高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题.
2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.

二、教学重难点
重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系.
难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.

三、教学过程
（一）创设情境
提问：回顾上节所学内容，数列的概念与一般形式是什么?
回答：(1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列的每一项与这一项的序号有一一对应的关系.
(3)数列an的第n项an与序号n之间的关系式叫数列的通项公式.
(4)求数列通项公式的一般方法：由各项的特点，找出各项共同的构成规律,通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系.
（二）探究新知
任务1：数列的通项公式
例3：如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
解：令n2+2n=120，
解这个关于n的方程，得n=−12(舍去)，或n=10.
所以，120是数列{an}的项，是第10项.
总结： 判断某个数是否为此数列的项，关键是要将此数带入到数列的通项公式，注意解必须得有且为正整数.
设计意图：本例是要利用数列的通项公式判断某个数是不是这个数列的项，引导学生对这个问题进行转化——“判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120”.这实质上转化成了一个求方程的整数解的问题.同时，通过本题让学生灵活运用数列的通项公式解决问题.
例4：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：在以上4个图中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是an=3n−1.
总结：首先要明确数列的每一项，其次是要确定数与项一一对应的关系，进而寻找规律，得出数列的通项公式.
设计意图：该问题是以一个典型的分形现象——谢尔宾斯基三角形为素材，让学生用数列刻画这个三角形序列中着色三角形的个数，并写出这个数列的一个通项公式，这个情境反映了数列在刻画事物变化规律方面的应用.同时，借助该问题引出递推数列的定义.通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.
提问：观察例4中的三个图，说说相邻的大三角形中着色三角形个数相互之间的关系是什么？数列的项什么关系？
师生活动：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.这样，例4中的数列的前4项满足a1=1，a2=3a1，a3=3a2，a4=3a3.
因此猜测这个数列满足公式an=1，n=1，3an−1，n≥2.
总结：像 an=3an−1（n≥2）这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
例5：已知数列{an}的首项为a1=1，递推公式为an=1+1an−1(n≥2)，写出这个数列的前5项.
解：由题意可知， a1=1，a2= 1+1a1=1+11=2，
a3=1+1a2=1+12=32，
a4=1+1a3=1+23=53，
a5=1+1a4=1+35=85.
总结：首先明确递推公式的形式，其次是要一步一步代入计算，一层一层计算，注意细心.
设计意图：通过典型例题，让学生熟悉递推公式的表示方式，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
任务3：数列的前n项和公式
总结：在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前项和，记作Sn，即
Sn=a1+a2+⋯+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
思考：已知数列{an}的前项和公式为Sn=n2+n，你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn−Sn−1=n2+n−[(n−1)2+(n−1)]=2n(n≥2)，
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
设计意图：通过典型例题，帮助学生灵活运用数列前n项和与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
（三）课堂练习
1.下列说法不正确的是( )
A. 根据通项公式可以求出数列的任何一项B. 任何数列都有通项公式
C. 一个数列可能有几个不同形式的通项公式D. 有些数列可能不存在最大项
2.已知数列2， 6， 8， 10，⋯， 2n+2，⋯，则 42是这个数列的( )
A. 第20项B. 第21项C. 第22项D. 第19项
3.数列{an}中，a1=2，am+n=aman(m,n∈N∗)，则a4=( )
A. 16B. 8C. 12D. 24
4.下面有四个命题：
①数列23，34，45，56，⋯的通项公式是an=nn+1；
②数列的图象是一群孤立的点；
③数列1，−1，1，−1，⋯与数列−1，1，−1，1，⋯是同一数列．
其中正确命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为( )
A. 220B. 200C. 180D. 162
6.在数列{an}中，已知前n项的和Sn= 4n2−n，那么a100等于( )
A. 810B. 805C. 800D. 795
7.数列an的前n项和Sn=nn−1，若ak−a5=10，则k=( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
（五）归纳总结
课堂小结：通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.