初中数学北师大版（2024）九年级下册5 三角函数的应用教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册5 三角函数的应用教学设计，共8页。教案主要包含了思考问题等内容，欢迎下载使用。

课题
1.5 三角函数的应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；
2.能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
重点
灵活运用锐角三角函数解决实际问题.
难点
灵活运用锐角三角函数解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
知识探究
直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.
下面我们就来看一个问题
(多媒体演示泰坦尼克号).
【思考问题】与方向角有关的实际问题
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险.
根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.
∵tan55°=，tan25°=
∴BD=xtan55°，CD=xtan25°
∴ xtan55°- xtan55°=20
∴x=（海里）
答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
学生思考并回答问题.并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识.
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力.
讲授新课
例题讲解
从刚刚思考问题探究中，我们可以发现：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
【思考问题】与仰角、俯角相关的测量与计算
如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m).
现在你能完成这个任务吗?
要解决这问题，我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?
解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,
则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.
∵tan∠ADC=，tan∠BDC=
∴AC=xtan60°，BC=xtan30°
∴ xtan60°- xtan30°=50
∴x=（m）
答:该塔约有43 m高.
【思考问题】利用倾斜角解决实际问题
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01 m).
1.现在你能完成这个任务吗?
2.请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?
可以将实际问题转化成数学问题，再解决.
转化后的问题：
如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4 m.
求(1)AB-BD的长. (2) AD的长.
解：（1）∵sin40°=，∴BC=BDsin40°
∵sin35°=
∴AB=，
∴AB-BD 4.48-4=0.48（m）
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
（2）∵tan40°=，∴DC=
∵tan35°=，∴AC=
∴AD=AC-DC=BC（-）
=BDsin40°（-），
答:楼梯多占约0.61 m长的一段地面.
【小结】用三角函数知识解决问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数解决实际问题.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.
讲授知识，让学生熟练利用探究会用锐角三角函数解决实际问题.
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.
随堂练习
随堂练习
随堂练习
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝____，cs A＝____，tan A＝____，tan B＝____．
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( c )
A．40海里 B．40海里
C．80海里 D．40海里
3.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( A )
A．100 m B．50 m
C．50 m D.100 m
4.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20 m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）
解：设DB=x m，则
在Rt△ADB中，AB=xtan60°=x m，
在Rt△ACB中，=tan30°，即=，
整理得，3x=x+10，解得，x=5，则AB=5m．
故，建筑物AB的高度是5m．
5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)
解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000(米)，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000(米)，
∴AB＝BD－AD＝2000(米)．
答：此时渔政船和渔船相距2000米.
6.如图4-21， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D．
设CD = x.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，
∴AD=.
同理，在Rt△BCD中，AD=.
∵AB=AD-BD，∴=40.解得x=20
又20≈34.64>30.
因此，该船能继续安全地向东航行．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
中考链接
1.某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）
解：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×=，
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4-4≈1.66．
答：改善后滑板会加长1.66米．
2.如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东53°方向行走258 m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172 m将快递送至C楼，求此时快递员到小路MN的距离．（计算结果精确到1 m．参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73）
解：过B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E，过B作BF⊥EC于F，
则四边形DEFB是矩形，∴BD＝EF，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m，
∴BD＝AB•sin53°＝258×0.8＝206.4，
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172，
∴CF=BC＝86，
∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86＝120.4 m，
答：快递员到小路MN的距离是120.4 m．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
2.三角函数的应用：
（1）与方向角有关的实际问题；
（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；
（3）利用坡角解决实际问题.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
板书
三角函数的应用
1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
2.三角函数的应用：
（1）与方向角有关的实际问题；
（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；
（3）利用坡角解决实际问题.
借助板书，让学生知识本节课的重点.
课后练习
教材第21页习题1.6第题.