人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义，了解数列的表示方法，提升数学抽象素养；
2.经历从函数的角度研究数列一般形式的过程，了解数列是一种特殊的函数，能通过对数列的表示（列表法和图象法）体会其特殊性，提升学生类比推理的能力；
3.经历对数列通项公式的归纳过程，理解数列的通项公式表示的是数列的项及其项数之间的对应关系，提升学生的数学归纳能力，及数学运算素养.

二、教学重难点
重点：数列的概念、数列的通项公式.
难点：数列的概念.

三、教学过程
（一）创设情境
提问：古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”.如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列. 那么什么叫数列呢?
回答：在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.
设计意图：通过直观感知的形式进行探究，结合传统文化和图片，既可以提高大家参与的积极性，也可以让数学走进生活.
提问：你能举出几个类似的用按顺序排成一列的数来研究变化规律的事例吗？
师生活动：学生举例，教师通过学生的答案，判断他们对数列的已有认知情况.
设计意图：通过事例让学生感知，将数据按确定顺序排成一列进行研究有其实标的意义和价值.
（二）探究新知
任务1：数列的概念
探究1：王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：
75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168. ①
记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1=75,h2=87,…,h17=168.我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置.
思考： h5,h10能否交换位置？具有确定的顺序吗？
h5,h10分别表示5岁和10岁的身高，所以不能交换位置.所以①具有确定的顺序.
探究2：在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：
5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240. ②
记第i天月亮可见部分的数为 si, 那么s1=5 , s2=10, …，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数… …s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也
是具有确定顺序的一列数.
探究3：−12 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
−12、14、−18、116...
思考：上述例子的共同特征是什么？
记第i个数为si，那么s1= −12 ，s2= 14 ， s3−18，s4=116，…，是具有确定顺序的一列数.共同特征：不能交换位置，具有确定的顺序.
设计意图：通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
表示:数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… 简记为 { an }
提问：{an}与an所表示的意义是否相同？
师生互动：不相同；{an}表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ；an表示数列 { an }中的第 n 项.
任务2：数列的表示
思考：数列中的各项ai与各项序号i（i=1，2，3，...，n，...)间的对应关系是什么关系？
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:
序号 1 2 3 ... n ...
项 a1 a2 a3 ... an ...
数列本质上是特殊的函数：
①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即an=f(n)
②定义域为正整数集N∗或它的有限子集1，2，3，4，…，n.
列是自变量为离散的数的函数.
思考：既然数列是特殊的函数，那么数列的表达方式和函数的一样吗？
例如，实例1的王芳身高可以表示为
它的图象如图4.1-1所示．
师生活动：学生作答,教师引导学生认识作为函数的数列定义域的特点.
设计意图：本两例从函数的表示认识数列，着重探究数列最重要的表示方法通项公式法.
任务2：数列的分类
1. 以项数来分类：
(1) 有穷数列：项数有限的数列；
(2) 无穷数列：项数无限的数列.
2. 以各项的大小关系来分类：
(1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
(2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
(3) 常数列：各项都相等的数列；
(4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
思考：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用
一个公式表示?
数列的通项公式：如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系
可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项.
例：−12、14、−18、116...⇒an=−12n
追问1：数列通项公式的作用是什么？
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
追问2：数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有
通项公式吗？
并不是每个数列都能写出通项公式.
（三）应用举例
例1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.
（1） an=n2+n2 ; （2） an=cs(n−1)π2
解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{an}的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示.
当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列 {an}的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示.

总结：要再明确数列的概念的基础上，学会用公式、列表、图象来表达数列，做到一
一对应.
设计意图：本例是对通项公式的直接运用,并要求学生描点作图,使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列.
例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1)1，−12，13，−14，⋯；
(2)2，0，2，0，⋯.
解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负,
所以它的一个通项公式是an=−1n+1n
(2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0, 所以它的一个通项公式是an=−1n+1+1
提问：难道不止一个？你还能写出其他的解析式吗？
答：（1）或an=−1n−1n
（2）或an=1+−1n−1或an=2，n为奇数0，n为偶数
总结：要明确数列项与数的关系，根据数列的特点选择合适的通项公式，注意奇偶项和正负号的检验.
设计意图：通过典型例题，帮助灵活运用数列的概念解决问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
课堂练习
1.已知数列2， 6， 8， 10，⋯， 2n+2，⋯，则 42是这个数列的( )
A. 第20项B. 第21项C. 第22项D. 第19项
2.数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A. an=nB. an=n+1C. an=n+2D. an=2n
3.数列−3，5，−7，9，…的通项公式可能是an=( )
A. (−1)n(2n+1)B. (−1)n(2n−1)C. (−1)n+1(2n+1)D. (−1)n+1(2n−1)
4.数列1，−34，12，−516，…的一个通项公式为an=( )
A. (−1)n+1n+12nB. (−1)n+12n−12nC. (−1)nn+12nD. (−1)n+12n−12n
5.数列an的通项公式为an=nn2+90，则数列an中的最大项是( )
A. 3 10B. 19C. 119D. 1060
6.已知an=csnπ，则数列{an}是( )
A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
（五）归纳总结
课堂小结：通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
75
87
96
103
110
116
120
128
138
n
10
11
12
13
14
15
16
17
145
153
158
160
162
163
165
168