浙教版（2024）八年级上册5.3 一次函数课后测评

这是一份浙教版（2024）八年级上册5.3 一次函数课后测评，文件包含浙教版数学八上题型分类训练专题56一次函数的综合大题专项训练50道原卷版doc、浙教版数学八上题型分类训练专题56一次函数的综合大题专项训练50道解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一次函数的综合大题的所有类型！
一．解答题（共50小题）
1．（2022•江阴市校级模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是强点．
（1）点M（1，2），N（4，4），Q（6，﹣3）中，是强点的有 N，Q ；
（2）若强点P（a，3）在直线y＝﹣x+b（b为常数）上，求a和b的值．
【分析】（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点N，Q是强点；
（2）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值；②当a＜0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值．综上，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵（4+4）×2＝4×4，（6+3）×2＝6×3，
∴点N，Q是强点．
故答案为：N，Q．
（2）分两种情况考虑：
①当a＞0时，（a+3）×2＝3a，
∴a＝6．
∵点P（6，3）在直线y＝﹣x+b上，
∴3＝﹣6+b，
∴b＝9；
②当a＜0时，（﹣a+3）×2＝﹣3a，
∴a＝﹣6．
∵点P（﹣6，3）在直线y＝﹣x+b上，
∴3＝6+b，
∴b＝﹣3．
综上所述：a＝6，b＝9或a＝﹣6，b＝﹣3．
2．（2022秋•东营区校级期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设三角形OPA的面积为S．
（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围．
（2）当点P的横坐标为5的时候，三角形OPA的面积是多少？
【分析】（1）根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式，由函数关系式及点P在第一象限即可得出自变量x的取值范围；
（2）把x＝5代入（1）中函数关系即可得出S的值；
【解答】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴S6×y＝3y．
∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x．
∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x．
∴用含x的式子表示S为：S＝﹣3x+24．
∵S＝﹣3x+24＞0，
∴x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
综上可得，x的范围为0＜x＜8；
（2）当x＝5时，S＝﹣3×5+24＝﹣15+24＝9；
3．（2022秋•青羊区校级期末）如图，一次函数yx+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为 ；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）先讨论l1，l2，l3不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点C（，）时，k；②l2，l3平行时，k；③11，l3平行时，k．进而得出l1，l2，l3可以围成三角形时k的取值范围．
【解答】解：（1）把C（m，）代入一次函数yx+5，
可得，m+5，解得m，
∴C（，）．
设l2的解析式为y＝ax，
将点C（，） 代入，
得a，解得a，
∴l2的解析式为yx；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，
yx+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC﹣S△BOC105．
故答案为；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，如果l1，l2，l3不能围成三角形，那么可分三种情况：
①l3经过点C（，）时，k+1，解得k；
②l2，l3平行时，k；
③l1，l3平行时，k；
又y＝kx+1是一次函数，所以k≠0．
故l1，l2，l3可以围成三角形时，k的取值范围是k且 k且 k且k≠0．
4．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，An（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；…
猜想并填空：
（1）S5＝ 7×6﹣6×5 ；
（2）Sn＝ （n+2）（n+1）﹣（n+1）n； （用含n的式子表示）；
（3）S1+S2+S3+…+Sn＝ n2+3n （用含n的式子表示，要化简）．
【分析】（1）根据例子的求解过程求解即可；
（2）根据题意求解即可；
（3）根据题意，化简即可．
【解答】解：（1）根据题意，得S5＝7×6﹣6×5；
故答案为：7×6﹣6×5；
（2）根据题意，得Sn＝（n+2）（n+1）﹣（n+1）n，
故答案为：（n+2）（n+1）﹣（n+1）n；
（3）S1+S2+S3+…+Sn＝3×2﹣2×1+4×3﹣3×2+...+（n+2）（n+1）﹣（n+1）n
＝（n+2）（n+1）﹣2×1
＝n2+3n，
故答案为：n2+3n．
5．（2022春•南昌期末）如图为一次函数l：y＝kx+b的图象．
（1）用“＞”、“＝”，“＜”填空：k ＞ 0，b ＞ 0；
（2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位，发现图象回到l的位置，求k的值；
（3）当k＝3时，将直线l向上平移1个单位得到直线l1，已知：直线l，直线l1，x轴，y轴围成的四边形面积等于1，求b的值．
【分析】（1）根据图象和坐标轴的交点位置即可判断k和b的符号；
（2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k即可；
（3）用含b的式子表示出面积，列出关于b的方程，求出b即可．
【解答】解：（1）∵y随着x的增大而增大，
∴k＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴b＞0，
故答案为＞，＞；
（2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到的直线解析式为：
y＝k（x+1）+b﹣2＝kx+k+b﹣2，
∴k+b﹣2＝b，解得k＝2；
（3）将直线l向上平移1个单位得到直线l1：y＝kx+b+1，
设直线y＝3x+b与坐标轴交于A、B两点，
可得A（0，b），B（，0），
设直线y＝3x+b+1与坐标轴交于C、D两点，
可得D（0，b+1），C（，0），
∴S四边形ABCD＝S△OCD﹣S△OAB＝1，
解得：．
6．（2022春•保亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与y轴、x轴分别交于A（﹣1，0），B（0，﹣3）．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）直接写出直线AB向下平移2个单位后得到的直线解析式；
（3）求在（2）的平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积．
【分析】（1）用待定系数法即可求出解析式；
（2）根据“上加下减“可得平移后解析式；
（3）画出图形，数形结合解决问题．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线y＝kx+b的解析式是y＝﹣3x﹣3；
（2）将直线y＝﹣3x﹣3向下平移2个单位得到的直线解析式是y＝﹣3x﹣3﹣2＝﹣3x﹣5，
（3）设平移后的直线与x轴交于C，与y轴交于D，如图：
在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x，
∴C（，0），D（0，﹣5），
∴OC，OD＝5，
∴S△CODOD•OC，
∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），
∴S△AOBOA•OB，
∴平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积是．
7．（2022•邢台三模）如图，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴和y轴分别交于点B和点A，C点坐标为（4，2），将直线y＝kx+3在x轴下方的部分记作G，作G关于x轴的对称图形G1．
