北师大版（2024）九年级下册4 二次函数的应用学案

这是一份北师大版（2024）九年级下册4 二次函数的应用学案，共4页。学案主要包含了例题及练习，课后练习等内容，欢迎下载使用。
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习重点:
本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．
学习难点:
由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
学习过程:
一、例题及练习：
例1.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=x cm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少?
练习
1.如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF= x cm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2.如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3 cm，BC=4 cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3.如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G，F分别在AB，AC边上，BC=5 cm，S△ABC为30 cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
4.练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01 m）？此时，窗户的面积是多少？
二、课后练习：
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
2．在一块长为30 m，宽为20 m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为y m2，则y与x之间的函数表达式是，自变量x的取值范围是．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是，最小值是，这个函数图象有何特点？
3．一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽都是1 m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4．把3根长度均为100 m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5．周长为16 cm的矩形的最大面积为，此时矩形的边长为，实际上此时矩形是．
6．当n=时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
7．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是．
8．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是．
9．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为．
10．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1B．y=3（x－2）2－1
C．y=3（x＋2）2－5D．y=3（x－2）2－2
11．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1）B．（1，－1）C．（－1，－1）D．（1，1）
12．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E，F，D三点组成的三角形相似，求BD长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3 cm，下底BC=8 cm，垂直于底的腰CD=6 cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M，P，N分别在AB，BC，CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？