初中数学北师大版（2024）九年级下册1 锐角三角函数教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册1 锐角三角函数教案设计，共7页。教案主要包含了情境导入，观察与思考等内容，欢迎下载使用。

课题
1.1 锐角三角函数（1）
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；
2.能够根据正切的概念进行简单的计算；
3.能运用正切、坡度解决问题.
重点
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值.
难点
能运用正切、坡度解决问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
知识探究
一、情境导入
智者乐水，仁者乐山 观察图片
衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
二、观察与思考：
问题：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？
高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断：
水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.
（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？
水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断：
梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
【合作探究】如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；
而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2） 和有什么关系? =
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢?
==
由此你得出什么结论?
结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
学生思考并回答问题.并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识.
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力.
讲授新课
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数
在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即
tanA= QUOTE

注意：tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．以后学的 sin A， cs A 也是这样.
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（tan A不是tan乘以A）；
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
结论：tan A的值越大，梯子越陡.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握正切函数的定义与相关概念.
讲授知识，让学生掌掌握理解和掌握正切函数额定义与相关概念.
例题讲解
【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,tan α=
乙梯中,tanβ=
∵tanβ＞tanα，∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；
可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.
扩展知识
正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是:
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
【例2】如图，某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55 m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
解：i=tan A=
借助例题，认真思考，将新课与扩展知识相结合起来.
巩固加深本节课的教学内容，同时借助扩展，扩展学生的知识面.
随堂练习
1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ）

2.如图,P是的边 OA 上一点，点P的坐标为
，则 =__________.
3.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
5.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
6.如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.
(1）求S与x的函数关系式；
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
课堂小结
1.在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即
tanA=
2.tanA：大小只与∠A的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
板书
锐角的三角函数——正切函数
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即
tanA=
2.tanA：大小只与∠A的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.
借助板书，让学生知识本节课的重点.
课后练习
教材第4页随堂练习第1.2题.
教材第4页习题1.1第1.2.4题.