（1）求A的坐标；
（2）若S△ABC＝5，求k的值；
（3）若G1经过点C，求k的值．
【分析】（1）当x＝0时，求出y的值；
（2）当点C在△AOB外部时，如图1，过点C作CD⊥x轴于D，根据面积关系可得m＝2，则0＝2k+3，可得出答案；当点C在△AOB内部时，如图2，根据面积关系求出k；
（3）C关于x轴的对称点为C'（4，﹣2），可得出﹣2＝4k+3，解之得出答案．
【解答】解：（1）直线y＝kx+3（k＜0）与y轴相交于A，
则有y＝0×k+3＝3，
所以A（0，3）；
（2）当点C在△AOB外部时，如图1，过点C作CD⊥x轴于D，
∵A（0，3），C（4，2），
∴OA＝3，CD＝2，OD＝4．
设B（m，0）
∴．
∴m＝2，
∴0＝2k+3，
∴，
当点C在△AOB内部时，如图2，
∵S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOC＝5，
∴5，
解得：k．
综合可得k或．
（3）C关于x轴的对称点为C'（4，﹣2），
当C'（4，﹣2）在直线y＝kx+3上时，G1经过点C，
此时有﹣2＝4k+3，解之得，．
8．（2022秋•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为yx﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，
∴y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，
x＝0时，y＝3，
∴A（﹣6，0），B（0，3）．
∵将直线l1：yx+3向下平移4个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为：yx+3﹣4，即yx﹣1，
∵y＝0时，x﹣1＝0，解得x＝2，
x＝0时，y＝﹣1，
∴C（2，0），D（0，﹣1）．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为yx+3；
（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1），
∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
AC•OBAC•OD
8×38×1
＝12+4
＝16．
9．（2022春•开封期末）如图，点A、B在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）．
（1）请在图中建立平面直角坐标系．
（2）若C、D两点的坐标分别为（1，2）、（﹣2，2），请描出C、D两点．C、D两点的坐标有什么异同？直线CD与x轴有什么关系？
（3）若点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，则m＝ 3 ，点E的坐标为 （10，2） ．
【分析】（1）利用A、B点的坐标建立直角坐标系；
（2）利用（1）所画的直角坐标系判断点C，D所在的位置，即可得到结论；
（3）根据题意得到m﹣1＝2，即可求得m＝3，进一步求得点E的坐标为（10，2）．
【解答】解：（1）如图，
；
（2）C、D两点的横坐标不同，纵坐标相同，直线CD与x轴平行；
（3）∵点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，
∴m﹣1＝2，解得m＝3，
∴2m+4＝10，
∴点E的坐标为（10，2），
故答案为：3，（10，2）．
10．（2022春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线yx﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l，直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点．
（1）求点C的坐标，并在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象；
（2）连接BC，DA，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平移的规律求得直线l的解析式，进一步根据x轴上点的坐标特征即可求得点C的坐标；
（2）求得A、B的坐标，即可求得AC的长度，由于BD＝6，即可根据AC•BD求得结果．
【解答】解：（1）将直线yx﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l为yx﹣2+6x+4，
∵直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点，
∴令y＝0，则x+4＝0，
解得x＝8，
∴C（8，0）．
在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象如图，
（2）∵直线yx﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣2），
∵直线y4与x轴、y轴分别交于C，D两点，
∴C（8，0），D（0，4），
∴AC＝8﹣（﹣4）＝12，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB36．
11．（2022春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点A关于y轴的对称点为C，将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，点（﹣1，m）在直线y＝2x+1平移后的图形上，点（2，n）在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由．
【分析】（1）令x＝0和y＝0时，代入解析式得出坐标即可；
（2）求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+1，根据平移的规律得到y＝2x+1+t、y＝﹣2x+1+t，由图象上点的坐标特征得到m＝﹣2+1+t＝﹣1+t，n＝﹣4+1+t＝﹣3+t，由m﹣n＝2＞0，即可得出m＞n．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
将x＝0代入y＝2x+1，得到：y＝1，
∴B（0，1），
将y＝0代入y＝2x+1，得到2x+1＝0，
解得：x，
∴A（，0）；
（2）∵点A关于y轴的对称点为C，
∴C（，0），
∴直线BC为y＝﹣2x+1，
将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到y＝2x+1+t、y＝﹣2x+1+t，
∵点（﹣1，m）在直线y＝2x+1+t上，
∴m＝﹣2+1+t＝﹣1+t，
∵点（2，n）在直线y＝﹣2x+1+t上，
∴n＝﹣4+1+t＝﹣3+t，
∵m﹣n＝﹣1+t﹣（﹣3+t）＝2＞0，
∴m＞n．
12．（2022春•新蔡县期末）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线AB向下平移后经过点P（3，0）．
（1）求平移后的直线所对应的函数表达式；
（2）求△PAB的面积．
【分析】（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b，将点P（3，0）代入求得b即可；
（2）求得A、B的坐标，即可求得AP，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b，
将点P（3，0）代入，得0＝2×3+b，解得b＝﹣6，
∴平移后的直线所对应的函数表达式为：y＝2x﹣6；
（2）对于y＝2x+3，当x＝0时，y＝3：当y＝0时，x，
∴点A（，0）、点B（0，3），
∴AP＝|3﹣（）|，
∴S△PABAP•OB3．
13．（2022秋•泰兴市期末）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点．
（1）若k＝﹣2．
①当y＜0时，x的范围为 x＞2 ．
②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为 y＝﹣2x+7 ．
（2）比较p、q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①根据题意得到﹣2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得；
（2）根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：（1）∵k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+4，
①∵y＜0，
∴﹣2x+4＜0，
∴x＞2；
