初中数学浙教版（2024）八年级上册2.2 等腰三角形测试题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级上册2.2 等腰三角形测试题，文件包含浙教版数学八上题型分类训练专题29等腰三角形的证明及计算大题专项训练50道原卷版doc、浙教版数学八上题型分类训练专题29等腰三角形的证明及计算大题专项训练50道解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！
一．解答题（共50小题）
1．（2022秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠FAD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝90°，根据勾股定理得到EF4，设DF＝x，求得DF，得到AD，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：∵∠EAD＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
由（2）知，∠FAD＝∠E，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵AE＝5，AF＝3，
∴EF4，
设DF＝x，
∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2，
∴（4+x）2﹣52＝32+x2，
解得x，
∴DF，
∴DE，
∴AD，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴AD＝CD，
∴CF．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．（2022秋•铁西区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝ 60 度；
（2）若∠MON＝n°，则∠ACG＝ （90） 度；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．
【分析】（1）先由∠MON＝60°求得∠ABO+∠BAO＝120°，然后由AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线求得∠CAB+∠CBA＝60°，最后结合三角形的外角性质求得∠ACG的度数；
（2）根据（1）中的过程，用含有n的式子表示即可得到结果；
（3）先由CF∥OA得到∠ACF＝∠CAG，然后由∠BGO是△ACG的外角得到∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG，再由（2）得∠ACG＝90°72°＝54°，最后得到∠BGO和∠ACF的数量关系．
【详解】解：（1）∵∠MON＝60°，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣60°＝120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABC+∠BAC（∠ABO+∠BAO）＝60°，
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝60°，
故答案为：60．
（2）∵∠MON＝n°，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣n°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABC+∠BAC（180°﹣n°）＝（90）°，
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝（90）°，
故答案为：（90）．
（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF＝∠CAG，
∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG，
由（2）得：∠ACG＝90°72°＝54°，
∴∠BGO﹣∠ACF＝54°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和与外角和定理、角平分线的定义，整体思想的应用是解题的关键．
3．（2022秋•单县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
【分析】①由平行线的性质得∠ADB＝∠DBC，再由角平分线的定义得∠ABD＝∠DBC，则∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；
②由平行线的性质得∠ADC＝∠DCE，再由①知AB＝AD，则AC＝AD，然后由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠ADC，则∠ACD＝∠DCE，即可得到结论．
【详解】证明：①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知，AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．（2022秋•巴彦县期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得到∠ADB＝∠DEC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠C＝∠B，根据角平分线定义得到∠ADE＝∠CDE，等量代换得到结论．
【详解】解：（1）∵∠ADE＝∠C，∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ADB与△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵△ADB≌△DEC，
∴∠C＝∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠B＝∠C＝∠ADE＝∠CDE，
故图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE，∠BAD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，证得△ADB≌△DEC是解题的关键．
5．（2022秋•石家庄期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
【分析】（1）设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；
（2）依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【详解】解：（1）设∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中点，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
6．（2022秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF＝∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．
【详解】证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BEBFCF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE（AC﹣AB）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF＝∠C是解题关键．
7．（2022秋•赛罕区校级期中）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N．
（1）求证：MO＝MB；
（2）若AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠MBO＝∠OBC，根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠MOB，然后求出∠MBO＝∠MOB，再根据等角对等边可得OM＝BM；
（2）同理可得ON＝CN，从而确定出等腰三角形，再求出△AMN的周长＝AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴OM＝BM；
（2）解：由（1）知，OM＝BM，
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCB＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠BCO＝∠NOC，
∴∠NOC＝∠NCO，
∴ON＝CN，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN，
＝AM+OM+ON+AN，
＝AM+BM+CN+AN，
＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝6，
∴△AMN的周长＝7+6＝13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
