江苏省中考数学模拟题精选按题型分层分类汇编-08解答题（较难题）（含解析）

这是一份江苏省中考数学模拟题精选按题型分层分类汇编-08解答题（较难题）（含解析），共101页。试卷主要包含了+n等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•广陵区二模）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．
根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？
二．反比例函数的应用（共1小题）
2．（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
（1）求T与x的函数关系式；
（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为 ．
（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
三．反比例函数综合题（共2小题）
3．（2022•姜堰区二模）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数y＝的“伴随矩形”．
[解决问题]
（1）已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，2），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
（2）如图1，已知点B（2，）是反比例函数y＝的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
（3）若反比例函数的“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
4．（2022•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（0，4）作y轴垂线交反比例函数y＝（k＞0）图象于点B．在AB延长线上取点C，连接OC，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，连接OB，S△ABO＝6．
（1）求k的值；
（2）在x轴正半轴上取点E，当OD平分∠BOE时，求点D的坐标．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2022•丰县二模）如图①，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠CBO＝3．
（1）求b的值；
（2）如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当点D在对称轴的右侧，且S△DMN＝S△AOC时，请求出点D的坐标.
五．二次函数综合题（共11小题）
6．（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OC＝OE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a＝时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．
（1）求证：y1，y2的图象必有交点；
（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
8．（2022•武进区二模）如图，顶点坐标为（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，﹣5）．
（1）求a，b的值；
（2）已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y＝ax2+bx+c的另一公共点是点P．
①抛物线上是否存在点P，满足AM：MP＝2：1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
9．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．
（1）填空：b＝ ；
（2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；
（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．
10．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．
11．（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；
（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．
12．（2022•宿城区二模）如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；
（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；
（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．
13．（2022•镇江二模）我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；
（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？
（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．
①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；
②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．
14．（2022•海陵区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y＝h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．
（1）若a＝﹣1，m＝1，n＝3，
①求线段AB的长；
②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
（2）若点A在直线BC的上方，
①求m的取值范围；
②令h＝m2，一定存在一个a的值，对于任何符合＞t（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2﹣x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．
15．（2022•建湖县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+4恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D为第三象限抛物线上一点，连接BD，过点O作OE⊥BD，垂足为E，若OE＝2BE，求点D的坐标；
（3）设F是抛物线上的一个动点，连结AC、AF，若∠BAF＝2∠ACB，求点F的坐标．
16．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 ．
六．线段垂直平分线的性质（共1小题）
17．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
七．三角形综合题（共3小题）
18．（2022•仪征市二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a、b、c．
（1）如图1，若∠C＝2∠B，
①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为b+c（请保留作图的相关痕迹）；
②试求证：c2﹣b2＝ab；
（2）如图2，若∠ABD＝2∠ACE，试求证：c2﹣b2＝ac．
19．（2022•武进区二模）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（﹣8，0），点C的坐标为（8，0）．点P、点H分别为AB和OC上的动点，点P从点B出发，沿BA方向以每秒1个单位匀速运动；同时，点H从点C出发，沿CO方向以每秒1个单位匀速运动．过点H作EF⊥BC，与AC交于点E，点F为点E关于x轴的对称点，当点H停止运动时，点P也停止运动，连接PE，PF，CF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）解答下列问题：
（1）连接OE、OF，若OE∥FC，则t＝ ；
（2）设△PFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PFE：S△ABC＝5：12？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
20．（2022•鼓楼区二模）藏宝地之谜．
不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图．
（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设点B的坐标为（10，0）．
①若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 ；
②若P的坐标为（﹣4，8），则Q的坐标为 ；
…
（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
（3）写出证明（2）中猜想的思路．
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 ，可使（2）中的猜想仍然成立．
八．四边形综合题（共6小题）
21．（2022•宜兴市二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点O是BC中点，点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC匀速运动．E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0≤t≤），在两点运动过程中，以EF为边作等边三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线BC的同侧．
（1）若点G落在边AD上，求t的值；
（2）若t＝2，求△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；
（3）在整个运动过程中，设△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式．
22．（2022•武进区二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；
（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．
23．（2022•宿城区二模）【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．
24．（2022•镇江二模）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．
（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是 ；
（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝ °；
（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．
25．（2022•广陵区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A（0，6），C（8，0）．
（1）如图1，D是OC的中点，将△AOD沿AD翻折后得到△AED，AE的延长线交BC于F．
①试判断线段EF与CF的数量关系，并说明理由；
②求点F的坐标；
（2）如图2，点M、N分别是线段AB、OB上的动点，ON＝2MB，如果以M、N、B三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M、N、B三点不在同一条直线上），求点M的坐标．
26．（2022•姜堰区二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，BF⊥AE于F，DG⊥AE于G，H为线段DG上一点，连接HF．AB＝5，GH＝nDG，AG＝mAF．
（1）求证：△ABF≌△DAG；
（2）若DG＝a，①请用含a、m、n的代数式表示HF2；②当m、n满足怎样的数量关系时，HF的长为定值，并求出这个值；
（3）在HF为定值的条件下，是否存在m，使得tan∠GHF＝，若存在，求出m的值，若不存在，试说明理由．
九．直线与圆的位置关系（共1小题）
27．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
一十．切线的性质（共1小题）
28．（2022•广陵区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BE平分∠ABD；
（2）当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．
一十一．圆的综合题（共4小题）
29．（2022•广陵区校级二模）（1）【尝试探究】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，作∠POQ＝90°，分别交AC、BC于点P、Q，连接PQ．
①如图1，若AC＝BC，试探索线段AP、BQ、PQ之间的数量关系；
②如图2，试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；
（2）【解决问题】如图3，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点，过C、O两点的圆分别交边AC、BC于点P、Q，连接PQ，求△PCQ面积的最大值．
30．（2022•江都区二模）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（0＜t＜8），四边形OPCQ的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积．
31．（2022•镇江二模）如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP＝∠PAB，且PC⊥AC，已知AB＝10．
（1）当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；
（2）当PB＝6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长；
（3）P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时的弧长．
32．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
一十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
33．（2022•广陵区二模）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD'F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
一十三．几何变换综合题（共2小题）
34．（2022•丰县二模）如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．
（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；
（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为 .