②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y＝﹣2x+4+3＝﹣2x+7；
故答案为：x＞2；y＝﹣2x+7；
（2）∵一次函数y＝kx+4中，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3，
∴p＞q．
14．（2022•兴隆县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由yx的图象向下平移1个单位得到．
（1）直接写出这个一次函数的解析式；
（2）直线y＝kx+b（k≠0）上一点A（﹣2，a），B（b，0），求△AOB的面积；
（3）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）由根据平移后的解析式求得点A，由b＝﹣1，求得点B，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）yx的图象向下平移1个单位得到yx﹣1，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由yx的图象向下平移1个单位得到，
∴这个一次函数的表达式为yx﹣1．
（2）∵A（﹣2，a）是直线y＝kx+b（k≠0）上的一点，B（b，0），
∴A（﹣2，﹣2），B（﹣1，0），
∴S△AOB1；
（3）把x＝﹣2代入yx﹣1，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数yx﹣1的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数yx﹣1的值，
∴m≤1．
15．（2022春•斗门区期末）已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式．
【分析】（1）分别令x＝0、y＝0求得相应的y、x的值即可．
（2）根据题意求得点P的坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式．
【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴B（0，6）、A（﹣3，0）；
（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3．
∵OP＝2OA＝6，
∴点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0）．
设平移后的直线为：y＝2x+b．
将（﹣6，0）代入，得b＝12．
∴y＝2x+12；
将（6，0）代入，得b＝﹣12．
∴y＝2x﹣12；
综上所述，平移后直线的解析式为y＝2x+12或y＝2x﹣12．
16．（2022•徐州模拟）我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB＝|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）＝ ；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）试求点M（2，3）到直线y＝x+2的最小直角距离．
【分析】（1）由P0与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；
（3）根据新的运算规则知d（M，Q）＝|x﹣2|+|y﹣3|＝|x﹣2|+|x+2﹣3|＝|x﹣2|+|x﹣1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1．
【解答】解：（1）d（O，P）＝|0﹣1|+|0﹣3|＝4；
故答案为：4；
（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P），
∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
（3）∵d＝|x﹣2|+|y﹣3|＝|x﹣2|+|x+2﹣3|
＝|x﹣2|+|x﹣1|
∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．
∴点M（2，3）到直线y＝x+2的直角距离为1．
17．（2022秋•永嘉县校级期末）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）将所得函数图象平移，使它过点（0，3），求平移后直线的解析式．
【分析】（1）由y+3与x成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式；
（2）利用平移规律设出平移后的解析式，把（0，3）代入即可求出解析式．
【解答】解：（1）设y+3＝kx，
把x＝2，y＝7代入得：7+3＝2k，即k＝5，
则y与x函数关系式为y+3＝5x，即y＝5x﹣3；
（2）设平移后的解析式为y＝5x﹣3+m，
把x＝0，y＝3代入得：3＝﹣3+m，即m＝6，
则平移后直线解析式为y＝5x+3．
18．（2022春•宜州区期末）如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A（3，0），将其图象向上平移2个单位后与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）图象经过点B和C的函数解析式为 ；
（3）△OBC的面积为 12 ．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据“上加下减、左加右减”的原则即可求得；
（3）求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）将A（3，0）代入y＝kx+2得：3k+2＝0，
∴；
（2）将函数yx+2的图象向上平移2个单位后得到yx+2+2，即，
故答案为；
（3）在直线中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝6，
∴B（6，0）、C（0，4），
∴OB＝6，OC＝4，
∴S△OBC12，
故答案为12．
19．（2022春•南昌期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小南结合学习一次函数的经验，对函数y＝3﹣|x﹣1|的图象和性质进行了研究，下面是小南的探讨过程，请补充完整：
（1）列表：
表格中m＝ 0 ，n＝ 1 ；
（2）①根据列表在给出的平面直角坐标系中描点、画出函数图象；
②根据所画的函数图象，该函数有 最大值 （填“最大值”或“最小值”）；这个值为 3 ；
（3）直接写出函数图象与x轴所围成的图形的面积： 9 ；
（4）过点（0，a）作直线l∥x轴，结合所画的函数图象，若直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）将x的值代入对应的解析式即可求得m，n的值；
（2）①依据表格中对应的x，y的值作为横纵坐标，在坐标系中描出各点然后画出函数图象即可；
②结合图象，函数y＝3﹣|x﹣1|有最大值，最大值为3；
（3）求得函数值为0时的x的值，然后根据三角形面积公式求得即可；
（4）依据题意画出图形，结合所画的函数图象，观察得到当直线l在点（1，3）的下方时满足条件，由此可得a的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝3﹣|﹣2﹣1|＝3﹣3＝0，
当x＝3时，n＝3﹣|3﹣1|＝3﹣2＝1．
故答案为：0，1；
（2）①以（1）中表格中x，y的对应值作为点的横纵坐标在坐标系中分别描出各点，
画出如图所示的折线即为所画的函数y＝3﹣|x﹣1|的图象；
②根据所画的函数图象，该函数有最大值；这个值为3；
故答案为：最大值；3；
（3）∵y＝0时，则x＝﹣2或x＝4，
∴函数图象与x轴所围成的图形的面积为9；
故答案为：9；
（4）直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，
∴画出直线l的大致图象如下图：
由图象可以看出直线l在（1，3）下方时，直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点．
∴a的取值范围为a＜3．
20．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线y＝3及y轴围成三角形．
（1）当正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，1）；
①k的值为 1 ；
②此时围成的三角形内的“整点坐标”有 1 个；写出“整点坐标” （1，2） ．
（2）若在y轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．
