长沙市实验中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段性测试数学试题（原卷及解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A.3B.3iC.D.
3.若，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（ ）
A.16B.18C.20D.14
6.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若，且，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知定义在实数集上的函数，其导函数为f′x，且满足，f1=0，，则（ ）
A.0B.1C.D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B. C.若，则D.
10.水车在古代是进行灌溉引水工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A.，， B.当时，点P到x轴的距离的最大值为
C 当时，函数单调递减 D.当时，
11.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A.在上是“弱减函数”
B.在上是“弱减函数”
C.若在上是“弱减函数”，则
D.若在上是“弱减函数”，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若曲线上点P切线平行于直线，则点P的坐标是______.
13.在中，已知，为线段中点，若，则______．
14.已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有__________个，
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.如图，已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A的值；
（2）若，M为边BC上一点，且，求AM的长.
16.如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱中点，点在棱上，，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17.已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数a的值；
（2）探究在区间内的零点个数，并说明理由.
已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上.
（1）求C的方程；
（2）若，求直线AB的方程；
（3）若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值.
19.随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
（1）试求，的值；
（2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
（3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.