35．（2022•灌南县二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别是AC，BC的中点，点P是直线MN上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ，连接AQ，CQ．
【问题发现】（1）如图（1），当点P与点M重合时，线段CQ与PN的数量关系是 ，∠ACQ＝ ．
【探究证明】（2）当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图（2）中的情形给出证明．
（3）连接PC，当△PCQ是等边三角形时，请直接写出的的值．
2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2021•广陵区二模）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．
根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？
【解答】解：设原来报名参加的学生有x人，
依题意，得﹣＝4，
解这个方程，得x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解且符合题意．
答：现在报名参加的学生有40人．
二．反比例函数的应用（共1小题）
2．（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
（1）求T与x的函数关系式；
（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为 K＝﹣x+44 ．
（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
【解答】解：（1）当0＜x≤8时，设T＝（m≠0），
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴10＝，
解得：m＝120，
∴当8＜x≤24时，设T﹣2＝nx（n≠0），
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴26﹣2＝24n，
解得：n＝1，
∴T﹣2＝x，
∴T＝x+2，
综上所述T与x的函数关系式为：
∴；
（2）当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为K＝kx+b，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入得：
，
解得：，
∴当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为K＝﹣x+44，
故答案为：K＝﹣x+44；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝k1x+b1，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入得：
，
解得：，
∴当0＜x≤12时，K与x的函数关系式为K＝2x+8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝（2x+8）＝240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为240．
②当8＜x≤12时，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣3，
∴（Ⅰ）当8＜x≤12时，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
当2（x+3）2﹣2＝286时，
解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）；
当x＝12时，y取最大值，最大值为448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T的最小值为11；当x＝12时，T取最大值14；
（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x﹣21）2+529，抛物线的对称轴为x＝21，
当x＝12时，y取最小值，最小值为448，满足286≤y≤504；
当﹣（x﹣21）2+529＝504时，
解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；
当x＝12时，周销售量T取最小值为14；当x＝16时，T取最大值18；
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
三．反比例函数综合题（共2小题）
3．（2022•姜堰区二模）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数y＝的“伴随矩形”．
[解决问题]
（1）已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，2），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ①③ ；（填序号）
（2）如图1，已知点B（2，）是反比例函数y＝的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
（3）若反比例函数的“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
【解答】（1）解：①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4），
∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24，
∴A、C满足同一个反比例函数，
②∵A（1，2），C（2，3），
∴1×2＝2，2×3＝6，
∴A、C不满足同一个反比例函数，
③∵A（3，4），C（2，6），
∴3×4＝12，2×6＝12，
∴A、C满足同一个反比例函数，
∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：∵B（2，）的反比例函数y＝的“伴随矩形”ABCD的顶点，
∴A（2，3），C（4，），
∴D（4，3），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴y＝；
（3）证明：∵A、C在反比例函数y＝上，
设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），
设直线BD的解析式为＝cx+d，
则，
∴，
即y＝，
∴直线BD过原点．
4．（2022•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（0，4）作y轴垂线交反比例函数y＝（k＞0）图象于点B．在AB延长线上取点C，连接OC，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，连接OB，S△ABO＝6．
（1）求k的值；
（2）在x轴正半轴上取点E，当OD平分∠BOE时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）∵S△ABO＝6，AB⊥y轴，
∴k＝6，
∴k＝12；
（2）由（1）知，k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝①，
∵AB⊥y轴，A（0，4），
∴B（3，4），
在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，
∴OB＝＝5
∵OD平分∠OBE，
∴∠BOC＝∠COE，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴∠COE＝∠C，
∴∠BOC＝∠C，
∴OB＝BC＝5，
∴C（8，4），
设直线CD的解析式为y＝mx，
将（8，4）代入y＝mx中，得4＝8m，
∴m＝．
∴直线CD的解析式为y＝x②，
联立①②解得，x＝±2，
∵点D在第一象限内，
∴D（2，）．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2022•丰县二模）如图①，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠CBO＝3．
（1）求b的值；
（2）如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当点D在对称轴的右侧，且S△DMN＝S△AOC时，请求出点D的坐标.
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝b，
∴C（0，b）．
由题意：b＞0，
∴OC＝b．
在Rt△BOC中，
∵tan∠CBO＝＝3，
∴OB＝b，
∴B（﹣b，0）．
∴﹣+2×b+b＝0，
解得：b＝6或b＝0（不合题意，舍去），
∴b＝6；
（2）∵b＝6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6，C（0，6）．
∴OC＝6．
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
解得：x＝﹣2或6，
∴B（﹣2，0），A（6，0），
∴OA＝6，OB＝2．
设直线AC的解析式为y＝ax+c，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
设直线BC的解析式为y＝kx+n．
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝3x+6，
∵点D为直线AC上一点，
∴设D（m，﹣m+6），其中0＜m＜6，
∵直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+d，
∵点D在直线l上，
∴﹣m+6＝3m+d，
∴d＝﹣4m+6．
∴直线l的解析式为y＝3x﹣4m+6．
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣+8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝3×2﹣4m+6＝12﹣﹣4m，
∴M（2，12﹣4m）．
当x＝2时，y＝﹣2+6＝4，
∴N（2，4）．
∵点D在对称轴的右侧，
∴点N在点M的上方，
∴MN＝4﹣（12﹣4m）＝4m﹣8．
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（4m﹣8）（m﹣2）＝×6×6，
∴m2﹣4m﹣5＝0．
解得：m＝5或﹣1（负数不合题意，舍去），
∴m＝5，
∴﹣m+6＝1，