8．（2022秋•建阳区期中）如图所示，已知点A，C分别在∠GBE的边BG，BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：AC＝AD；
（2）猜想：∠BAC与∠BDC之间有何数量关系，并对你的猜想加以证明．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，再由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD，从而得∠ABD＝∠ADB，则有AB＝AD，即可得证AC＝AD；
（2）由（1）知AC＝AD，有∠ACD＝∠ADC，由平行线的性质得∠ADC＝∠DCE，从而得∠ACD＝∠DCE，再由角平分线的定义得∠ABC＝2∠DBC，利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠GBE的平分线BD与AD交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AD；
（2）解：∠BAC＝2∠BDC，
证明如下：由（1）可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝2∠DCE，
∵∠GBE的平分线BD与AD交于点D，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵∠DCE是△BCD的一个外角，
∴∠DCE＝∠DBC+∠BDC，
即∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC，
∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
即∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC）＝2∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
9．（2022秋•微山县期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，AC⊥BC于点C．
（1）若∠B＝75°，求∠D的度数；
（2）求证：AB＝2CD．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝15°，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠BAC＝15°，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠BAC＝15°，于是得到答案；
（2）取AB的中点E，连接CE，根据直角三角形的性质得到CE＝AEAB，得到∠EAC＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACD，由角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，推出AD∥CE，得到四边形AECD是平行四边形，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝75°，
∴∠BAC＝15°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC＝15°，
∴∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠DCA＝150°；
（2）证明：取AB的中点E，连接CE，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴CE＝AEAB，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠EAC＝∠ACE，∠DAC＝∠EAC，
∴∠ACE＝∠CAD，
∴AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD，
∴AB＝2CD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（2022秋•高港区期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数．
【分析】（1）连接ED，先利用线段垂直平分线的性质说明ED＝DC，再在直角△ABD中，利用斜边中线与斜边的关系得到BE＝DE，从而问题得证；
（2）利用外角，用∠BCE表示出∠BDE，再在等腰△AED中，用∠BCE和∠AEC表示出∠ADE，根据直角得方程，求解即可．
【详解】（1）证明：连接ED．
∵点G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DE＝DC．
∵AD是高，CE是中线，
∴DE＝BE＝AE．
∴BE＝CD．
（2）解：∵DE＝BE＝AE＝DC，
∴∠BCE＝∠DEC，∠BAD＝∠ADE．
∴∠EDB＝2∠BCE，
∠ADE

．
∵AD是高，
∴∠EDB+∠ADE＝90°．
即2∠BCE．＝90°．
∴3∠BCE＝75°．
∴∠BCE＝25°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线上的点到线段两端的的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
11．（2022秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠BCD＝∠ACD，由于DE∥BC，根据平行线性质得∠EDC＝∠BCD，则∠EDC＝∠ACD，然后根据等腰三角形的判定得ED＝EC，由点E是边AC的中点，AC＝8，得EC＝4，所以DE＝4；
（2）作DG⊥BC于点G，易求GB、GF的长，再根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半即可求出DF的长．
【详解】解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴ECAC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如图2，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GBBC9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半的性质，熟记各种几何图形的性质是解题的关键．
12．（2022春•汉阳区校级期中）如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．
【分析】（1）延长AF交BCA于M，延长AE交CB的延长线与N，根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠MCF，根据全等三角形的选择得到AF＝NF，同理AE＝NE，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：延长AF交BCA于M，延长AE交CB的延长线与N，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝∠MFC＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠MCF，
在△ACF和△MCF中，
，
∴△ACF≌△MCF（ASA），
∴AF＝MF，
同理AE＝NE，
∴EF∥MN，
∴EF∥BC；
（2）解：∵AF＝MF，AE＝NE，
∴MN＝2EF＝2×4＝8，
∵AC＝4，
∴CM＝AC＝4，
∴CN＝MN+CM＝12，
∵BC＝5，
∴AB＝BN＝CN﹣BC＝7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．（2022春•桓台县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线，以及全等三角形的判定和性质，证出△ABC是等边三角形是解决本题的关键，是一道中档题．
14．（2022秋•新兴县期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．
（1）求证：∠2＝∠1+∠C；
（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．
【分析】（1）如图延长AD交BC于H．证明△BDA≌△BDH（ASA）即可解决问题．
（2）求出∠AHC，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）如图延长AD交BC于H．
∵BD⊥AH，
∴∠BDA＝∠BDH＝90°，
∵∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，
∴△BDA≌△BDH（ASA），
∴BA＝BH，∠2＝∠BHA，
∵∠BHA＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
（2）∵∠ABD＝28°，∠BDA＝90°，
∴∠2＝62°，
∴∠AHB＝∠2＝62°，
∴∠AHC＝180°﹣62°＝118°，
∵DE∥EB，
∴∠ADE＝∠AHC＝118°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（2022秋•浦城县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．
