上海市吴淞中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份上海市吴淞中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，文件包含2024学年吴淞中学高二第一学期10月月考试卷解析docx、2024-2025年吴淞中学高二上10月月考试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
1. 和的等差中项是
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是
3. 已知空间向量则
4. 已知圆锥的侧面积是，母线是，则圆锥的底面圆半径为 .
5. 已知无穷等比数列的前项和为，首项a₁=3, 公比q=13, 则 limSn=
6. 一个与球心距离为3 的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为
7. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA'B'C'且 OA‖BC OA'=2=4, ,则该平面图形的面积为 .
8. 如图，圆柱的底面半径为，高为，分别是上、下底面圆周上的两个点，若 O₁A⊥O2B, 则= .
9. 等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大，则公比= .
10. 已知向量 , 若共面, 则x=.
11. 定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。已知数列的前项和 Sn=n2−6n+α n∈N∗a≠5, 令 ,若数列的变号数为, 则实数的取值范围是 .
12.如图,已知A(-3,0), B(-1,1), C(1,1), D(3,0), E(1,-1), F(-1,-1).线段BC、EF为同一圆周上的一段圆弧，某“UFO”可以近似看成将该图形绕轴旋转半周所得的几何体，则该几何体的体积为 .
二、选择题(13、14题每题4分, 15、16每题5分, 总分18分)
13.数列是各项均为实数的等比数列，则 “a₂>a₁>0”是“数列 aₙ为严格增数列”的( ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 已知空间单位向量 两两垂直，则 （ ）
A. 3 B. 6 C. 3 D.6
15. 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中错误的是( )
A. 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；
B. 若m，π平行于同一平面，则m与n可能异面；
C. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；
D. 若α，β垂直于同一平面，则α与β可能相交.
16. 如图，在棱长为的正方体ABCD−AB'CD中，是侧面ADDA'上的一个动点，点
为线段上, 且|PC'|=2, 则以下命题正确的是( )
(动点的轨迹：指动点运动所形成的图形)
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离是 109
B. 保持PM与BD'垂直时，点M的轨迹长度为 32
C. 若保持|PM|=26, 则M的轨迹长度为 43π
B
D. 平面AD'P被正方体 ABCD−A'BCD'截得截面为直角梯形
三、解答题(总分78分)
17(14分). 已知正方体 ABCD−AB₁C₁D₁的棱长为1，P为AC的中点.
(1)证明: D₁P‖平面A₁BC₁;
(2)求三棱锥B−A₁D₁C₁的体积.
【解析】（1）略 （2）
18(14分). 已知空间三点 A0−23、B−2−16,C115.
(1)求 ;
(2)若向量与 平行，且|m|=27, 求的坐标.
【解析】（1） （2）或
19(14分).已知数列的前n项和为, 对一切正整数，点Pₙn Sₙ 都在函数 fx=x²+2x的图象上.
(1)求数列 的通项公式：
(2)设 bn=bn−1+an ,b1=1, 求数列 的通项公式.
【解析】（1） （2）
20(18分).如图,在四棱锥S-ABCD中, SA⊥平面ABCD,AD‖BC,AB⊥BC,且 SA=AB=BC=2,AD=1, M是棱SB的中点.
(1)求异面直线 AM与SD 所成角的余弦值;
(2)求点A到平面SBC的距离;
(3)设N是棱CD(含端点)上的动点，求直线AD与平面AMN所成角的大小的取值范围.