∴D（5，1）．
五．二次函数综合题（共11小题）
6．（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OC＝OE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a＝时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），
设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入得：
，解得，
直线BD为y＝2ax﹣6a，
∴E（0，﹣6a），
∴OC＝3a，OE＝6a，
∴OC＝OE；
（2）解：当a＝﹣时，抛物线为y＝﹣x2+x+，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，如图所示：
此时C（0，），直线BE为y＝﹣x+3，点E（0，3），
∵OB＝3，
∴OB＝OE＝3，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝45°，
∵CC′⊥BE，
∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，
∵BE垂直平分CC′，
∴CE＝C′E＝3﹣＝．CN＝C′N，
∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，
∴∠CEC′＝90°，
∴CE⊥y轴，
∴点C′（，3），
∵C关于x轴的对称点C″为（0，﹣），
∴CM＝C″M，
∴△CMN周长的最小值为：
CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″＝＝；
（3）解：小林猜想不正确，理由如下：
过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴直线BC为y＝ax﹣3a，
设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），
∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝ax2﹣3ax，
∴S四边形ABQC＝S△ABC+S△BQC＝×4×（﹣3a）+（ax2﹣3ax）×3＝a（x﹣）2﹣﹣6a，
∵a＜0，
∴当点Q的横坐标为x＝时，S四边形ABQC有最大值，
∵点D的横坐标是1，
∴四边形ABQC的面积取得最大值时，点Q与点D不重合，小林猜想不正确．
7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．
（1）求证：y1，y2的图象必有交点；
（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
【解答】（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，
化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，
△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，
∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，
∴y1，y2的图象必有交点；
（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，
化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，
（2x+m）（x﹣1）＝0，
∵m＞0，x1＜x2，
∴x1＝﹣，x2＝1，
∴b＝2+m+n，
当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，
化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，
2x2﹣2+mx﹣m＝0，
2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，
（2x+m+2）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x＝，
∴x3＝，
∴x3﹣x1＝﹣（﹣）＝﹣1；
（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，
∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）2+m（x1+2）+n．
∵点A（x1，a）在y2的图象上，
∴a＝x1（2x1+m）+n．
∵a＞c，
∴a﹣c＞0，
∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，
化简得4x1+4+m＜0，
由（2）得x1＝﹣，
∴4×（﹣）+4+m＜0，
﹣2m+4+m＜0，
﹣m+4＜0，
m＞4，
∴m的取值范围为m＞4．
8．（2022•武进区二模）如图，顶点坐标为（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，﹣5）．
（1）求a，b的值；
（2）已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y＝ax2+bx+c的另一公共点是点P．
①抛物线上是否存在点P，满足AM：MP＝2：1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（3，4），
∴y＝a（x﹣3）2+4．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，﹣5），
∴a（0﹣3）2+4＝﹣5，
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5．
∴a＝﹣1，b＝6；
（2）①抛物线上存在点P，满足AM：MP＝2：1，点P的横坐标为或；理由：
Ⅰ．当点M在线段BC上时，如图，
过点M作MD⊥AB于点D，过点P作PE⊥AB，交x轴于点E，
设P（m，﹣m2+6m﹣5）（m＞5），
∴OE＝m，PE＝m2﹣6m+5．
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5）．
∴OC＝5，
令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
解得：x＝1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5．
∴AE＝m﹣1．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5．
∵AM：MP＝2：1，
∴．
∵MD⊥AB，PE⊥AB，
∴MD∥PE，
∴＝．
∴AD＝（m﹣1），MD＝（m2﹣6m+5），
∴OD＝OA+AD＝m+，
∴M（m+，﹣+4m﹣），
∵点M在直线BC上，
∴m+﹣5＝﹣+4m﹣，
解得：m＝，
∵m＞5，
∴m＝；
Ⅱ．当点M在线段BC的延长线上时，如图，
过点M作MD⊥AB交x轴于点E，过点P作PE⊥AB于点E，
设P（m，﹣m2+6m﹣5）（1＜m＜5），
∴OE＝m，PE＝﹣m2+6m﹣5．
由①Ⅰ知：OA＝1，OB＝5，
∴AE＝m﹣1．
∵AM：MP＝2：1，
∴．
∵MD⊥AB，PE⊥AB，
∴MD∥PE，
∴＝2．
∴AD＝2（m﹣1），MD＝2（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10，
∴OD＝OA+AD＝2m﹣1，
∴M（2m﹣1，﹣2m2+12m﹣10），
∵点M在直线BC上，
∴2m﹣1﹣5＝﹣2m2+12m﹣10，
解得：m＝，
∵1＜m＜5，
∴m＝．
综上，抛物线上存在点P，满足AM：MP＝2：1，点P的横坐标为或；
②作线段AC的垂直平分线DM，交AC于点D，交BC于点M，在BC上取一点M′，使AM′＝AM，
过点M作ME⊥AB于点EE，过点M′作M′F⊥AB于点F，如图，
∵DM是AC的垂直平分线，
∴MC＝MA，
∴∠MAC＝∠ACB．
∵∠AMB＝∠ACB+∠MAC，
∴∠AMB＝2∠ACB，
∴此时直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍；
∵AM＝AM′，
∴∠AM′C＝∠AMB＝2∠ACB，
∴此时直线AM′与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍．
∵A（1，0），C（0，﹣5），D为AC的中点，
∴D（，﹣）．
设直线AC的解析式为y＝dx+e，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝5x﹣5．
设直线DM的解析式为y＝﹣x+f，
∴+f＝，
∴f＝﹣．
∴直线DM的解析式为y＝﹣x﹣．
∴，
解得：．
∴M（，﹣）；
∴OE＝，ME＝，
∴AE＝OE﹣OA＝，
∴，
∵AM＝AM′，
∴AM′2＝AM2＝．
设M′（x，x﹣5），
∴M′F＝5﹣x，OF＝x，
∴AF＝OF﹣OA＝x﹣1，
∵AM′2＝AF2+M′F2，
∴，
解得：x＝或．
∴M′（，﹣）．
综上，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，点M的坐标为（，﹣）或（，）．
9．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．
（1）填空：b＝ ﹣ ；
（2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；
（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．
【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝x2+bx﹣2，
得×9+3b﹣2＝0，
解得b＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）如图所示：
由（1）得y＝x2﹣x﹣2，
令x＝0，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，2），
设直线AD：y＝kx+2，
把A（3，0）代入y＝kx+2，
得3k+2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线AD解析式：y＝﹣x+2，
∵将△AOC平移到△EFG，
∴OA＝EF＝3，FG＝OC＝2，
设E（m，m2﹣m﹣2），
则G（m﹣3，﹣（m﹣3）+2），F（m﹣3，﹣（m﹣3）+4），
∵EF∥x轴，
∴m2﹣m﹣2＝﹣（m﹣3）2+4，
解得m＝﹣3或m＝4，
∴E（﹣3，8）或（4，）；