（1）求证：EM＝FM；
（2）求证：AC＝AN．
【分析】（1）由已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，CM⊥AF，从而证得三个直角三角形，即：∠AED+∠DAE＝90°，∠EFC+∠CAE＝90°，再通过已知，∠BAC的平分线AF和对顶角得∠CEF＝∠CFE，即得△ECF为等腰三角形，EM＝FM．
（2）根据SAS证得△AMN≌△AMC，即可证得AC＝AN．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，
又∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
又∵CM⊥AF，
∴EM＝FM．
（2）证明：∵CN⊥AF，
∴∠AMC＝∠AMN＝90°，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC＝AN．
【点睛】此题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质、定理是解题的关键．
16．（2022春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．
（1）求△PDE的周长；
（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．
【分析】（1）分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可求得．
【详解】解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
（2）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠ABC∠ACB＝65°，
∵∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
17．（2022春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF＝∠AFE，利用等角对等边即可证得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．
【详解】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；
（2）DE＝DF．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，
∴AD也是∠BAC的平分线．
又∵△AEF是等腰三角形，
∴AG是底边EF上的高和中线，
∴AD⊥EF，GE＝GF，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴DE＝DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键．
18．（2022春•未央区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，进而求出∠DEC的度数，
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【详解】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等腰三角形的性质是解决问题的关键．
19．（2022秋•雨花区校级月考）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．
（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．
【分析】由条件可证△EDC是等腰三角形可求DE长，构造全等三角形可证△ADC是等腰三角形，求出△DFC是直角三角形可求DF长
【详解】（1）解∵DE平分∠ADC，CD平分∠ACB，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠EC D，
∴DE＝EC，
∵E是AC中点，
∴DE＝ECAC＝5．
（2）证明：延长DE到G使EG＝DE，
∵∠AEG＝∠DEC，AE＝EC，
∴△AEG≌△CED（SAS），
∴AG＝DC，∠G＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠G＝∠ADE，
∴AD＝AG，
∴AD＝DC，
∴△ADC是等腰三角形．
（3）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE＝30°，
∴∠FDC＝90°，
∵∠DCF＝∠EDC＝30°，
∴DFFC，
∴DFBC18＝6．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等，等腰三角形判定的知识点
20．（2022秋•庄浪县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∴AM＝AN，列方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴当t时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴ANAM，
∴t（10﹣2t），解得t，
∴当t时，MN∥BC，
CN＝51．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
21．（2022秋•兰陵县期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．
【分析】先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合ASA易证△ABP≌△AEP，从而有BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
易求BE＝4，AE＝5，那么CE＝4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC＝∠C，结合三角形外角性质可证
∠ABE＝2∠C，也就易得∠BAC＝3∠C．
【详解】证明：延长BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∴CE＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠C，
又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，
∴∠ABE＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证△BCE是等腰三角形．
22．（2022春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．
（1）如图1，求∠P的度数；
（2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，可得∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，然后由三角形外角的性质求得∠P∠A；
（2）由BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线与EF∥BC，易证得△PEB与△PFC是等腰三角形，继而得到线段BE、EF、CF之间的数量关系．
【详解】解：（1）∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBD∠ACD∠ABC（∠ACD﹣∠ABC）∠A70°＝35°；
（2）BE＝EF+CF．
理由：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，
∵EF∥BC，
∴∠EPB＝∠PBD，∠EPC＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠EPB，∠ACP＝∠EPC，
∴BE＝PE，CF＝PF，
∵PE＝EF+PF，
∴BE＝EF+CF．
【点睛】此题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（2022秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 直角三角形 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°，得到∠ACD＝120°﹣30°＝90°，则△ACD是直角三角形．
（2）分类讨论：当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE；当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE；当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了分类讨论思想的运用以及等腰三角形的判定与性质．
24．（2022秋•香坊区校级月考）已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）如图1，求证：BE＝DE．