【解析】因为 SA⊥ 平面 ABCD,AD//BC, AB⊥BC,
所以 AB,AD,AS两两互相垂直,则以 A 为坐标原点,
AB,AD,AS 所在直线分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,
因为 SA=AB=BC=2,AD=1,M 是棱 SB 的中点,
则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),
D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),
(1)因为 AM=(0,1,1),
SD=(1,0,−2)
所以
cs=AM∙SD|AM||SD|=−22×5=−105
所以异面直线 AM 与 SD 所成角的余弦值为 105
(2)因为 SB=(0,2,−2),
BC=(2,0,0),AB=(0,2,0)
设平面 SBC 的法向量为 m=(x,y,z),
则 m∙SB=2y−2z=0m∙BC=2x=0,
令 y=1, 则 x=0,z=1, 所以
m=(0,1,1),
所以点 A 到平面 SBC 的距离为
|AB⋅m||m|=22=2
(3)因为 N 是棱 CD (含端点) 上的动点, 所以设
CN=λCD=λ(−1,−2,0)=(−λ,−2λ,0) (0⩽λ⩽1)
因为 AD=(1,0,0),AM=(0,1,1),
AN=AC+CN=(2,2,0)+(−λ,−2λ,0) =(2−λ,2−2λ,0)
设平面 AMN 的法向量为 n=(a,b,c) ，
则 n⋅AM=b+c=0n⋅AN=(2−λ)a+(2−2λ)b=0,
令 b=λ−2, 则 a=2−2λ,c=2−λ, 所以 n=(2−2λ,λ−2,2−λ),
设直线 AD 与平面 AMN 所成角为 θ,
所以
sin⁡θ=|cs|=|AD∙n||AD||n|=|2−2λ|(2−2λ)2+(λ−2)2+(2−λ)2=2×|1−λ|3λ2−8λ+6
当 λ=1 时, sin⁡θ=0; 当 λ≠1 时, sin⁡θ=2×(1−λ)23(1−λ)2+2(1−λ)+1=2×111−λ2+21−λ+3 令 t=11−λ, 则 t∈[1,+∞), 所以 sin⁡θ=2×1t2+2t+3=2×1(t+1)2+2 ∈0,33
所以 sin⁡θ∈0,33, 所以θ∈0,arcsin⁡33,
所以直线 AD 与平面 AMN 所成角的大小的取值范围为 0,arcsin⁡33.
21(18分). 对于任意, 若数列满足 , 则称这个数列为“K数列”.
(1)已知数列1, , 是“K数列”，求实数的取值范围.
(2)是否存在首项为−2的等差数列为“K数列”，且其前项和使得 Sn1, 且 m2+1−2m>1 ，解得 m>2 ，所以实数 m 的取值范围是 (2,+∞)
不存在.理由：假设存在等差数列 an 符合要求, 设公差为 d, 则 d>1,
由 a1=−2 得 Sn=−2n+n(n−1)2d 。
由题意，得 −2n+n(n−1)2d1 矛盾，
所以这样的等差数列 an 不存在.
（3）设数列 an 的公比为 q, 则 an=a1qn−1.因为 an 的每一项均为正整数，且 an+1−an=anq−an= an(q−1)>1>0,所以在 an−an−1 中， a2−a1 为最小项。
同理, 12an−12an−1 中, 12a2−12a1 为最小项.
由 an 为" K 数列"，只需 a2−a1>1 ，即 a1(q−1)>1.
又因为 12an 不是 " K 数列", 且 12a2−12a1 为最小项，
所以 12a2−12a1≤1, 即 a1(q−1)⩽2.
由数列 an 的每一项均为正整数, 可得 a1(q−1)=2 ，
所以 a1=1,q=3 或 a1=2,q=2.
当 a1=1,q=3 时, an=3n−1, 则 bn=3nn+1.
令 cn=bn+1−bnn∈N∗, 则
cn=3n+1n+2−3nn+1=3n∙2n+1(n+1)(n+2),
又
3n+1∙2n+3(n+2)(n+3)−3n∙2n+1(n+1)(n+2)=3nn+2∙4n2+8n+6(n+1)(n+3)>0
所以 cn 为递增数列, 即
cn>cn−1>cn−2>⋯>c1,
因为 b2−b1=3−32=32>1,
所以对于任意的 n∈N∗, 都有 bn+1−bn>1,即数列 bn 为 " K 数列"。
当 a1=2,q=2 时, an=2n, 则 bn=2n+1n+1.
因为 b2−b1=23