【分析】（1）①把（1，1）代入y＝kx，可求出k的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐标”；
（2）当直线y＝x绕着点O顺时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＜1，当直线y＝kx过点（3，2时，k取最小值，可得取值范围．
【解答】解：（1）①∵正比例函数y＝kx（k≠0）图象过点（1，1），
∴代入得：1＝k，
即k＝1，
故答案为：1；
②如图，直线y＝x、直线x＝3和y轴围成的三角形是AOB，
则三角形AOB内的“整点坐标”有1个，（1，2），
故答案为：1，（1，2）；
（2）当直线y＝kx过点（3，2）时，其关系式为yx，
当直线y＝kx过点A（3，3）时，其关系式为y＝x，
∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为k＜1．
21．（2022春•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y'），给出如下定义：若y'，则称点Q为点P的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）．
（1）点（﹣2，4）的“调控变点”为 （﹣2，﹣4） ；
（2）若点N（m，3）是函数y＝x+2上点M的“调控变点”，求点M的坐标；
（3）点P为直线y＝2x﹣2上的动点，当x≥0时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当x＜0时，点P的“调控变点”Q所形成的图象．
【分析】（1）根据“调控变点”的定义即可求出（﹣2，4）的调控变点．
（2）分类讨论，利用“调控变点”的定义分别求出m＞0和m＜0两种情况下对应的m值．
（3）根据定义可知：当x＜0是，P（x，2x﹣2），Q点坐标为（x，﹣2x+2），∴Q点所在函数为y＝﹣2x+2，进而画出图象即可．
【解答】（1）根据定义可知点（﹣2，4）的“调控变点”纵坐标为﹣4，
故（﹣2，4）的调控变点”为（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
（2）设M的坐标为（m，m+2），
∵N（m，3）是M的（m，m+2）“调控变点”，
∴①当m＞0时，
m+2＝3，
m＝1．
此时M的坐标为（1，3）．
②当m＜0时，
m+2＝﹣3，
m＝﹣5，
此时M的坐标为（﹣5，﹣3）．
∴M的坐标为（1，3），（﹣5，﹣3）．
（3）当x＜0是，P（x，2x﹣2），
根据定义知：Q（x，﹣2x+2），
∴Q点所在函数为y＝﹣2x+2，
补全图如下图所示：
22．（2022春•永年区月考）一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣n），求：
（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？
（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
（3）若m＝﹣1，n＝2时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据一次函数性质得2m+4＞0，然后解不等式；
（2）根据一次函数图象与系数的关系得到2m+4≠0，3﹣n＜0，然后解两个不等式；
（3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）当2m+4＞0时，即m＞﹣2，y随x的增大而增大；
（2）当2m+4≠0，3﹣n＜0时，即m≠﹣2，n＞3，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m＝﹣1，n＝2，一次函数为y＝2x+1，
当x＝0时，y＝2x+1＝1，则一次函数与y轴的交点为（0，1）；当y＝0时，2x+1＝0，解得x，则一次函数与x轴的交点坐标为（，0），
∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积1．
23．（2022秋•三元区期中）已知一次函数y＝﹣3x+b的图形过点M．
（1）求实数b的值；
（2）设一次函数y＝﹣3x+b的图形与y轴交于点N，连接OM．求△MON的面积．
【分析】（1）根据图象可以得到点M的坐标，然后根据点M在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，即可得到b的值；
（2）根据（1）中的结果，可以得到点N的坐标，从而可以得到ON的长，再根据点M的坐标，可以得到点M到y轴的距离，从而可以计算出△MON的面积．
【解答】解：（1）由图象可得，点M的坐标为（﹣2，4），
∵一次函数y＝﹣3x+b的图象过点M（﹣2，4），
∴4＝﹣3×（﹣2）+b，
解得b＝﹣2，
∴实数b的值是﹣2；
（2）由（1）知，b＝﹣2，
∴y＝﹣3x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣3×0﹣2＝﹣2，
即点N的坐标为（0，﹣2），
∴ON＝2，
∴点M（﹣2，4），
∴点M到y轴的距离是2，
∴△MON的面积是：2，
即△MON的面积是2．
24．（2022春•东湖区期末）已知函数y1＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）．
（1）m为何值时，y1随x的增大而减小；
（2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？
（3）若该函数的图象与另一个函数y2＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据题意m+1＜0，解得即可；
（2）根据正比例函数的定义得到m+1≠0，﹣m2+1＝0，解得m＝1；
（3）由函数y1＝（m+1）x﹣m2+1经过点（m，3）求得m＝2，得到交点为（2，3），根据交点坐标求得函数y1的解析式，即可求得与y轴的交点坐标，把交点坐标代入y2＝x+n，求得解析式，即可求得与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积．
【解答】解：（1）由题意：m+1＜0，
∴m＜﹣1，
即m＜﹣1时，y随x的增大而减小；
（2）若该函数是正比例函数，则m+1≠0，﹣m2+1＝0，
∴m＝1，
即m＝1时，该函数是正比例函数；
（3）∵两个的图象相交于点（m，3），
∴m（m+1）﹣m2+1＝3，
∴m＝2，
∴交点坐标为（2，3），
∴该点到y轴的距离为2，
将m＝2代入y1＝（m+1）x﹣m2+1，得：y1＝3x﹣3，
将交点坐标（2，3）代入y2＝x+n，得：n＝1，
∴y2＝x+1，
∴两个函数图象与y轴的交点坐标分别为（0，﹣3）和（0，1），
∴所围成的三角形的面积为：[1﹣（﹣3）]×2÷2＝4．
25．（2022秋•绿园区校级期中）我们把形如y的函数称为对称一次函数，其中y＝x﹣a（x≥a）的图象叫做函数的右支，y＝﹣x+a（x＜a）的图象叫做函数的左支．
（1）当a＝0时：
①在下面平面直角坐标系中画出该函数图象；
②点P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上，则m＝ 1 ，n＝ 2或﹣2 ；
（2）点A（4，3）在对称一次函数图象上，求a的值；
（3）点C坐标为（﹣1，2），点D坐标为（4，2），当一次对称函数图象与线段CD有交点时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）当a＝0，则y，①画出函数图象即可；②把P（1，m）和点Q（n，2）代入解析式即可求得；
（2）代入解析式即可求得；
（3）把y＝2代入解析式得即可求得x＝2+a或x＝a﹣2，根据题意得到，解得即可．
【解答】解：（1）当a＝0，则y，
①画出函数图象如图：
②∵P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上，
∴m＝1，n＝2或﹣2，
故答案为1，2或﹣2；
（2）∵点A（4，3）在对称一次函数图象上，
∴3＝4﹣a或3＝﹣4+a，
解得a＝1或a＝7；
（3）把y＝2代入解析式得2＝x﹣a或2＝﹣x+a，
∴x＝2+a或x＝a﹣2，
当一次对称函数图象与线段CD有交点时，则，
解得﹣3≤a≤6．
26．（2022秋•杏花岭区校级期中）已知一次函数y＝2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的直角坐标系中，画出一次函数y＝2x+2的图象；
（3）判断（，﹣1）是否在这个函数的图象上？ 否 （填“是”或“否”）；
（4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是 1 ．
【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）根据图象即可判断；
（4）根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣1；令x＝0，则y＝2；