（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，若EG＝3，BF＝5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积等于的所有三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得结论；
（2）先证明四边形EBFD是平行四边形，求得▱EBFD的面积＝15，根据平行四边形的对角线平分面积可得结论．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）∵ED∥BF，DF∥BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EG⊥BC，且EG＝3，
∴S▱EBFD＝BF•EG＝3×5＝15，
∴S△EFD＝S△BEF＝S△BED＝S△BFD＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的性质、三角形和平行四边形的面积，属于基础题，熟练掌握这些性质是关键．
25．（2022春•莱州市期末）已知，如图，在△ABC中，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点F，过点C作CD⊥AD，垂足为D，在AC上取一点E，使DE＝CE，求证：DE∥AB．
【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定证明即可．
【详解】证明：∵CD⊥AD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴DE∥AB．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定解答．
26．（2022春•莲池区期中）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F． 试说明：EO＝BE
探究一：请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由．
探究二：如图②，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．
【分析】由O平分∠ABC与EF∥BC，易证得∠ABO＝∠EOB，即可证得EO＝BE；
探究一：同上题，可得OE＝BE，OF＝CF，继而可证得EF＝BE+CF．
探究二：同理可证得：OE＝BE，OF＝CF，继而可证得EF＝BE﹣CF．
【详解】证明：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EO＝BE；
探究一：EF＝BE+CF．
理由：∵EO＝BE，
同理可证：OF＝CF，
∴EF＝BE+CF；
探究二：EF＝BE﹣CF．
理由：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EO＝BE；
同理可得：OF＝CF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
27．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【详解】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5（7）cm．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．
28．（2022秋•莆田期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．
【分析】（1）如图1，先根据三角形内角和得：∠ABC＝70°，由角平分线及已知角可得：∠DBC＝∠ACB＝35°，可得结论；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC＝AD+CD＝BD+AD；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C＝35°，得BF＝BE，可得结论；
（3）正确画图4，作辅助线，构建等腰三角形，根据角的大小证明：AF＝AC＝EF，由线段的和与差可得结论．
【详解】证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：
如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．（2022秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE＝ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
【分析】（1）感觉平行线的性质和角平分线的定义即刻得到结论；
（2）根据线段的垂直平分线的性质证明FA＝FD，得到∠FAD＝∠FDA，根据三角形外角的性质得到∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，根据等量代换得到答案．
【详解】证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
证明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
30．（2022秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．
（1）求∠DFG的度数．
（2）设∠BAD＝θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？
【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；
（2）当GD＝GF时，就可以得出∠GDF＝80°，根据∠ADG＝40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ＝180°就可以求出结论；当DF＝GF时，就可以得出∠GDF＝50°，就有40°+50°+40°+2θ＝180°，当DF＝DG时，∠GDF＝20°，就有40°+20°+40°+2θ＝180°，从而求出结论．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝40°，AB＝AF∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝40°+40°＝80°．
答：∠DFG的度数为80°；
（2）当GD＝GF时，
∴∠GDF＝∠GFD＝80°．
∵∠ADG＝40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ＝180°，
∴θ＝10°．
当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝80°，
∴∠FDG＝∠FGD＝50°．
∴40°+50°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝25°．
当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝80°，
∴∠GDF＝20°，
∴40°+20°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝40°．
∴当θ＝10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
31．（2022秋•富源县校级期中）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：
①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？
【分析】（1）根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合；
（2）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC＝∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合；
（3）根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择①③证明．
∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BE平分∠B，CD平分∠C，
∴∠OBC＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝180﹣30﹣30＝120°，
答：∠BOC的度数为120°．
【点睛】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键．
32．如图1，DB为△ABC的角平分线，CE为∠ACB的外角平分线，过点A作AF⊥BD，交射线BD于点F，作AG⊥CE于G，连接EG．
（1）求证：FG∥BC；
（2）如图2，射线BD与CE相交于点M，若∠M＝45°，AB＝FG＝6，求AD的长．
【分析】（1）延长AF交BC的延长线于K，延长AG交BC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明FG是△AKN的中位线即可解决问题；
（2）延长AF交BC的延长线于K，延长AG交BC的延长线于N．作DT⊥BC于T．设AC＝b，BC＝a．承办方构建方程组求出a，b，再证明△BDA≌△BDT（HL），推出BA＝BT＝6，TC＝10﹣6＝4，设DA＝DT＝m，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】（1）证明：延长AF交BC的延长线于K，延长AG交BC的延长线于N．