（3）如图所示：
过C作CK⊥AD，CQ⊥HP，
∵OD＝2，OA＝3
∴AD＝，
∵CK⊥AD
∴CD•AO＝AD•CK，
∴CK＝，
DK＝，AK＝，
∴tan∠CAK＝＝，
∵CQ⊥HP，
∴∠CPQ+∠CPT＝180°，
∵∠CPT+∠DAC＝180°，
∴∠CPQ＝∠CAK，
∴tan∠CPQ＝tan∠CAK＝，
∴＝，
设P（n，n2﹣n﹣2），
∴PQ＝n2﹣n，CQ＝n，
∴＝，
解得n＝，
∴P（，﹣），
∴CQ＝，AH＝3﹣＝，
∵tan∠OAC＝＝＝，
∴TH＝AH＝×＝，
∴TP＝，
∴＝＝，
即△AHT与△CPT的面积之比为8：147．
10．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）假设存在这样的点N，设直线MC与x轴交于点D，直线MN与x轴交于点E，如图：
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴M（2，﹣1）
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线MC的解析式为y＝kx+m，
则，
解得：，
∴直线MC的解析式为y＝﹣2x+3，
令y＝0，则﹣2x+3＝0，
解得x＝，
∴点D坐标为（，0），
∴S△MAC＝（xD﹣xA）（yC﹣yM）＝××4＝1，
S△MBN＝|xE﹣xB|×（yN﹣yM）＝|xE﹣3|×4＝2|xE﹣3|，
∵S△MBN＝2S△MAC，
∴2|xE﹣3|＝2，
解得：xE＝4或xE＝2，
∴点E的坐标为（4，0）或（2，0），①当M为（2，﹣1），E为（2，0）时，直线MN的表达式为：x＝2，
∴点N的坐标为（2，3），
②当M为（2，﹣1），E为（4，0）时，
设直线MN的表达式为y＝nx+g，
则，
解得：，
∴直线MN的表达式为y＝x﹣2，
联立，得，
∴点N的坐标为（10，3），
∴点N的坐标为（2，3）或（10，3）；
（3）如图所示，将CP绕点C顺时针旋转45°交原抛物线于点P′，
∵CP′与x轴的夹角为45°，
∴CP′与直线y＝x平行，
则lCP′：y＝x+3，
联立，
解得，
∴P′（5，8），
∴CP′＝＝5，
∴CP＝5，
∴点P坐标为（0，3+5）．
11．（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；
（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
将点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2+4x+3；
（2）点D在直线BC上方时，过点D作DP⊥x轴交AC于点P，
设D（t，t2+4t+3），则P（t，t+3），
∴DP＝t2+4t+3﹣t﹣3＝t2+3t，
∴S△BCD＝S△CPD﹣S△PBD＝×DP×（﹣t+3+t）＝（t2+3t）
∵△BCD的面积为6，
∴（t2+3t）＝6，
∴t＝1或t＝﹣4，
∴D（1，8）或D（﹣4，3）；
当点D在直线BC下方时，
S△BCD＝S△CPD+S△PBD＝×DP×3＝（﹣t2﹣3t）＝6，
∴（t2+3t）＝﹣6，
∴此时t不存在，
综上所述：D点坐标为（1，8）或（﹣4，3）；
（3）设E（m，m2+4m+3），
过点A作AG⊥BC交于点G，在BC上截取HC＝HA，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，
∴∠CBO＝45°，
∵x2+4x+3＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝2，
在Rt△ABG中，BG＝AG＝，
∴CG＝2，
∵HC＝HA，
∴∠GHA＝2∠ACB，
在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，
∴HA2＝（2﹣HA）2+2，
解得HA＝，
∴HG＝，
∴tan∠GHA＝＝＝，
∵∠BAE＝2∠ACB，
∴∠BAE＝∠GHA，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，
∴E点坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．
12．（2022•宿城区二模）如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；
（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；
（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．
【解答】解：（1）∵b＝﹣10a，
∴y＝ax2﹣3ax+b
＝ax2﹣3ax﹣10a
＝a（x+2）（x﹣5），
令y＝0，得a（x+2）（x﹣5）＝0，
∵a＜0，
∴x1＝﹣2，x2＝5，
∴A（﹣2，0），B（5，0），C（0，﹣10a），
∴tan∠CBA＝＝﹣2a；
（2）∵二次函数y＝ax2﹣3ax+b的顶点为D，
∴xD＝．
过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，如图：
∵OP∥DH，
∴△AOP∽△AHD，
∵AP：DP＝2：3，OH＝，
∴OA：OH＝AP：DP＝2：3，
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴C（0，﹣4a），
①若AB＝BC，则AB2＝BC2，
∴16+16a2＝25，
解得a＝﹣或a＝（舍），
∴y＝﹣x2+x+3；
②若AB＝AC，则AB2＝AC2，
∴1+16a2＝25，
解得a＝﹣或a＝（舍），
∴y＝﹣x2+x+2；
③显然不存在BC＝AC．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3或y＝﹣x2+x+2；
（3）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4a），
∴kAC＝﹣4a，kBC＝a，
∵以EF为直径的圆经过点C，
∴∠ECF＝90°，
∴kAC×kBC＝﹣1，即﹣4a×a＝﹣1，
解得a＝﹣或a＝（舍），
∴C（0，2），
∵AB＝5，
∴EF＝AB＝3，
取EF的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动，
由垂径定理得：MN＝2HN，
在Rt△QHN中，QN＝，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出MN的最大值，
∵QH的最小值为：2﹣＝，
∴HN的最大值为：＝，
∴MN的最大值为2．
13．（2022•镇江二模）我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；
（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？
（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．
①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；
②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．
【解答】解：（1）∵1﹣（﹣）＝，
∴函数y＝﹣的友好同轴二次函数为y＝x2；
∵1﹣＝，1×（÷）＝2，
∴函数y＝+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．
（2）∵1﹣1＝0，
∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；
∵1÷2＝，
∴二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．
（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．
①∵a＝3，
∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，
∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），
∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），
∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
∵四边形BB′C′C为正方形，
∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，
解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），
∴m的值为．
②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），
∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），
∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．
∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，
∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，
解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，
∴a的值为﹣、、或．
14．（2022•海陵区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y＝h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．
（1）若a＝﹣1，m＝1，n＝3，
①求线段AB的长；
②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
（2）若点A在直线BC的上方，
①求m的取值范围；
②令h＝m2，一定存在一个a的值，对于任何符合＞t（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2﹣x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．
【解答】（1）①解：A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
②证明：∵y＝﹣（x﹣1）•（x﹣3）＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为：x＝2，y最大值＝1，
∴当h＜1时，x1+x2＝2×2＝4；
（2）①解：如图，