∴点A坐标为（﹣1，0）；
点B坐标为（0，2），
（2）函数y＝2x+2的图象如下：
（3）由图象可知（，﹣1）不在这个函数的图象上；
故答案为：否；
（4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是为：1，
故答案为1．
27．（2022秋•上城区期末）已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．
（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；
（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；
（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．
【分析】（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中得m的方程，求出m的值便可；
（2）根据抛物线与y轴交点的纵坐标小于0，列出m的不等式，求出m的取值范围便可确定函数值y随着x的增大而变化的趋势；
（3）设3＜m1＜m2＜4，求出两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点M1（0和M2的坐标，以及直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点N的坐标，再用三角形的面积公式求出这两条直线与y轴围成的三角形面积，再根据m1与m2的取值范围求得S的取值范围．
【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得
2（m﹣4）+12﹣4m＝0，
解得，m＝2；
（2）∵图象与y轴交点位于原点下方，
∴12﹣4m＜0，
∴m＞3，
∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小，
当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大；
（3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2），
∴M1M2＝4（m2﹣m1），
∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4），
∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为：
S，
∵3＜m1＜m2＜4，
∴0＜m2﹣m1＜1，
∴0＜S＜8，
∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8．
28．（2022春•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数yx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
（1）直接写出点A与点B的坐标（用含b的代数式表示）；
（2）求b的值；
（3）如果一次函数yx+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中m＞0，试用含m的代数式表示△ABC的面积．
【分析】（1）由一次函数yx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，令y＝0求出x，得到A点坐标；令x＝0，求出y，得到B点坐标；
（2）根据一次函数yx+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b的值；
（3）根据一次函数yx+b的图象经过第二、三、四象限，得出b＝﹣4，确定A（﹣3，0），B（0，﹣4）．利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D（0，m），那么BDm+4，再根据S△ABC＝S△ABD+S△DBC，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数yx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴当y＝0时，x+b＝0，解得xb，则A（b，0），
当x＝0时，y＝b，则B（0，b）；
（2）∵S△AOBOA•OB|b|×|b|＝6，
∴b2＝16，
∴b＝±4；
（3）∵一次函数yx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴b＝﹣4，
∴yx﹣4．
∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
∵A（﹣3，0），C（2，m），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为yxm．
设直线AC与y轴交于点D，则D（0，m）．
∴BDm+4，
∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC，
∴S△ABC（m+4）×（2+3）m+10．
29．（2022秋•句容市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为 y＝﹣2x ，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为 y＝﹣2x+2 ．
【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；
（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；
（3）根据上加下减，左加右减的法则可得到平移后的函数表达式．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+3；
（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，
可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（，0），
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S3；
（3）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2x，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2
故答案为：y＝﹣2x，y＝﹣2x+2．
30．（2022秋•平果市期中）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）．
（1）求k，b的值；
（2）求直线y＝kx+b与x轴的交点B的坐标；
（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y轴交于点C，且点C位于x轴上方，求直线AC对应的一次函数的表达式．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝3，再将点A（1，2）代入y＝3x+b，求出b的值；
（2）将y＝0代入（1）中所求的函数解析式即可求解；
（3）先根据过点B的直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是求出这条直线与y轴交点C的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AC的解析式．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，
∴k＝3，
将点A（1，2）代入y＝3x+b，
得3+b＝2，
解得b＝﹣1；
（2）将y＝0代入y＝3x﹣1，
得3x﹣1＝0，解得x，
∴点B的坐标为（，0）；
（3）∵S△OBCOB•OC，
∴OC，
∴OC＝3，
∵点C位于x轴上方，
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．
31．（2022秋•垣曲县期中）作出函数y＝﹣x+2的图象，并利用图象回答问题：
（1）写出图象与x轴的交点A的坐标 （2，0） ，与y轴的交点B的坐标 （0，2） ．
（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是 y＜3 ．
（3）有一点C的坐标是（3，4），顺次连接点A、B、C得到△ABC，三角形ABC的面积为 5 ．
（4）点C关于x轴对称的点D的坐标；
（5）连接B，D两点，求直线BD的函数关系式．
【分析】（1）在解析式中分别令y＝0和x＝0，则可求得A、B的坐标；
（2）当x＝﹣1时，y＝3，根据直线y＝﹣x+2即可得到y的取值范围；
