重庆市松树桥中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，分别代入求值.
【详解】由解析式可知，.
故选：D
2. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性即可比较作答.
【详解】，，故，
由于，故
，故，
故选：D
3. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可.
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确；
因为，，
所以，故①正确；
，故④错误.
所以正确的有3个.
故选：C.
4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象知函数的定义域排除选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：A.
5. 已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合选项，根据二次函数的性质求解判断.
【详解】函数对称轴为，
当时，当时，当时，值域为，故A错误；
当时，当时，当时，值域为，故B正确；
当时，当时，当时，值域为，故C错误；
当时，当时，当时，值域为，故D错误.
故选：B.
6. 已知命题p：，是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数a的取值范围.
【详解】由题意得是真命题，即，，
当时，符合题意；
当时，有，且，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选:D.
7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据函数的性质，以及零点的位置，确定或的解集，在求解不等式的解集.
【详解】在区间上，函数单调递增，且，
所以在区间，，在区间，，
因为函数为奇函数，所以，
在区间，，在区间，，
不等式等价于或，
所以不等式的解集为.
故选：C
8. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.
【详解】因为函数在上是单调函数，则存在唯一的，使得，
对于方程，则，可得，
所以，函数在上是增函数，由，可得，，
因此，.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项是满足要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设，，则B. “”是“”的充分不必要条件
C. 的解集为D. 若，则的最小值为3
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用作差法验证A；利用充分条件与必要条件的对于判断B；利用指数函数单调性解不等式即可验证C；利用基本不等式验证D.
【详解】对于A，，
因为，所以，又，
所以，所以，即，故A正确；
对于B，由可得或，
所以，当时，成立，“”是“”充分条件；
当时，不一定成立，“”是“”的不必要条件，故B正确；
对于C，由可得，
因为在上单调递增；
所以，解得，故C错误；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 函数与是同一函数
C. 函数的单调递增区间是
D. 已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】由换元法即可得到函数解析式，从而判断A，分别求得的定义域即可判断B，由复合函数单调性的判断方法即可判断C，由抽象函数定义域的求解，即可判断D.
【详解】对于A：令，则，，所以，
则，，
所以，故A正确；
对于B：因为函数，所以，解得，
所以函数的定义域为，
因为，则，解得或，
故的定义域为，
函数和函数的定义域不同，故不是同一函数，故B错误；
对于C：由，解得或，
即函数的定义域为，故C错误；
对于D：因为函数的定义域为，所以，
得，故函数定义域为，故D正确；
故选：AD
11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为2
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项ABC，利用基本不等式求解判断；对于选项D，令，代入，利用判别式求解判断.
【详解】对于选项AB，，
则，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故A正确，B错误；
对于选项C，
，
则，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，故C错误；
对于选项D，
令，代入，得，
当且仅当时，成立，
即的最小值为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数运算性质化简计算即可.
【详解】；；
原式
故答案为：
13. 若、为正实数，且，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意根据指数幂的运算法则得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，即，即，所以，
又、为正实数，所以，
当且仅当，即、时取等号.
故答案为：
14. 已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
设，
当时，，
由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，
且点、关于直线对称，可得，同理可得，
由，可求得，
所以，
.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.其中第15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数的定义域为集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）A∪B=x−2≤x≤3
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，在根据并集的定义写出；
（2）根据题意，对是否为空集分类讨论即可.
【小问1详解】
函数定义域为，即，而时，，根据并集的定义，A∪B=x−2≤x≤3.
【小问2详解】
，，当时，可能，此时，即；时，则，当时，或，解得. 综上，时，.
16. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求解析式；
（2）若在上的最小值为，求m的值.
【答案】（1）
（2）或3
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可；
（2）根据二次函数的性质讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意得，，解得，
则.
【小问2详解】
由，对称轴为，
当时，，则，即；
当时，，
则，即（舍去）或（舍去）；
当时，，则，即.
综上所述，或3.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断并证明函数在定义域内的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），，
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，，列出方程组，能求出，，由此能求出.
（2）在上单调递增，利用定义法能进行证明.
（3）由，得，利用函数的定义域和单调性列出不等式组，能求出实数的取值范围.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，且，
，解得，，
经检验，，满足题意，.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
在上任取，，令，
则，
，，，，，
，
在上单调递增.
【小问3详解】
，，
，解得.
实数的取值范围是.
18. 如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）.
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得.
（2）按分段求出最大值，再比较大小即得.
【小问1详解】
依题意，，而，
所以函数的解析式为，即.
【小问2详解】
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，
，当且仅当，即时取等号，
而，则当时，，
所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数.
（1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数是，不是，理由见解析；
（2）9； （3）.
【解析】
【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可.
（2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可.
（3）作出的图象，再借助函数图象变换列式求解.
【小问1详解】
对于函数，因为，，
所以函数为区间上的增长函数；
对于函数，当时，，
所以函数不为区间上的增长函数.
【小问2详解】
依题意，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，而，则函数在上单调递增，
，因此，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
【小问3详解】
依题意， 当时，，当时，，
而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示：

于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，

观察图象知，当且仅当，即时，恒成立，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】思路点睛：在解决对恒成立问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增函数，即转化为对恒成立.