当m＜0，n＞0时，点A在BC的下方，
当m＜0，n＜0时，点A在BC的下方，
如图3，
当m＞0时，点A在BC的上方，
综上所述：当m＞0时，点A在BC的上方；
②解：如图4，
当x＝0时，y＝a（﹣m）•（﹣n）＝amn，
∴OC＝﹣amn，
∵DE∥OC，
∴△BOC∽△BED，
∴＝，
∴，
∴BE＝﹣，
∴x3＝OE＝OB+BE＝n﹣，
∵x1+x2＝m+n，
∴x1+x2﹣x3＝m+＝m（1+），
∵x1+x2﹣x3恒为定值，
∴1+＝0，
∴a＝﹣1，
∵y＝a（x﹣m）•（x﹣n）＝a（x﹣）2﹣，
∴﹣＞m2，
∴（m﹣n）2＞4m2，
∴3m2+2mn﹣n2＜0，
∴（m+n）（3m﹣n）＜0，
∵m+n＞0，
∴3m﹣n＜0，
∴，
∴t＞3．
15．（2022•建湖县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+4恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D为第三象限抛物线上一点，连接BD，过点O作OE⊥BD，垂足为E，若OE＝2BE，求点D的坐标；
（3）设F是抛物线上的一个动点，连结AC、AF，若∠BAF＝2∠ACB，求点F的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣4，
∴B（﹣4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
将点B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2+5x+4；
（2）过点D作DG⊥x轴于G，
设D（t，t2+5t+4），
∴OG＝﹣t，DG＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴BG＝4+t，
∵OE⊥BE，
∴∠BEO＝90°，
∴tanB＝＝，
∵OE＝2BE，
∴＝2，
∴DG＝2BG，
∴﹣t2﹣5t﹣4＝2（4+t），
解得：t1＝﹣3，t2＝﹣4（舍），
∴D（﹣3，﹣2）；
（3）设F（m，m2+5m+4），
如图2，过点A作AG⊥BC交于点G，在BC上截取HC＝HA，
∵B（﹣4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，BC＝4，
∴∠CBO＝45°，
∵x2+5x+4＝0时，x＝﹣1或x＝﹣4，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4﹣1＝3，
在Rt△ABG中，BG＝AG＝，
∴CG＝4﹣＝，
∵HC＝HA，
∴∠GHA＝2∠ACB，
在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，
∴HA2＝（﹣HA）2+，
解得HA＝，
∴HG＝﹣＝，
∴tan∠GHA＝＝＝，
∵∠BAF＝2∠ACB，
∴∠BAF＝∠GHA，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，
∴F点坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
16．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 0＜m≤4 ．
【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4
＝﹣m（x2+4x+4）+4
＝﹣m（x+2）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．
（2）①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2，
∴a＝﹣3，
当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，
则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3，
当x＝﹣2时，y最大值＝4，
∴h＝1．
②结论：0＜m≤4，理由如下：
当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，
h＝yb﹣ya
＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝﹣4m（a+3），
∵h＝4，
∴4＝﹣4m（a+3），
∴a＝﹣﹣3≤﹣4，
∵m＞0，
解得m≤1，
当﹣4＜a≤﹣3时，
h＝4﹣ya
＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝m（a+2）2，
∴可得a＝﹣﹣2，
∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3，
解得1＜m≤4，
当﹣3＜a≤﹣2时，
h＝4﹣yb
＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝m（a+4）2，
可得a＝﹣4，
∴﹣3＜﹣4≤﹣2，
不等式无解．
当a＞﹣2时，
h＝ya﹣yb
＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝4m（a+3），
可得a＝﹣3，
∴﹣3＞﹣2，
∴m＜1，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．
故答案为：0＜m≤4．
六．线段垂直平分线的性质（共1小题）
17．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C；
（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，
∴∠AHB＝∠EFB＝90°．
∴AH∥EF．
∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．
∴∠E＝∠AME．
∴AM＝AE＝2．
∵AB＝AC＝5，
∴CM＝AC﹣CM＝3．
∵AH∥EF，
∴△CMF∽△CAH．
∴＝．
∴＝．
∴MF＝．
七．三角形综合题（共3小题）
18．（2022•仪征市二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a、b、c．
（1）如图1，若∠C＝2∠B，
①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为b+c（请保留作图的相关痕迹）；
②试求证：c2﹣b2＝ab；
（2）如图2，若∠ABD＝2∠ACE，试求证：c2﹣b2＝ac．
【解答】（1）①解：如图1，点D即为所求；
②证明：∵DF是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠B，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACB＝∠ADC，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，
∵AC＝b，AB＝c，BC＝a，
∴＝＝，
∴b2＝AD•c，ab＝c2﹣AD•c，
∴b2＝c2﹣ab，
∴c2﹣b2＝ab；
（2）证明：如图2，在DE上取一点F，使BA＝BF，连接AF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∵∠ABD＝2∠ACE，∠ABD＝∠BAF+∠AFB＝2∠AFB，
∴∠ACE＝∠AFB，
∴AC＝AF＝b，
∵∠AFC＝∠ACF＝∠BAF，
∴△ACF∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴b2＝c2﹣ac，
∴c2﹣b2＝ac．
19．（2022•武进区二模）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（﹣8，0），点C的坐标为（8，0）．点P、点H分别为AB和OC上的动点，点P从点B出发，沿BA方向以每秒1个单位匀速运动；同时，点H从点C出发，沿CO方向以每秒1个单位匀速运动．过点H作EF⊥BC，与AC交于点E，点F为点E关于x轴的对称点，当点H停止运动时，点P也停止运动，连接PE，PF，CF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）解答下列问题：
（1）连接OE、OF，若OE∥FC，则t＝ 4 ；
（2）设△PFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PFE：S△ABC＝5：12？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（﹣8，0），点C的坐标为（8，0）．
∴OA＝6，OB＝OC＝8，
∵点F为点E关于x轴的对称点，
∴∠ECO＝∠FCO，
∵OE∥CF，
∴∠EOC＝∠FCO，
∴∠EOC＝∠ECO，
∴EO＝EC，
又∵EF⊥OC，
∴OH＝CH＝4，
∴t＝＝4，
故答案为：4；
（2）作PM⊥EF于M，PN⊥BC于N，则四边形PNHM是矩形，
由题意知，BP＝t，CH＝t，
∴cs∠ABO＝，
∴，
∴BN＝，
∴PM＝NH＝BC﹣BN﹣CH＝16﹣﹣t＝16﹣，
同理得，EH＝，
∴EF＝2EH＝，
∴S＝×EF×PM＝××（16﹣）＝﹣t2+12t；
（3）存在t，使S△PFE：S△ABC＝5：12，理由如下：
∵S△PFE：S△ABC＝5：12，
∴﹣t2+12t＝×48＝20，
解方程得，t1＝，t2＝＜4（舍），
当t＝时，PM＝4，EH＝5，PN＝4，
∴EM＝1，
由勾股定理得，PE＝＝＝，
∴存在，当t＝时，PE＝．
20．（2022•鼓楼区二模）藏宝地之谜．
不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图．
（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设点B的坐标为（10，0）．
①若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 （0，﹣10） ；
②若P的坐标为（﹣4，8），则Q的坐标为 （0，﹣10） ；
…
（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
（3）写出证明（2）中猜想的思路．
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 再走这么多步 ，可使（2）中的猜想仍然成立．
【解答】解：（1）①如图1，过点P作PE⊥AB于E，
∵∠PAC＝∠PAE+∠CAO＝90°，∠PAE＝∠APE＝90°，
∴∠APE＝∠CAO，
∵AP＝AC，∠AEP＝∠AOC＝90°，
