人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时教案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 等差数列的性质及应用

一、教学目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.

二、教学重难点
重点：等差数列的性质及其应用.
难点：等差数列的性质的推导.

三、教学过程
创设情境
思考：上节课我们都学习了哪些内容呢？
师生活动：学生回顾上节课所学知识，教师完善知识结构.
预设答案：
等差数列定义
若an−an−1=d（常数）n≥2，则{an}为等差数列.
若an+1−an=d（常数）n∈N∗，则{an}为等差数列.
等差数列的通项公式
an=a1+n−1d
等差数列通项公式的性质
an=am+n−mdm,mϵN∗
等差中项
a，A，b成等差数列，则A=a+b2
设计意图：通过回顾等差数列的定义、通项公式、中项性质，温故知新.
探究新知
任务1：探究等差数列的性质．
1.已知一个等差数列的首项为a1，公差为d
a1，a2，a3，……an
将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？取出数列中的所有偶数项呢？
取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？取出的是所有k倍数的项呢？
师生活动：学生带着问题自主去探究等差数列的性质，教师不断地引导，最终得出等差数列的性质.
答：（1）am+1，am+2，……an是等差数列，首项为am+1，公差为d，项数为n-m.
（2）a1，a3，a5，……是等差数列，首项是a1，公差为2d.
a2，a4，a6，……是等差数列，首项是a2，公差为2d.
(3)a7，a14，a21，……是等差数列，首项是a7，公差为7d.
ak，a2k，a3k，……是等差数列，首项是ak，公差为kd.
总结：等差数列的一个重要性质：若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m…(k，m∈N∗)是公差为md的等差数列．
证明：∵{an}是等差数列，公差为d，
∴ak+m=ak+md，ak+2m=ak+2md即2ak+m=ak+ak+2m.
即ak，ak+m，ak+2m…(k，m∈N∗)是公差为md的等差数列．
2.已知数列{an}为等差数列，那么若m,p,nm,p,nϵN∗成等差数列，是否am，ap，an 成等差数列，请猜想并证明.
师生活动：学生小组讨论，分享交流，教师总结.
猜想：上述条件下，am，ap，an成等差数列.
证明：根据等差数列的定义，m,p,n成等差数列，
所以p−m=n−p
所以（p−m）d=（n−p）d
所以ap−am=an−ap
即am，ap，an成等差数列
3.对于等差数列:a1 ,a2,a3,a4,a5,a7,a8…说出a4是哪两项的等差中项？
a4=a3+a52=a2+a62=a1+a72⟺a3+a5=a2+a6=a1+a7=2a4
观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.
师生活动：学生观察并自主猜想，尝试证明，教师小结.
等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aqm,n,p,q∈N∗
证明：由等差数列的定义可知， am=a1+m−1d，an=a1+n−1d，ap=a1+p−1d，aq=a1+q−1d，
所以am+an=2a1+m+n−2d,ap+aq=2a1+p+q−2d
因为m+n=p+q，所以am+an=ap+aq.
追问：对于等差数列的这条性质，图中是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
根据等差数列的通项是关于n的一次型函数，我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，我们可以从直线斜率的角度来解释这一性质：ap−asp−s=at−aqt−q
∵p+q=s+t
∴p−s=t−q
∴ap−as=at−aq
∴ap+aq=at+as
总结：表示等差数列的各个点均匀分布在一条直线上，这条直线的斜率是公差d，即
d=ap−asp−s
设计意图：让学生理解利用等差数列的通项公式可推导出等差数列的性质，深化对等差数列的理解,提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
（三）应用举例
例1某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，没经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}，由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用{an}的通项公式列不等式求解。
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得
an＝an−1－d（n≥2）．
由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是
an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10≥11，a10＜11.
即：220－10d≥11220－11d＜11解得19