（3）用矩形的面积减去三个三角形的面积即可求得；
（4）根据关于x轴对称的点的坐标特征求得即可；
（5）根据待定系数法即可求得．
【解答】解：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2；
如图所示，直线y＝﹣x+2即为所求；
（1）图象与x轴的交点A的坐标（2，0），与y轴的交点B的坐标（0，2），
故答案为（2，0），（0，2）；
当y＜0时，x的取值范围为x＞3；
（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是y＜3，
故答案为y＜3；
当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为1＜y＜5；
（3）如图，三角形ABC的面积为：4×35，
故答案为5；
（4）点C关于x轴对称的点D的坐标为（3，﹣4）；
（5）设直线BD的解析式为y＝kx+2，
把D（3，﹣4）代入得，﹣4＝3k+2，
解得k＝﹣2，
∴直线BD的函数表达式为y＝﹣2x+2．
32．（2022秋•建平县期末）已知一次函数yx+6．
（1）求直线yx+6与x轴、y轴交点坐标；
（2）求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）求坐标原点O到直线yx+6的距离．
【分析】（1）先令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值即可；
（2）根据三角形面积公式求得即可；
（3）利用三角形的面积公式可得出结论．
【解答】解：（1）∵令y＝0，则x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
∴直线yx+6与x轴、y轴交点坐标为A（﹣8，0），B（0，6）．
（2）S△AOBOA•OB24；
（3）在Rt△AOB中，
AB2＝OA2+OB2＝82+62＝100，
∴AB＝10，
作OC⊥AB于C，
∵S△AOB24，
∴OC，
∴原点O到直线yx+6的距离是．
33．（2022秋•修武县期中）如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）由直线解析式根据图象上点的坐标特征可求得A、B两点的坐标；
（2）根据坐标可求得OA和OB的长，再利用三角形的面积可求得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x+5中，令y＝0可得x，令x＝0可得y＝5，
∴A（，0），B（0，5）；
（2）∵OA，OB＝5，
∴S△AOBOA•OB5．
34．（2022秋•上虞区期末）设y是关于x的一次函数，其图象与y轴交点的纵坐标为﹣10，且当x＝1时，y＝﹣5．
（1）求该一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积；
（2）当函数值为时，自变量的取值是多少？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求得直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
（2）把y代入解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣5，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣10，
∴，
解得：，
故它的解析式是：y＝5x﹣10．
令y＝0，则5x﹣10＝0，解得x＝2．即图象与x轴的交点坐标为（2，0），
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为10×2＝10．
（2）∵y＝5x﹣10，
∴5x﹣10，解得x．
∴当函数值为时，自变量x的取值是．
35．（2022秋•高台县校级期中）作出函数yx﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）y的值随x的增大而 增大 ；
（2）图象与x轴的交点坐标是 （3，0） ；与y轴的交点坐标是 （0，﹣4） ；
（3）求该图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）令y＝0，求出x的值，再令x＝0，求出y的值即可；
（3）根据函数图象与坐标轴的交点得出三角形的面积即可．
【解答】解：作出函数yx﹣4的图象如图：
（1）∵函数yx﹣4中，k0，
∴y的值随x的增大而增大．
故答案为：增大；
（2）∵令y＝0，则x＝3；令x＝0，则y＝﹣4，
∴图象与x轴的交点坐标是（3，0），图象与y轴的交点坐标是（0，﹣4）．
故答案为：（3，0），（0，﹣4）；
（3）∵函数图象与x轴的交点坐标是（3，0），图象与y轴的交点坐标是（0，﹣4），
∴函数yx﹣4的图象与坐标轴所围成的三角形的面积3×4＝6．
36．（2022春•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线CD的表达式；
（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得B的坐标，即可求得平移后对应点C的坐标；
（2）根据A点的坐标求得D点的坐标，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（3）求得E点为（0，﹣4），把A（﹣2，0）、D（4，0）分别代入y＝kx﹣4中，求得k的值，结合函数图象，即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，
令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，
∴B（0，4），A（﹣2，0），
将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；
（2）∵A（﹣2，0），
∴D（4，0），
把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得
解得：k＝2，b＝﹣8
∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．
（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），
∴设过点E的直线y＝kx﹣4，
把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，
∴k＝1，
把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，
∴k＝﹣2
∴k≥1或k≤﹣2．
37．（2022春•章贡区期末）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝kx+b和y＝bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是“互助”函数．根据规定解答下列问题：
（1）请直接写出一次函数yx+4的“互助”函数： y＝4x ；
（2）若两个一次函数y＝（k﹣b）x﹣k﹣2b与y＝（k﹣3）x+3k是“互助”函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据互助函数的定义，写出互助函数；
（2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）一次函数yx+4的它的互助一次函数是y＝4x．
故答案为：y＝4x；
（2）根据题意得：，
解得，
则两个函数是y＝﹣2x和yx﹣2．
y＝﹣2x和y轴的交点是（0，），yx﹣2和y轴的交点是（0，﹣2）．两个函数的交点是：（1，）．
在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：．
38．（2022春•忠县期末）请帮助小明探究函数y的图象及性质，并按要求完成．
（1）直接写出m，n的值，并在图中作出该函数图象；
（2）判断下面说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请写出正确结论．
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝1；
②该函数有最大值和最小值．当x＝﹣2或6时，函数取得最大值2；当x＝1时，函数取得最小值0．
【分析】（1）将x＝2和x＝4分别代入函数求解，化简绝对值后画分段函数．
（2）由图象可得图象对称轴及最小值，进而求解．
【解答】解：（1）把x＝2代入y得y＝0，
∴m＝0，
把x＝4代入y得y＝1，
∴n＝1．
当x﹣2≥0时，即x≥2时，y1，
当x﹣2＜0时，即x＜2时，y＝1，
如图，
（2）两个说法都错误，应改为：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝2；