∴△AEP≌△COA（AAS），
∴CO＝AE＝10+6＝16，
同理得△PEB≌△BOD（AAS），
∴OD＝BE＝10﹣6＝4，
∴CD＝16﹣4＝12，
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，10）；
故答案为：（0，﹣10）；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP≌△CGA，△BFP≌△DEB，
∴CG＝AF＝10﹣4＝6，AG＝PF＝8，DE＝BF＝10+4＝14，BE＝PF＝8，
∴C（﹣2，﹣6），D（2，﹣14），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣10）；
故答案为：（0，﹣10）；
（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）如图3，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为（m，0），A（﹣m，0），P（x，y），
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP≌△CGA，△BFP≌△DEB，
∴CG＝AF＝x+m，AG＝PF＝y，DE＝BF＝m﹣x，BE＝PF＝y，
∴C（y﹣m，﹣x﹣m），D（m﹣y，x﹣m），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣m）；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．理由如下：
如图4，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为（m，0），A（﹣m，0），P（x，y），
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP∽△CGA，△BFP∽△DEB，相似比为2，
∴CG＝AF＝x+m，AG＝PF＝y，DE＝BF＝m﹣x，BE＝PF＝y，
∴C（y﹣m，﹣x﹣m），D（m﹣y，x﹣m），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣m）；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
故答案为：再走这么多步．
八．四边形综合题（共6小题）
21．（2022•宜兴市二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点O是BC中点，点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC匀速运动．E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0≤t≤），在两点运动过程中，以EF为边作等边三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线BC的同侧．
（1）若点G落在边AD上，求t的值；
（2）若t＝2，求△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；
（3）在整个运动过程中，设△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式．
【解答】解：（1）过点G作GH⊥BC于H，
当等边△EFG的顶点G恰好落在AD上时，
∵GH⊥BC，
∴GH＝AB＝2，
∵点O是BC中点，BC＝6，
∴OB＝BC＝3，
由题意得BE＝t，OF＝2t，
EF＝OE+OF＝3﹣t+2t＝3+t，
∵△EFG是等边三角形，
∴EH＝（3+t），∠GEF＝60°，∠EGH＝30°，
∴EH＝GH＝2，
∴（3+t）＝2，
∴t＝1；
（2）当t＝2时，如图，过点M作MP⊥BC于P，
∴MP＝AB＝2，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠MEP＝60°，
∴∠EMP＝30°，
∴EP＝2，ME＝4，
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，则BE＝2，OF＝4，EC＝4，CF＝1．
∴CP＝MD＝EC﹣EP＝2，
在Rt△CFK中，∠F＝60°，
∴KF＝2，KC＝．
∵CD＝2，
∴DK＝，即K是CD的中点．
∴KN＝2，DN＝1，MN＝MD﹣DN＝1，
∴△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长为4+4+1+2+＝11+；
（3）当0≤t≤1时，过点G作GH⊥BC于H，
由题意得BE＝t，OF＝2t，
EF＝OE+OF＝3﹣t+2t＝3+t，
∵△EFG是等边三角形，
∴EH＝（3+t），∠GEF＝60°，∠EGH＝30°，
∴GH＝EH＝（3+t），
∴S＝S△EGF＝（3+t）•（3+t）＝t2+t+；
当1＜t≤时，如图：
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，
由（1）得ME＝4，EF＝EG＝3+t，
∴MN＝MG＝3+t﹣4＝t﹣1，
∴S＝S四边形EFNM＝（t﹣1+3+t）•2＝2t+2；
当＜t≤时，如图，过点M作MP⊥BC于P，
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，
则MN＝t﹣1，CF＝2t﹣3，CK＝（2t﹣3），
∴S＝S四边形EFNM﹣S△KCF＝（t﹣1+3+t）•2﹣（2t﹣3）•（2t﹣3）＝﹣2t2+8t﹣；
综上所述，当0≤t≤1时，S＝t2+t+；当1＜t≤时，S＝2t+2；当＜t≤时，S＝﹣2t2+8t﹣．
22．（2022•武进区二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；
（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）解：如图所示（答案不唯一），
（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，
∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ADC＝135°，
∴∠HDC＝45°，
∴∠HDC＝∠HCD＝45°，
∴CH＝DH，
∵AB2＝AH2+BH2，
∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，
∴DH＝6（负值舍去），
∴CD＝6．
23．（2022•宿城区二模）【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．
【解答】（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，
∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°，
∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，
∴∠HFG+∠AKF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，
，
∴△ABE≌△FHG（ASA），
∴AE＝FG；
（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
由勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，
∵（）2+（2）2＝52，
∴CF2+CD2＝DF2，
∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；
（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴＝＝＝．
24．（2022•镇江二模）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．
（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是 DE＝AE ；
（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝ 75 °；
（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．
【解答】解：（1）DE＝AE，理由如下：
在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，∠A＝90°，
由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFB＝∠A＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
即DF＝FE，
由勾股定理可得：EF＝DE，
即DE＝AE；
（2）作图如下：
则△FBE为即为所求，
由题意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，点F在MN上，
则AF＝BF，
由折叠的性质可得AB＝BF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF＝60°，△ADF为等腰三角形，
∴∠DAF＝30°，
∴∠EDF＝，
故答案为：75；
（3）取CD的中点O，连接BO，FO，如图，
∵∠CFD＝90°，
∴OF＝CO＝OD＝2，
∵BC＝BA＝BF，BO＝BO，
∴△BCO≌△BFO（SSS），
∴∠BFO＝∠BCO＝90°，
∴∠EFB+∠BFO＝180°，
∴点E，F，O共线，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得x＝，
即AE的长为．
25．（2022•广陵区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A（0，6），C（8，0）．
（1）如图1，D是OC的中点，将△AOD沿AD翻折后得到△AED，AE的延长线交BC于F．
①试判断线段EF与CF的数量关系，并说明理由；
②求点F的坐标；
（2）如图2，点M、N分别是线段AB、OB上的动点，ON＝2MB，如果以M、N、B三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M、N、B三点不在同一条直线上），求点M的坐标．
【解答】（1）①解：EF＝CF，理由如下：
连接DF，
由题意可知，∠AED＝∠AOD＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠DCF，
∵D是OC的中点，
∴OD＝OC，
∵OD＝DE，