∵AF⊥BF，
∴∠BFA＝∠BFK＝90°，
∵BF＝BF，∠FBA＝∠FBK，
∴△BFA≌△BFK（ASA），
∴AF＝FK，
同理可证：AG＝GN，
∴FG∥KN，即FG∥BC．
（2）解：延长AF交BC的延长线于K，延长AG交BC的延长线于N．作DT⊥BC于T．设AC＝b，BC＝a．
由（1）可知：AB＝AK＝6，AC＝CN＝b，KN＝2FG＝12，
∴a+b﹣6＝12，
∴a+b＝18，
∵∠M＝45°，∠M＝∠MCN﹣∠MBC，∠BAC＝∠ACN﹣∠ABC＝2（∠MCN﹣∠MBC）＝90°，
∴a2＝62+b2，
解得a＝10，b＝8，
∵DA⊥BA，DT∠BC，BD平分∠ABC，
∴DA＝DT，
∵BD＝BD，
∴△BDA≌△BDT（HL），
∴BA＝BT＝6，TC＝10﹣6＝4，
设DA＝DT＝m，
在Rt△DCT中，（8﹣m）2＝m2+42，
∴m＝3，
∴AD＝3．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
33．（2022秋•平定县期中）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根据△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
根据AC＝BC即可证明；
（3）由△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明；
【详解】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，关键是全等三角形的判定与性质的应用．
34．（2022秋•海淀区校级期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝ 120° ；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝ 90° ；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝ 60° ；
（2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ 180°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
【分析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．
如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，进而得出∠AFB＝90°．
如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC＝∠BDC，又有∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA＝120°，进而求出∠AFB＝60°．
（2）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE＝∠CDB，从而得出∠DFA＝∠ACD，得到结论∠AFB＝180°﹣α．
（3）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB＝180°﹣α．
【详解】解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC＝∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．
如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC＝∠DBC，
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°．
∴∠AFB＝90°．
如图3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠EAC＝∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°，
∴∠FAB+∠FBA＝120°．
∴∠AFB＝60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
∴∠CAE＝∠CDB．
∴∠DFA＝∠ACD．
∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．
（3）∠AFB＝180°﹣α；
证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α．
∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识．
35．（2022•承德县模拟）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．
问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．
【分析】连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH＝BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DEAB＝BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；
（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH＝BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．由∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，可得∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°，即可证明．
（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
【详解】证明：连接DE、EF、DF．
（1）当点G在线段BE上时，如图①，
在EF上截取EH使EH＝BG．
∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DEAB＝BD．
在△DBG和△DEH中，，
∴△DBG≌△DEH（SAS），
∴DG＝DH．
∴∠BDG＝∠EDH．
∵∠BDE＝∠GDE+∠BDG＝60°，
∴∠GDH＝∠GDE+∠EDH＝60°
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．
（2）当点G在射线EC上时，如图②，
在EF上截取EH使EH＝BG．
由（1）可证△DBG≌△DEH．
∴DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．
∵∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，
∴∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°．
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．
（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．
36．（2022•徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1＝BE1＝CF1AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1S，△D1E1F1的面积S1S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2＝BE2＝CF2AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2＝ S ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′＝ S ．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn＝BEn＝CFnAB时，（n为正整数）△DnEnFn是 等边 三角形；
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn＝ ；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n＝ ．
【分析】（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2＝E2F2＝F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．
（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
【详解】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，（1分）
由已知得AD2AB，BE2BC，
∴AF2AC，BD2AB