②该函数有最小值但没有最大值．当x＝2时，函数取得最小值0．
39．（2022春•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．
定义如下：当a≥b时，P′点坐标为（b，a）；当a＜b时，P′点坐标为（﹣a，﹣b）．
（1）写出A（5，3）的变换点坐标 （3，5） ，B（1，6）的变换点坐标 （﹣1，﹣6） ，C（﹣2，4）的变换点坐标 （2，﹣4） ；
（2）如果直线l：yx+3上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W；
（3）在（2）的条件下，若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据A、B、C三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；
（2）根据直线DE的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线DE中点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于原点对称的射线，再将直线DE中点（2，2）右侧（包括该点）作关于x＝y对称的射线，由此即可得出图形W；
（3）根据W的做法找出图形W中两段射线的解析式，分别令y＝kx﹣1（k≠0）与这两段射线的交点的横坐标满足射线中x的取值范围，综合在一起即可得出结论．
【解答】解：（1）∵5＞3，1＜6，﹣2＜4，
∴A（5，3）的变换点坐标（3，5），B（1，6）的变换点坐标（﹣1，﹣6），C（﹣2，4）的变换点坐标（2，﹣4）；
（2）直线DE的解析式为yx+3．
当x＝y时，有xx+3，解得：x＝y＝2．
画出图形W，如图所示．
画图的思路，将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于x＝y对称的射线，再将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）作关于原点对称的射线，由此即可得出图形W．
（3）当x≤2时，y＝﹣2x+6；
当x＞﹣2时，旋转后的图形解析式为﹣xy﹣3；
令kx﹣1＝﹣2x+6，则有x2且k≠0，k≠﹣2，
解得：k或k＜﹣2；
令kx﹣1x﹣3，则有x2（k≠2）k≠0，2k+1≠0，
解得：k或k．
综上可知：若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，k的取值范围为k＜﹣2或k．
故答案为：（3，5），（﹣1，﹣6），（2，﹣4）．
40．（2022秋•南岸区校级期末）初三某班同学小戴想根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面性质．
下表是函数y与自变量x的几组对应值：
（1）在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长为一个单位长度，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象．
（2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝ （请写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质： 当x≤3时，k＝4＞0，随着x的增大，y值增大 ．
（3）当直线yx+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围．
【分析】（1）根据列表，即可画出函数的图象；
（2）根据函数图象，当x≤3时，函数为正比例函数；当x＞3时，函数为反比例函数；
（3）根据函数的图象，可以通过平移求出b的值．
【解答】解：（1）
（2）当x≤3时，函数为正比例函数，（1，4）代入y＝kx，解得k＝4，y＝4x．
当x＞3时，函数为反比例函数，（6，6）代入y，解得k＝36，y．
∵当x≤3时，k＝4＞0，
∴随着x增大，y值增大．
故答案为：y，当x≤3时，k＝4＞0，y随着x的增大而增大．
（3）由图象可知：当 6b时，会有函数图象有3个交点．
41．（2022春•房山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）点B的坐标为 （0，2） ；
（2）若点A坐标为（4，0），△ABO内的“整点”有 1 个（不包括三角形边上的“整点”）；
（3）若△ABO内有3个“整点”（不包括三角形边上的“整点”），结合图象写出k的取值范围．
【分析】（1）把x＝0代入关系式可得y＝2，可得B的坐标；
（2）画出直线，可得△ABO内的“整点”个数；
（3）根据整点的个数和直线经过的点可得k的取值范围．
【解答】解（1）把x＝0代入关系式可得y＝2，
所以B（0，2）．
故答案为：（0，2）．
（2）如图：A（4，0），△ABO内的“整点”有1个，是（1，1）．
故答案为：1．
（3）如图：
当直线经过（3，1）时，整点有两个，此时k．
当直线经过（4，1）时，整点有三个，此时k．
所以若△ABO内有3个“整点”，则k或k．
42．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数yx+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．
（1）求点B的坐标；
（2）求四边形ABCO的面积；
（3）求直线CD的解析式．
【分析】（1）构建方程组即可解决问题；
（2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB计算即可；
（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C′坐标，利用待定系数法即可解决问题；
【解答】解：（1）由，解得，
∴B（3，3）．
（2）由题意A（0，2），C（2，0），
∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB2×32×3＝6．
（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．
∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，
∴点C′在直线CD上，
由（2）可知，C（2，0）．
∵B（3，3），
由旋转的性质可知，C′（6，2），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为yx﹣1．
43．（2022秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：
（1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 4 ；
（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是 ﹣4≤y≤4 ；
（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．
【分析】（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，把（﹣3，1）代入求出b的值即可得出结论．
【解答】解：（1）令y＝0，解得x＝2，
∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣4），
∴此三角形的面积S＝4
（2）画图如下：

由图可知，y的取值范围为﹣4≤y≤4．
（3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，将（﹣3，1）代入，解得b＝7．
∴函数解析式为y＝2x+7．
故答案为：4；﹣4≤y≤4
44．（2022春•高邑县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求四边形OABC的面积．
【分析】（1）根据题意得到点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3），代入y＝kx即可得到结论；
（2）由于一次函数y＝2x+b的图象经过点B，得到3＝2×5+b，于是得到结论；
（3）设直线x轴相交于点D，得到点D坐标为（8，0），根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，
∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为5，
即点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3），
∵正比例函数y＝kx的图象经过点A，
∴2k＝6，
∴k＝3；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点B，
