北师大版（2024）九年级下册第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式教学设计

这是一份北师大版（2024）九年级下册第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式教学设计，共7页。教案主要包含了新知讲解等内容，欢迎下载使用。

课题
2.3 确定二次函数的表达式
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的三种方法；
2.能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.
重点
灵活运用三种求法求二次函数的表达式.
难点
灵活运用三种求法求二次函数的表达式.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件出示:生活中的抛物线图片.
生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?
首先需要知道这些抛物线的表达式,我们学过几种抛物线的函数表达式?
问题
我们学过的抛物线的函数表达式有:y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,要确定二次函数的表达式,分别需要知道哪些条件?
【新知讲解】
如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?
学生思考并回答问题.并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识.
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力.
讲授新课
例题讲解
例题讲解
课堂小结

【例】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解：设所求的二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ， 由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得
，解得
∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5. y= 2x2-3x+5=2（x-）²+.
∴二次函数对称轴为直线x=,顶点坐标为（，）.
一般情况的二次函数
1.方法：待定系数法
2.步骤：
①设：设表达式为y=ax2+bx+c；
②代：将三个点坐标带入所设二次函数表达式中；
③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；
④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
【试一试】已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），
试求出这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将 （－3，0），（－1，0）和（0，－3）带入解析式中，得
，解得.
∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
思考： 在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？
【例】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,
把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得
y=a(x＋2)2＋1，
再把点（1，－8）代入上式得
a(1＋2)2＋1=－8，
解得 a=－1.
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.
顶点法求二次函数的方法
1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
2.步骤：
①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；
②代：先代入顶点坐标，到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.
【例】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.
解： ∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1.x2为交点的横坐标).
∴得y=a(x＋3)(x＋1).
再把点（0，－3）代入上式得
a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),
即y=－x2－4x－3.
顶点法求二次函数的方法
1.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
2.步骤是：
①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；
②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.
巩固练习
完成课件内容例题
一起总结下本节课的知识点：
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.
学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法.
讲授知识，让学生熟练利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法.
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.
随堂练习
1.如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ C）．
A．8 B．14
C．8或14D．－8或－14
2.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ C ）
A．E，F B．E，G
C．E，HD．F，G
3.已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2， 13），求这个二次函数的表达式．
解： 已知三点： （0，1），（2，5），（-2，13）
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将三个点坐标带入y=ax2+bx+c，得
，解得.
∴二次函数的表达式是y=2x2-2x+1.
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式.
解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得
16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴-＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
中考链接
1.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即y＝﹣x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
2.二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b，c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴，
解得；
（2）∵该二次函数为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2；
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
板书
确定二次函数的解析式
借助板书，让学生知识本节课的重点.