高中数学人教A版选修第二册《4.3.1等比数列的概念第1课时》教案

第四章 数列4.3.1等比数列的概念第1课时 一、教学目标1.理解等比数列的定义,会用定义判断一个数列为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式,并能灵活运用公式进行相关计算.3.掌握等比中项的定义并能解决相关问题.4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数学建模素养. 二、教学重难点重点：等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式.难点：等比数列通项公式的推导和运用 三、教学过程（一）创设情境回顾：1.等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等比数列的公差，公比通常用字母d表示.2.等差中项若三个数 a，A，b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．此时，2A＝a+b．3.等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d设计意图：通过已经讲述过的等差数列的研究方法，让学生联系、类比已学知识，为等比数列的概念的学习打下基础。（二）探究新知任务1：探索等比数列的定义.思考： 观察下列两个情境，情境中的两个数列有哪些共同特征呢？情境1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是1，2， 4， 8，…. 情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为1,12,14,18,116,⋯思考：(1)你能发现数列中相邻项之间的关系吗?它们是等差数列吗?1，2， 4， 8，…. 1,12,14,18,116,⋯答：都不是等差数列,因为不符合等差数列的定义.通过观察数列中相邻两项之间的关系,你会发现有怎样的共同特点?答：从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个非零常数.探究：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出这类数列的概念吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数．设计意图：意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力．总结：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，公比通常用字母q表示.探究：你能尝试用符号语言表示等比数列吗？总结：等比数列的符号语言an+1an=qq为常数，且q≠0 ；n∈N∗或anan−1=qq为常数，且q≠0 ；n≥2,且n∈N∗思考：类比等差中项的概念，你能得到等比中项的概念吗?答：若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．思考：(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？等差数列的项和公差都可以为0；等比数列的项和公比都不可以为0.(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 常数列是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；q0 an=a1qn−1 an=a1q∙qn f(x)=a1q∙qx(x∈R)等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=a1q∙qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n).以等比数列的项数为横坐标、以项为纵坐标的点是指数型函数图象上一系列孤立的点.（三）应用举例例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项．分析：等比数列{an}由a1,q唯一确定，可利用条件列出关于a1,q的方程（组），进行求解．解法1：由a4=48,a6=12，得a1q3=48①a1q5=12②②的两边分别除以①的两边，得q2=14．解得q=12或−12．把q=12代入①，得a1=384．此时，a5=a1q4=384×(12)4=24．把q=−12代入①，得a1=−384．此时，a5=a1q4=−384×(−12)4=−24．因此，{an}的第5项是24或．解法2：因为，所以a5是a4与a6的等比中项，于是a52=a4a6=48×12=576．所以a5=±576=±24．因此，{an}的第5项是24或． 师生活动：带领学生完成第一个通项公式的寻找，后面三个数列的通项公式由学生独立完成，最后教师组织学生订正．设计意图：通过以上四个数列的通项公式的寻找，学生进一步理解掌握等比数列通项公式的运用．总结：等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1,q和n,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.解：由题意,得am=a1qm−1 ① an=a1qn−1 ②②的两边分别除以①的两边，得anam=qn−m，所以an=amqn−m.师生活动：让学生先独立思考，教师展示学生推导并规范解答．设计意图：内容难度不大，引导学生类比等差数列通项公式的推导过程进行推导，并得到等比数学的通项公式．这是一个提升学生数学抽象的时机．例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为80q2，80q，80，80+d，80+2d．于是得80q+(80+d)=136,80q2+(80+2d)=132.解方程组，得q=2,d=16,或q=23,d=−64.所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．总结：巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三个数成等差数列,则常设成a−d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设成aq ,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,则可设为aq2,a,aq,aq2.若四个符号相同的数成等比数列,则可设为aq3,aq,aq,aq3.例4 已知数列{an}的通项公式为an=3×2n,判断这个数列是否是等比数列.如果是,求出公比;如果不是,说明理由.解：因为an+1an=3×2n+13×2n=2所以，数列{an}是等比数列,且首项为6,公比为2.总结：判断一个数列{an}是等比数列的基本方法是定义法 若数列{an}满足an+1an=q(q为常数且不为零)或anan−1=q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．师生活动：学生读懂题意，尝试解答.设计意图： 通过例题，熟悉等比数列的概念，并强化数学运算的核心素养．课堂练习1.“ac=b2”是“a、b、c成等比数列”的(    )条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac，若ac=b2，当a=b=c=0时，a、b、c不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要不充分条件．故选：B.2.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为an，其将满月等分成240份，ai(1≤i≤15且i∈N∗)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a1=5；第15天为满月，即a15=240.已知an的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则a5=(    )A. 40 B. 80 C. 96 D. 112解：依题意，有a5=a1q4=5q4，a15=a5+10d=5q4+10d=240，q=1时，d不是正整数；q=2时，d=16；q≥3时，5q4≥405，d不是正整数．所以q=2，d=16，a5=a1q4=80．故选：B3.在等比数列an中，a1