∴3＝2×5+b，∴b＝﹣7，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣7，
∵一次函数y＝2x﹣7的图象与x轴相交于点C，
∴点C坐标为（，0）；
（3）设直线x轴相交于点D，则点D坐标为（8，0），
可得OC，OD＝8，CD，
∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3，
∴S四边形OABC＝S△OAD﹣S△CBD＝8×63．
45．（2022春•洛宁县期中）在平面直角坐标系中画出直线yx+1的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）写出直线与x轴、y轴的交点的坐标；
（2）求出直线与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若直线y＝kx+b与直线yx+1关于y轴对称，求k、b的值．
【分析】（1）根据题意，分析可得在yx+1中，当x＝﹣3时，y＝0，x＝0时，y＝1，据此可以作出图象；
（2）根据三角形的面积公式计算即可．
（3）根据直线yx+1求得直线yx+1关于y轴的对称点，然后根据待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）令y＝0得x＝﹣3，令x＝0得y＝1，
可得A点坐标为（﹣3，0），
B点坐标为（0，1）
画出图形如图：
（2）因为A（﹣3，0），B（0，1）
所以OA＝3，OB＝1，由三角形面积公式可知
S△AOBOA×OB3×1；
（3）直线y1与x轴的交点为（﹣2，0），与y轴的交点为（0，1）；
∴点（﹣2，0）关于y轴的对称点为（2，0），点（0，1）关于y轴的对称点为（0，1），
把点（2，0）、（0，1）代入y＝kx+b得，
解得k，b＝1．
46．（2022秋•下城区期末）如图，一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？
（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值．
【分析】（1）求出A、B点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据S四边形APOB＝S△AOP+S△AOB即可得出四边形APOB的面积，再由△APB的面积是4可得出m的值．
【解答】解：（1）不变．
∵一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OB＝2．
∵P（﹣1，m），
∴S△OPBOB×12×1＝1；
（2）∵A（﹣2，0），P（﹣1，m），
∴S四边形APOB＝S△AOP+S△AOBOA•（﹣m）OA×2
2m2×2
＝2﹣m．
∵S四边形APOB＝S△APB+S△OPB＝4+1＝5，
∴2﹣m＝5，解得m＝﹣3．
47．（2022春•陆川县期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴交于点A．
（1）若点A关于x轴的对称点B在一次函数yx+b的图象上，求b的值，并在同一坐标系中画出该一次函数的图象；
（2）求这两个一次函数的图象与y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）先求出A点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特点得出B点坐标，代入一次函数yx+b求出b的值即可得出其解析式，画出该函数图象即可；
（2）设两个一次函数图象的交点为点C，联立两函数的解析式得出C点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵把x＝0代入y＝﹣2x+1，得y＝1．
∴点A坐标为（0，1），
∴点B坐标为（0，﹣1）．
∵点B在一次函数yx+b的图象上，
∴﹣10+b，
∴b＝﹣1．
（2）设两个一次函数图象的交点为点C．
∵，解得，
∴点C坐标为（，）．
∴S△ABC2．
48．（2022秋•浔阳区期中）如图，直线AB的函数关系式为yx+4，点P为坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形，回答问题：
（1）求线段AB的长度；
（2）当点P为y轴正半轴上一点时，求点P的坐标；
（3）当点P为x轴负半轴上一点时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB的长度；
（2）分AP＝BP、AB＝AP两种情况考虑，当AP1＝BP1时，利用勾股定理及AP1＝BP1可求出点P1的坐标；当AB＝AP2时，由OP2＝OA+AB可求出点P2的坐标；
（3）分AP＝AB、AB＝BP、AP＝BP三种情况考虑，当AP3＝AB时，根据等腰三角形的性质可求出点P3的坐标；当AB＝BP4时，由OP4＝AB﹣OB可求出点P4的坐标；当AP5＝BP5时，利用勾股定理及AP5＝BP5可求出点P5的坐标．
【解答】解：（1）∵直线yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴AB5．
（2）当AP1＝BP1时，设点P1的坐标为（0，m），则AP1＝4﹣m，BP1，
∴（4﹣m）2＝m2+32，
解得：m，
∴点P1的坐标为（0，）；
当AB＝AP2时，OP2＝OA+AB，
∴点P2的坐标为（0，9）．
综上所述，当点P为y轴正半轴上一点时，点P的坐标为（0，）或（0，9）．
（3）当AP3＝AB时，OB＝OP3，
∴点P3的坐标为（﹣3，0）；
当AB＝BP4时，则OP4＝AB﹣OB，
∴点P4的坐标为（﹣2，0）；
当AP5＝BP5时，设点P5的坐标为（n，0），则AP5，BP5＝3﹣n，
∴42+n2＝（3﹣n）2，
解得：n，
∴点P5的坐标为（，0）．
综上所述：当点P为x轴负半轴上一点时，点P的坐标为（﹣3，0）、（﹣2，0）或（，0）．
49．（2022秋•瑶海区期中）定义[P，q]为一次函数y＝Px+q的特征数．
（1）若特征数是[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为正比例函数，求k的值；
（2）在平面直角坐标系中，有两点A（﹣m，0），B（0，﹣2m），且三角形OAB的面积为4（O为原点），求过A，B两点的一次函数的特征数．
【分析】（1）根据题意中特征数的概念，可得k﹣1与k2﹣1的关系；进而可得k的值；
（2）根据△OAB的面积为4，可得m的方程，解即可得m的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵特征数为[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为y＝（k﹣1）x+k2﹣1，
∴k2﹣1＝0，k﹣1≠0，
∴k＝﹣1；
（2）∵A（﹣m，0），B（0，﹣2m），
∴OA＝|﹣m|，OB＝|﹣2m|，
若S△OBA＝4，则•|﹣m|•|﹣2m|＝4，m＝±2．
∴A（2，0）或（﹣2，0），B（0，4，）或（0，﹣4），
∴一次函数为y＝﹣2x﹣4或y＝﹣2x+4，
∴过A，B两点的一次函数的特征数[﹣2，﹣4]，[﹣2，4]．
50．（2022秋•亭湖区校级期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）点M（3，2） 和谐点（填“是”或“不是”）；
（2）若点P（a，6）是和谐点，a的值为 ；
（3）若（2）中和谐点P（a，6）在y＝﹣4x+m上，求m的值．
【分析】（1）根据和谐点的定义求出矩形的周长与面积，然后即可判断；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值即可；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到﹣4a+m＝6，即m＝4a+6，然后把a的值分别代入可计算出对应的m的值．
【解答】解：（1）∵点M（3，2），
∴矩形OAPB的周长＝2（3+2）＝10，
面积＝3×2＝6，
∵10≠6，
∴则点M（3，2）不是和谐点；
故答案为：不是；
（2）根据题意得：2（|a|+6）＝6|a|，
解得：a＝±3；
故答案为：±3；
（3）∵点P（a，6）在直线y＝﹣4x+m上，
∴﹣4a+m＝6，即m＝4a+6，
当a＝3时，m＝18；当a＝﹣3时，m＝﹣6，
∴m的值为18或﹣6．x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
1
2
3
2
n
……
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
2
1.5
1
0.5
m
0.5
n
1.5
2
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
9
12
…
y
…
﹣4
0
4
8
12
9
7.2
6
4
3
…