高中数学人教A版选修第二册《4.3.2等比数列的前n项和公式 第2课时》教案

第四章 数列4.3.2等比数列的前n项和公式公式第2课时 一、教学目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题．2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．3.通过本节课例题讲解提高学生分析解决问题的能力.4.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养 二、教学重难点重点：等比数列的前n项和公式及其应用．难点：运用等比数列解决实际问题． 三、教学过程（一）创设情境回顾：1.等比数列的前n项和公式Sn=a1(1−qn)1−q=a1(1−qn)1−q,q≠1na1,q=12.等比数列的前n项和公式的性质等比数列{an}的公比q≠−1，前n项和为Sn.则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列.3.等比数列求和的求和方法：乘比错位相减法设计意图：复习旧知识，使学生更快地接受新知识，即加强新旧知识间的联系，同时又使整节课教学结构紧密.（二）探究新知任务1：探索等比数列的前n项和公式的函数特征我们知道，等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n−1)2d=d2n2+(a1−d2)n是常数项为0的关于n的二次型函数．思考：类比等差数列，等比数列的前n项和Sn有什么函数特性？师生活动：先独立思考，再交流讨论.提示：等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.当q=1时，Sn=na1是n的正比例函数.当公比 q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn=a1(1−qn)1−q=a1−a1q1−q=a11−q−a1qn1−q=−a11−qqn+a11−q令A=−a1 1−q ，上式可写成 Sn=Aqn−A即Sn是n的指数型函数，qn的系数与常数项互为相反数.任务2：探索“分组求和法”求数列的前n项和一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用“错位相减法”求和，如果是数列{an+bn}，该如何求它的的前n项和呢？分别将数列{an}和数列{bn}求和，再相加即可.上述求数列前n项和的方法，称为“分组求和法”.师生活动：先独立思考，再交流讨论，教师进行完善.设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．（三）应用举例例1 如图，正方形ABCD 的边长为5cm，取正方形ABCD 各边的中点E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和；(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3, …,an,…，则a1=25,由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak+1=12ak,因此{an}，是以25为首项，12为公比的等比数列.设{an}的前项和为Sn（1）S10=25×1−1210 1 −12=50×1−1210=25575512所以，前10个正方形的面积之和为25575512cm2.(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+…+an+…，而Sn=25×1−12n 1 −12=50×1−12n,随着n的无限增大，12n将趋近于0，Sn将趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.师生活动：学生建立数学模型求解，并在小组内交流解题方法，教师适时点评.设计意图：以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题．并体会等比数列与指数函数的关系，感悟函数思想．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．总结： 设等比数列{an}的公比为q,当|q|