∴AD2＝BE2，AF2＝BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2＝F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2＝E2F2（4分）
∴D2E2＝E2F2＝F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
②；（6分）
S′2＝SS×3S（7分）
（2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：，S3S，；（9分）
S2′S，S3′．（10分）
【点睛】本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．
37．（2022春•和平县期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CDE为等边三角形；
（2）求EF的长．
【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在Rt△DEC中求出EF即可解决问题．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
（2）∵△EDC是等边三角形，
∴DE＝DC＝3，
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝3，
∴DF＝2DE＝6，
∴EF3．
【点睛】考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
38．（2022秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【详解】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AMAD，BNBE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
39．（2022秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
【分析】（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC＝∠C＝60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ＝60°，再根据余角的性质得到∠PBQ＝30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．
【详解】证明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力．
40．（2022秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
【分析】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．
【详解】解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，（2分）
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°（3分）
∴△ODE是等边三角形；（4分）
（2）答：BD＝DE＝EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，（6分）
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴DB＝DO，（7分）
同理，EC＝EO，
∵DE＝OD＝OE，
∴BD＝DE＝EC．（8分）
【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．
41．（2022秋•桐城市期末）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B＝60°，求∠C的值；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠BDA＝60°，于是得到AB＝AD，等量代换得到CD＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，推出∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，即可得到结论；
（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，推出△ABE≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠MDE，AB＝DM，根据全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠MAD＝∠CAD于是得到结论．
【详解】（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴AB＝AD，
∵CD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠BAD＝60°，
∴∠C＝30°；
（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，
在△ABE和△MDE中，
，
∴△ABE≌△MDE，
∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，
在△MAD与△CAD，，
∴△MAD≌△CAD，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴AD是∠EAC的平分线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
42．（2022•阳城县模拟）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1．
【详解】解：（1）故答案为：＝．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝BD，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴MN＝1，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．
43．（2022秋•松山区校级月考）如图，点P在等边△ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD，问：△APD是什么形状三角形，试说明理由．
【分析】先证△ABP≌△ACD得AP＝AD，再证∠PAD＝60°，从而得出△APD是等边三角形．
【详解】解：△APD为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACD（SAS）．
∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAC＝60°，
∴△APD是等边三角形．
【点睛】考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定方法，注意条件与问题之间的联系．
44．（2022春•江岸区校级期中）（1）如图1，△ADE为等边三角形，AD∥EB，且EB＝DC，求证：△ABC为等边三角形．
（2）相信你一定能从（1）中得到启示并在图2中作一个等边△ABC，使三角形的三个定点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，（l1∥l2∥l3且这三条平行线两两之间的距离不相等）．请你画出图形，并写出简要作法．
（3）①如图3，当所作△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l2、l3、l1上时，如图所示，请结合图形填空：
a：先作等边△ADE，延长DE交l3于B点，在l1上截取EC＝ BD ，连AC、BC，则△ABC即为所求．
b：证明△ABC为等边三角形时，可先证明 △AEC ≌ △ADB 从而为证明等边三角形创造条件．
②若使等边△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l3、l1、l2上时，请在图4中用类似的方法作出图形，并将构造的全等三角形用阴影标出．（只需画出图形，不要求写作法及证明过程）
【分析】（1）由△ADE为等边三角形，得出AE＝AD，∠DAE＝60°，由AD∥EB，得出∠DAE＝∠ABE，且EB＝DC，证得△ABE≌△ACD，得出∠DAC＝∠EAB，AB＝AC进一步推出结论；
（2）作法如下：
①l1、l2、l3三条平行线间距离不等，不仿设l2、l3间距离大点．②在l1、l3的正中间做一条直线d与它们平行．③作一条垂线分别交l1、l3于A、M，以AM为边作正三角形AMG，第三个顶点G就在d上．过G作CG垂直AG交直线l2于C，连AC．在直线l3上AM的左侧截取BM等于CG，连AB、BC．则三角形ABC就是所要求作的正三角形；
（3）①结合（1）的证明直接填空即可；②利用①所给的画法做出图形．
【详解】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∵AD∥EB，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵EB＝DC，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EAB，AB＝AC，