∴DE＝DC，
∵DF＝DF，
∴△DEF≌△DCF（SAS），
∴EF＝CF，
②解：∵△DEF≌△DCF，
∴∠EDF＝∠CDF，
∴∠ADF＝90°，
∴∠ADO+∠CDF＝90°，
∵∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠CDF，
∵∠AOD＝∠DCF，
∴△AOD∽△ADF，
∴，
∴CF＝，
∵A（0，6），C（8，0），D是OC的中点，
∴AO＝6，OD＝DC＝4，
∴CF＝，
∴F（8，）；
（2）解：∵BC＝6，OC＝8，
∴OB＝，
设BM＝x，
①当点B为圆心时，则BM＝BN，
∵ON＝2MB，
∴10﹣2x＝x，
∴x＝，
∴AM＝8﹣，
∴M（，6），
②当点M为圆心时，则MB＝MN，
过N作NG⊥AB于G，
则△BGN∽△BAO，
∴，
∴，
∴GN＝，BG＝，GM＝，
∴，
解得：（舍去），
∴AM＝，
∴M（，6），
③当点N为圆心时，则MN＝BN，
∴BG＝BM，
∴8﹣x＝x，
解得：x＝，
∴AM＝8﹣，
∴M（，6），
综上所述，M点的坐标为（，6），（，6），（，6）．
26．（2022•姜堰区二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，BF⊥AE于F，DG⊥AE于G，H为线段DG上一点，连接HF．AB＝5，GH＝nDG，AG＝mAF．
（1）求证：△ABF≌△DAG；
（2）若DG＝a，①请用含a、m、n的代数式表示HF2；②当m、n满足怎样的数量关系时，HF的长为定值，并求出这个值；
（3）在HF为定值的条件下，是否存在m，使得tan∠GHF＝，若存在，求出m的值，若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝90°＝∠AGD，
∴∠BAF＝90°﹣∠FAD＝∠ADG，
在△ABF和△DAG中，
，
∴△ABF≌△DAG（AAS）；
（2）解：①由（1）知△ABF≌△DAG，
∴AF＝DG＝a，
∵GH＝nDG，AG＝mAF，
∴GH＝na，AG＝ma，
∴GF＝AF﹣AG＝a﹣ma，
在Rt△GHF中，
HF2＝GH2+GF2＝（na）2+（a﹣ma）2＝（m2﹣2m+n2+1）a2．
②在Rt△ADG中，AD2＝DG2+AG2，
∴52＝a2+（ma）2，
∴a2+m2a2＝25②，
由①知：HF2＝（m2﹣2m+n2+1）a2＝m2a2﹣2ma2+n2a2+a2＝25﹣2ma2+n2a2＝25+（n2﹣2m）a2，
∴当n2﹣2m＝0时，HF2是定值25，
∴当2m＝n2时，HF为定值5；
（3）解：存在．
设AF＝b，则DG＝AF＝b，AG＝mb，GH＝nb，
∵tan∠GHF＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴2m＝n2
∴12﹣6n2＝n，
∴6n2+n﹣12＝0，
n＝或﹣（舍去），
∴m＝n2＝．
九．直线与圆的位置关系（共1小题）
27．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 A，B ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ≤r＜5 ．
【解答】解：（1）∵|2|+|2|＝4，||+|﹣|＝4，|﹣1|+|5|＝6≠4，
∴是“垂距点”的点为A，B．
故答案为：A，B．
（2）设函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），
依题意得：|a|+|2a+3|＝4．
①当a＞0时，a+（2a+3）＝4，
解得：a＝，
∴此时“垂距点”的坐标为（，）；
②当﹣＜a＜0时，﹣a+（2a+3）＝4，
解得：a＝1（不合题意，舍去）；
③当a＜﹣时，﹣a﹣（2a+3）＝4，
解得：a＝﹣，
∴此时“垂距点”的坐标为（﹣，﹣）．
∴综上所述，函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标是（，）或（﹣，﹣）．
（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），
当x＞0，y＞0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0＜x＜4）；
当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4＜x＜0）；
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0）；
当x＞0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0＜x＜4），
画出该函数图象，如图所示．
当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，易证△DNT为等腰直角三角形，
∴TN＝TD＝×|4﹣1|＝；
当⊙T过点F（﹣4，0）时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r＝FT＝|1﹣（﹣4）|＝5．
∴若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是≤r＜5．
故答案为：≤r＜5．
一十．切线的性质（共1小题）
28．（2022•广陵区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BE平分∠ABD；
（2）当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AC与⊙O相切，
∴OE⊥AC，
∵AB＝BC且D是BC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴BE平分∠ABD；
（2）解∵BD＝2，sinC＝，BD⊥AC，
∴BC＝4，
∴AB＝4，
设⊙O的半径为r，则AO＝4﹣r
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinA＝sinC＝，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA＝＝＝，
∴r＝．
一十一．圆的综合题（共4小题）
29．（2022•广陵区校级二模）（1）【尝试探究】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，作∠POQ＝90°，分别交AC、BC于点P、Q，连接PQ．
①如图1，若AC＝BC，试探索线段AP、BQ、PQ之间的数量关系；
②如图2，试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；
（2）【解决问题】如图3，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点，过C、O两点的圆分别交边AC、BC于点P、Q，连接PQ，求△PCQ面积的最大值．
【解答】解：（1）①连接CO，
∵△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点，
∴AO＝CO，∠A＝∠OCQ＝45°，CO⊥AB，
∵∠POQ＝90°，
∴∠AOP＝∠COQ，
∴△AOP≌△COQ（ASA），
∴AP＝CQ，
∵AC＝BC，
∴CP＝BQ，
∵∠ACB＝90°，
∴CP2+CQ2＝PQ2，
∴AP2+BQ2＝PQ2；
②AP2+BQ2＝PQ2仍然成立．
证明：延长QO至D，使OD＝OQ，连接AD、PD，
∵AB、DQ互相平分，
∴四边形ADBQ是平行四边形，
∴AD∥BQ，AD＝BQ，
∵∠C＝90°，
∴∠PAD＝90°，
∴AP2+BQ2＝AP2+AD2＝PD2，
∵PO垂直平分DQ，
∴PQ＝PD，
∴AP2+BQ2＝PQ2；
（2）连接OP、OQ，
∵∠C＝90°，过C、O两点的圆分别交AC、BC于点P、Q，
∴PQ是圆的直径，
∴∠POQ＝90°，
由②知，AP2+BQ2＝PQ2，
设PC＝a，CQ＝b，
∴（6﹣a）2+（8﹣b）2＝a2+b2，
∴3a+4b＝25，
∴b＝﹣a+，
∵S△PCQ＝ab，
∴S△PCQ＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+．
当a＝时，△PCQ的面积的最大值是．
30．（2022•江都区二模）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（0＜t＜8），四边形OPCQ的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝45°，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB＝BD，
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝xcm，OB＝BD＝xcm，PD＝（8﹣t﹣x）cm，
∵BD∥OQ，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴OB＝•＝﹣（t﹣4）2+2（0＜t＜8），
∵﹣＜0．
∴当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2cm．
（3）四边形OPCQ面积不变化，面积为16cm2．
∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径，
∴∠PCQ＝90°，
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴S△PCQ＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2，
∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝OP•OQ+PQ2
＝t（8﹣t）+[（8﹣t）2+t2]
＝4t﹣t2+t2﹣4t+16
＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
31．（2022•镇江二模）如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP＝∠PAB，且PC⊥AC，已知AB＝10．
（1）当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；
（2）当PB＝6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长；
（3）P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时的弧长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OP，
