（1）探索勾股定理—八年级数学北师大版暑假作业(含答案)

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勾股定理
勾股定理的证明
【注意】
（1）探索勾股定理时找面积相等是关键.其一般步骤为：拼出图形—写出图形面积的代数式—找出等量关系—恒等变换—推导出命题结论.
（2）图形通过切割、拼接后，只要没有重复，没有空隙，面积就不会改变
二、练习
1.在中，，，的对边分别是a，b，c，若，则下列等式中成立的是( )
A.B.C.D.
2.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为( )
A.16B.4或34C.16或34D.4或24
3.如图，在中，，D为AC上一点.若，的面积为90，则AC的长是( )
A.9B.12C.18D.24
4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B之间的距离为( )
A.B.C.D.
5.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为( )
A.6B.8C.10D.14
6.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为( )
A.4B.C.D.8
7.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为( )
A.6B.8C.10D.12
8.和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，，.将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为( ).
A.7B.6C.5D.4
9.如图所示，的顶点A，B，C在边长为1的正方形组成的网格的格点上，于点D，则BD的长为__________.
10.在ABC中，，且，则______.
11.如图，分别以等腰的边AB，AC，BC为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为______.
12.如图，在中，.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）若（1）中所作的垂直平分线与边和分别交于点D、E.若，，求的长.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为在中，，所以，所以是直角三角形，a为斜边，则，故选B.
2.答案：C
解析：因为一个直角三角形的两条边长分别为3和5，所以①当5是此直角三角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，则由勾股定理，得；②当5是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，则由勾股定理，得.故选C.
3.答案：D
解析：.
故选D.
4.答案：D
解析：如图，过点A作DE的平行线，过点B作该平行线的垂线，垂足为C，则.在中，因为，，所以，所以，所以两圆孔中心A和B之间的距离为.故选D.
5.答案：D
解析：如图，
∵都为正方形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴b的面积为14.
故选：D.
6.答案：A
解析：由勾股定理得，，
则阴影部分的面积

，
故选A.
7.答案：D
解析：与是直角三角形，，，
，
，
，
故选D.
8.答案：A
解析：由折叠的性质得，，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
设，则，
，
解得：，
，，
.
故选：A.
9.答案：3
解析：由题图可知，，边上的高为3，所以的面积为.由勾股定理，得，所以，则，解得，故答案为3.
10.答案：6
解析：因为b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=9×4=36，所以b=6，故答案为6.
11.答案：1
解析：等腰，，
，
，
，


故答案为：1.
12.答案：（1）见解析
（2）5
解析：（1）如图：
（2）连接，设，则，
垂直平分，
在中，，
即
解得：
.
文字语言
符号语言
图示
变式
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
方法
图形
证明
“赵爽弦图”
因为大正方形的边长为，所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以
加菲尔德总统拼图
设梯形的面积为，则.因为，所以
毕达哥拉斯拼图
由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积 ，比较两式易得