∵∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝∠EAB﹣∠CAE＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：作图如下：
（3）解：作图如下：
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，尺规作图等知识点，并且渗透类比思想．
45．（2022秋•盘龙区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形外一点，且∠ABD＝60°，BD+DC＝AB．求证：∠ACD＝60°．
【分析】首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD+DC＝AB，易得△ABE是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°．
【详解】证明：延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，
∵BD+CD＝AB，BE＝BD+DE，
∴BE＝AB，
∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝AC，∠E＝60°，
在△ACD和△ADE中，
，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴∠ACD＝∠E＝60°．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
46．（2022秋•雨城区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）△COD是什么三角形？说明理由；
（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；
（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；
（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．
【详解】解：（1）△COD是等边三角形．
理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2
＝n4﹣2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2
＝AO2，
∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，
根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；
（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝α﹣60°，
又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，
∵△AOD是等腰三角形，
∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
解得α＝125°，
②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，
解得α＝140°，
③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，
解得α＝110°，
综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．
47．（2022•饶平县校级模拟）已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 AC＝BD ，∠APB的大小为 α （直接写出结果，不证明）
【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC＝∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．
②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．
（2）由（1）小题的证明可知，AC＝BD，∠APB＝α．
【详解】解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）AC＝BD，∠APB＝α．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确运用等边三角形的性质是解题的关键．
48．（2022秋•濠江区校级期中）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论．
（2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴EC＝CD＝DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，且∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，
∵∠ACB＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE，
∴∠DAF＝∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，难度较大，注意基本性质的掌握及熟练应用是解答本题的关键．
49．（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC＝1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？
【分析】过P点作PF∥BC交AC于F点，根据等边三角形的性质和判定求出△APF是等边三角形，推出AP＝AF＝PF＝CQ，根据等腰三角形性质求出AE＝EF，根据AAS证△PFD和△QCD全等，求出FD＝CD，推出DEAC，代入求出即可．
【详解】解：过P点作PF∥BC交AC于F点，
∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC＝1：2，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴AP＝CQ，
∵PF∥AB，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠APF＝∠AFP＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴EFAF，
∵△APF是等边三角形，AP＝CQ，
∴PF＝CQ
∵PF∥AB，
∴∠Q＝∠FPD，
在△PDF和△QDC中
∵，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF＝CD，
∴DFCF，
∴DE＝EF+DFAFCFAC，
∴ED＝5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．
50．（2022秋•东海县校级期中）为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．
如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知：△ABD是 等边 三角形；
（2）同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝ 60° ，且CE＝CD，可知 △DCE是等边三角形 ；
（3）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为两条线段相等，即 AC ＝ BE ；
（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：
【分析】（1）连接BD，根据等边三角形判定推出即可；
（2）求出∠DCE＝60°，得到等边三角形DCE即可；
（3）根据等边三角形性质推出AD＝BD，CD＝DE，∠ADB＝∠CDE＝60°，推出∠ADC＝∠BDE，证△ADC≌△BDE即可；
（4）由（3）即可得出答案．
【详解】（1）解：连接BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
故答案为：等边．
（2）解：∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵CE＝CD，
∴△DCE是等边三角形，
故答案为：60°，△DCE是等边三角形．
（3）证明：∵等边三角形ABD和DCE，
∴AD＝BD，CD＝DE，∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，
即∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE＝BC+CE，
故答案为：BE＝AC．
（4）解：由（3）知：证△BED≌△ACD．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是根据等边三角形的判定和性质推出△ADC≌△BDE，通过做此题培养了学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．