股定理与网格．
【详解】解：依题意，按小到大排序：
A、按小到大排序：，
∵
∴三角形（阴影部分）不与图中相似；
故该选项是错误的；
B、按小到大排序：，
∵
∴三角形（阴影部分）与图中相似；
故该选项是正确的；
C、按小到大排序：，
∵
∴三角形（阴影部分）不与图中相似；
故该选项是错误的；
D、按小到大排序：，
∵
∴三角形（阴影部分）不与图中相似；
故该选项是错误的；
故选：B．
7. 某地区2023年投入教育经费1000万元，为了发展教育事业，该地区之后每年教育经费的年增长率均为，预计2025年将投入2500万元，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用该地区预计到2025年将投入的教育经费金额等于该地区2023年投入的教育经费金额×(1+该地区每年教育经费的年增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该地区每年教育经费的年增长率均为，则2024年的教育经费为，
所以2025年的教育经费为，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作于点，则点三点共线，则有，，，，通过线段和差得到，，由，证明，最后由相似三角形的性质得出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作于点，则点三点共线，

由题意得：，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即此时液面宽度为，
故选：．
9. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金比例求解即可．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，
∴它的宽，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
10. 如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折可求出的长度、E为CG中点、，从而推出，继而求出CP的长度，再利用勾股定理即可求出PG长度，又因为，所以EF为PG的一半，即可选择．
【详解】根据题意可知：，
∴ ，
由翻折可知，，即E为GC中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴CP= ，
∵，
又∵，E为GC中点，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质．利用翻折的特点证明，从而求出CP的长度是解题的关键．综合性较强．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11. 已知线段、满足，则________．
【答案】32
【解析】
【详解】此题考查比例知识
，
答案
12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：根据题意得且，
∴且．
故答案为：且．
13. 在一个不透明盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸棋实验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在20%，估计白色棋子的个数为___________；
【答案】20
【解析】
【分析】先根据摸到黑色棋子的频率稳定在20%求出棋子的总个数即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．
14. 如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
【答案】1
【解析】
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
15. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是______
【答案】##2
【解析】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，根据得到的两个矩形都和原矩形相似，有，计算求解即可．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
∴对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
16. 如图所示，在矩形中，，，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进，小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则_____秒．
【答案】2或5##5或2
【解析】
【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，从而解得所需的时间．
【详解】解：①若，
则，
即，解得；
②若，
则，
即，解得．
故答案为：2或5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
∵，
∴，即，
则，
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴，
则或，
解得．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握方程的四种解法是解题的关键．
18. 若，且，求的值是多少？
【答案】8
【解析】
【分析】设，则，再根据求得k的值，进而得出a、b、c的值，然后代入求解即可．
【详解】解：设，则
∵
∴，解得：k＝2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了比例的性质及代数式求值，解题的关键是根据题意设未知数求出k的值．
19. 如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长．
【详解】解：，
，即，
．
20. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】（1）养鸡场的宽是10m，长为15m；（2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析
【解析】
【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝75时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
21. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查正方形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
22. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）72 （3）560
（4）
【解析】
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
【小问2详解】
，
故答案为：72；
【小问3详解】
（人），
故答案为：560；
【小问4详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）月平均增长率是
（2）售价应降低20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设月平均增长率是，利用3月份的销售量月份的销售量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
【小问1详解】
设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是．
【小问2详解】
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低20元．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3， AF=2， 求AE的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）和中，易知（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．
【详解】（）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴．
（）解：四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
在中，
，
∴．
25. 如图，在中，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（）

（1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）．
（2）当t为何值时，的长为5？
（3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由动点的运动起点、速度、方向可得，据此即可求解；
（2）在中，利用勾股定理即可求解；
（3）根据即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
∴
故答案为：
小问2详解】
解：在中，由勾股定理得：
，解得：
∵
∴当时，；
【小问3详解】
解：由题意得，
解得：（不合题意，舍去）
∴当，使得的面积为4cm2
【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解．
26. （1）如图1，和都等边三角形，连接，．求证：．
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，．请直接写出的值．
（3）如图3，和都是直角三角形，，且．连接．求的值；

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，进而得出结果；
（3）①先证明，再证得，进而得出结果．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，，
，
，