∵OA＝OP，
∴∠PAB＝∠OPA，
∵∠CAP＝∠PAB，
∴∠OPA＝∠CAP，
∴OP∥AC，
∵PC⊥AC，
∴PC⊥OP，
∵OP为⊙O的半径，
∴CP为⊙O切线；
（2）解：如备用图，连接BD交OP于点E，
∵AB为半⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵AB＝10，PB＝6，
∴AP＝，
∵∠CAP＝∠PAB，∠APB＝∠ACP＝90°，
∴△APB∽△ACP，
∴，
∴，
∴AC＝，
∵AB为半⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴PC∥BD，
∵∠POB＝∠OAP+∠OPA＝∠OAP+∠PAC＝∠BAC，
∴OP∥AC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形PCDE是矩形，
∵AO＝BO，OE∥AD，
∴2OE＝AD，
设AD＝m，
∴OE＝m，PE＝OP﹣OE＝5﹣m，CD＝PE＝5﹣m，
∴5﹣m+m＝，
∴m＝，
∴AD＝，
即AD的长为；
（3）解：设AP＝x，
由（2）知，△APB∽△ACP，
∴，
∴，
∴AC＝，
∴PA﹣AC＝x﹣＝，
∴当x＝5时，即AP＝5时，PA﹣AC的值最大，
此时cs∠PAB＝，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝2×60°＝120°，
∴的弧长＝．
32．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ① ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ② ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
【解答】解：（1）由定义可得，①的矩形有一条边AD与⊙O1相切，点B、C在圆上，
∴①是第Ⅰ类圆；
②的矩形有两条边AD、AB与⊙O2相切，点C在圆上，
∴②是第Ⅱ类圆；
故答案为：①，②；
（2）如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝4﹣r，
由垂径定理可得，BF＝CF＝3，
在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，
解得r＝；
如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝6﹣r，
由垂径定理可得，BF＝CF＝2，
在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，
解得r＝；
综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或；
如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作MN⊥AD交于点M，交BC于点N，连接OC，
设AB边与⊙O的切点为G，连接OG，
∴GO⊥AB，
设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4﹣r，
∵OG＝r，
∴BN＝r，
∴NC＝6﹣r，
在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，
解得r＝10﹣4，
∴第Ⅱ类圆的半径是10﹣4；
（3）①如图4，
第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E，
第二步，连接EC，
第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O，
第四步，以O为圆心，EO为半径作圆，
∴⊙O即为所求第Ⅰ类圆；
②如图5，
第一步：作∠BAD的平分线；
第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EF⊥AD，垂足为点F；
第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；
第四步：过点C作CH∥FG，CH交AD于点H；
第五步：过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O；
第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，⊙O即为所求第Ⅱ类圆．

一十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
33．（2022•广陵区二模）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD'F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD＝AD′，CE＝AE，DF＝D′F，∠CEF＝∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴AB＝AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
∴DF＝BE，
∴BE＝FD′，
在△ABE和△AD′F中，
，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）四边形AECF是菱形．
理由如下：
如图，连接CF，
∵AF＝EC，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形．
一十三．几何变换综合题（共2小题）
34．（2022•丰县二模）如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．
（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；
（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为 2﹣2 .
【解答】（1）证明：补全图形，如图②所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE，
∴∠DC′C＝∠C＝60°，
∴∠DC′C＝∠A＝60°，
∴DC'∥AB；
（2）解：S存在最小值，
如图③，过点D作DF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝12，
又∵CD＝4，
∴BD＝8，
由折叠可知，DC′＝DC＝4，
∴点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，
∴当点C′在DF上时，点C′到AB的距离最小，S△ABC最小，
∵Rt△BDF中，DF＝DB•sin∠ABD＝8•sin60°＝8×＝4，
∴S最小＝×12×（4﹣4）＝24﹣24；
（3）解：EC＝2﹣2，理由如下：
如图④，连接BC′，过点D作DG⊥C′E于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
则∠DGC′＝∠EHC＝90°，
设CE＝x，
由翻折得：DC′＝DC＝4，C′E＝CE＝x，∠DC′E＝∠DCE＝60°，
C′G＝DC′•cs∠DC′E＝4cs60°＝2，DG＝DC′•sin∠DC′E＝4sin60°＝2，
CH＝CE•cs∠DCE＝x•cs60°＝x，EH＝CE•sin∠DCE＝x•sin60°＝x，
∴BH＝BC﹣CH＝12﹣x，
∵B，C'，E三点共线，
∴∠DBG＝∠EBH，BG＝BE﹣C′E+C′G＝BE﹣x+2，
∴△BDG∽△BEH，
∴＝＝，
即：＝＝
∴BE＝2x，
∴＝，
∵x＞0，
∴x＝2﹣2，
∴EC的长为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
35．（2022•灌南县二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别是AC，BC的中点，点P是直线MN上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ，连接AQ，CQ．
【问题发现】（1）如图（1），当点P与点M重合时，线段CQ与PN的数量关系是 CQ＝PN ，∠ACQ＝ 45° ．
【探究证明】（2）当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图（2）中的情形给出证明．
（3）连接PC，当△PCQ是等边三角形时，请直接写出的的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵CP＝PA，CN＝BN，
∴MN∥AB，
∴∠CPN＝∠CAB＝90°，∠CNM＝∠B＝45°，
∴∠PCN＝∠CNP，
∴CM＝PN，
∵∠APQ＝∠CPQ＝90°，AP＝PQ＝CP，
∴△QCM是等腰直角三角形，
∴CQ＝CM＝PN，∠ACQ＝45°，
故答案为：CQ＝PN，45°．
（2）结论成立．
理由：连接AN．
∵AC＝AB，∠CAB＝90°，CN＝BN，
∴AN⊥BC，AN＝CN＝BN，
∴△ACN是等腰直角三角形，
∴AC＝AN，∠CAN＝45°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，∠QAP＝45°，
∴∠QAP＝∠CAN，
∴∠QAC＝∠PAN，＝＝，
∴△QAC∽△PAN，
∴∠ACQ＝∠ANP，＝＝，
∴CQ＝PN，
∵AM＝CM，AN＝NC，∠ANC＝90°，
∴∠ANM＝∠CNM＝45°，
∴∠ACQ＝∠ANP＝45°；
（3）如图3中，当点P在线段MN上时，过点P作PR⊥CN于点R．
∵△PCQ是等边三角形，
∴∠PCQ＝60°，
∵∠ACQ＝∠ACB＝45°，
∴∠ACP＝15°，∠PCR＝30°，
设PR＝RN＝m，则PN＝m，CR＝m，
∴CN＝BN＝m+m，
∴BC＝2m+2m，
∴AB＝BC＝m+m，
∴＝＝．
如图4中，当点P在MN的延长线上时，过点P作PR⊥CN交CB的延长线于点R．
同法可得，∠MPC＝∠MPA＝∠APR＝15°，∠PCR＝30°，
设PR＝NR＝n，则PN＝n，CR＝n，CN＝（﹣1）n，
∴BC＝2（﹣1）n，
∴AB＝BC＝（﹣）n，
∴＝＝，
综上所述，的值为或．
x/周
8
24
T/千套
10
26
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？
x/周
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T/千套
10
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从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？