吉林省珲春市第二高级中学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

这是一份吉林省珲春市第二高级中学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题，共15页。试卷主要包含了 已知全集，集合，则， 函数的零点所在的大致区间的， 已知，，，则， 已知函数，求， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集的运算即可求解.
【详解】解：，
，
故选：B．
2. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
3. 函数的零点所在的大致区间的
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.
【详解】函数 ,在x>0上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数，指数函数，三角函数的单调性比较与1和0的大小关系，即可得出答案.
【详解】，即，
，即，
，即，
则．
故选：A.
5. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，，所以.
故选：D
6. 已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得.
【详解】函数是上的增函数，
则3−a>0a>13−2a≤0，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
7. 已知函数，求（ ）
A. 0B. C. D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】令，则，求导后赋值即可.
【详解】令，则，两边求导得到，令，得到.
故选：B.
8. 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】因为，所以，
当，；当，，
所以和单调递减，在单调递增，
且当时，，，
故的大致图象如图所示：

关于的方程等价于，
即或，
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故选:C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，，得，而，则，B错误；
对于C，函数在上单调递增，，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
10. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，
且幂函数在上是减函数，故A正确；
B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，
且，则其在上单调递减，故B正确；
C选项中，设，其定义域为，则，
故是偶函数，且函数在上单调递减,
函数在定义域上为增函数，
所以在 上单调递减,故C正确；
D选项中，设，是，
且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.
故选：ABC.
11. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.
【详解】由，令，则，
又为偶函数，则，A对；
由上，得①，
在①式，将代换，得②，B错；
在②式，将代换，得，C对；
由且，即周期为2且关于对称，
显然是满足题设的一个函数，此时，D错.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数的定义域是，得，则，
由，解得，
所以的定义域是.
故答案为：
13. 已知，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可.
【详解】由于，因此，
则，
当且仅当时取等号．
故答案为：.
14. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
所以，两边同时求导可得，即且，
又因为当时，，所以.
构造函数，则，
所以当时，在上单调递增，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
又因，所以在上大于零，在上小于零，
因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，
综上所述，的解集为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、讨论，根据交集运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16. 数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
【小问2详解】
．因此
．
17. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.
附：，其中.
若，则，.
【答案】（1）不能 （2）人
【解析】
【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断；
（2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据
【小问1详解】
：学生的性别和是否喜欢运动无关.
，
所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
【小问2详解】
训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，
则，，，
即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，
，
由（人）
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：的极小值不大于1.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）讨论、，利用导数研究的单调性即可；
（2）利用导数研究的单调性，可得极值，构造且，应用导数研究其最值，即可证结论.
【小问1详解】
由，
当，则，即在定义域上递增；
当，令，则，
当，，即递增；
当，，即递减；
此时在上递减，在上递增.
【小问2详解】
由题设且，则，
若，则，故在上递增，
当趋向于时，趋向负无穷，当趋向于正无穷时，趋向正无穷，
所以，使，即，
所以，上，递减；在上，递增；
故的极小值，
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，故，得证.
【点睛】关键点睛：第二问，利用导数研究单调性，且使，得到极值，再构造函数研究最值为关键.
19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.
【答案】(1) 对于任意有为位差奇函数, 不存在有为位差奇函数.(2) ;(3)
【解析】
【分析】(1)根据题意计算与,判断为奇函数的条件即可.
(2)根据是位差值为的位差奇函数可得为R上的奇函数计算的值即可.
(3)计算为奇函数时满足的关系,再根据对于任意都不是位差值为m的位差奇函数求解恒不成立问题即可.
【详解】(1)由,所以为奇函数.
故对于任意有为位差奇函数.
又,设.
此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数.
(2) 由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数.
即,.
(3)设
.由题意对任意的均不恒成立.
此时
即对任意不恒成立.
故在无解.又,故.
故
【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.
男学生
女学生
合计
喜欢跳绳
35
35
70
不喜欢跳绳
10
20
30
合计
45
55
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635