(江苏专用)中考数学真题分项汇编专题03方程与不等式（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022•无锡）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．
【解析】，
方程两边都乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解．
故选：D．
2．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5%B．10%C．20%D．21%
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可．
【解析】设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
3000（1+x）2＝3630，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为10%．
故答案为：B．
3．（2022•宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解析】设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
4．（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100xB．x＝100x
C．x＝100+xD．x＝100﹣x
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走60，
依题意，得：60+100＝x．
故选：B．
5．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关系式为：鸡的只数+兔的只数＝35；2×鸡的只数+4×兔的只数＝94，把相关数值代入即可求解．
【解析】设鸡有x只，兔有y只，可列方程组为：
．
故选：D．
6．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解析】A、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共11小题）
7．（2022•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 c ．
【分析】根据判别式的意义得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．
【解析】根据题意得Δ＝12+4c＜0，
解得c．
故答案为：c．
8．（2022•盐城）分式方程1的解为 x＝2 ．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．
【解析】方程的两边都乘以（2x﹣1），得x+1＝2x﹣1，
解得x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
9．（2022•泰州）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解析】∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
10．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 b＜c＜a ．
【分析】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解析】解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
11．（2022•无锡）二元一次方程组的解为 ．
【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．
【解析】，
由②得：y＝2x﹣1③，
将③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，
解得：x＝2，
将x＝2代入③得：y＝3，
∴原方程组的解为．
故答案为：．
12．（2022•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≤1 ．
【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k
＝4﹣4k．
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴4﹣4k≥0．
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
13．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解析】a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
14．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是 1 ．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
15．（2022•徐州）方程的解为 x＝6 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】去分母得：3x﹣6＝2x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
故答案为：x＝6
16．（2022•南通）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 5x+45＝7x﹣3 ．
【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
【解析】若设人数为x，则可列方程为：5x+45＝7x﹣3．
故答案为：5x+45＝7x﹣3．
17．（2022•镇江）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 4 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，再求出m的值即可．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得：m＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共14小题）
18．（2022•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解析】（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1，x2＝1；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
19．（2022•镇江）（1）解方程：1；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程两边同时乘以（x﹣2），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；
（2）根据解不等式组的一般步骤，进行解答，即可得出答案．
【解析】（1）去分母得：2＝1+x+x﹣2，
解得：x，
检验：当x时，x﹣2≠0，
∴原分式方程的解为x；
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤3．
20．（2022•盐城）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
21．（2022•常州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】由5x﹣10≤0，得：x≤2，
由x+3＞﹣2x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
22．（2022•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集．
【解析】（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝±，
解得x1＝1，x2＝1；
（2），
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x，
∴原不等式组的解集是1＜x．
23．（2022•苏州）解方程：1．
【分析】先两边同乘以x（x+1）化为整式方程：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得x，再检验即可得答案．
【解析】方程两边同乘以x（x+1）得：
x2+3（x+1）＝x（x+1），
解整式方程得：x，
经检验，x是原方程的解，
∴原方程的解为x．
24．（2022•连云港）解不等式2x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去分母、移项、合并同类项可得其解集．
【解析】去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞﹣1+2，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如下：
．
25．（2022•宿迁）解方程：．
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【解析】1，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
26．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【分析】设有x个人，物品的价格为y钱，由题意：每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】设有x个人，物品的价格为y钱，
由题意得：，
解得：，
答：有7个人，物品的价格为53钱．
27．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【分析】设每个小组有学生x名，由题意得：，解分式方程并检验后即可得出答案．
【解析】设每个小组有学生x名，
由题意得：，
解得：x＝10，
当x＝10时，12x≠0，
∴x＝10是分式方程的根，
答：每个小组有学生10名．
28．（2022•扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可求得该不等式组所有整数解的和．
【解析】，
解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜4，
∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，
∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，
∴该不等式组所有整数解的和是3．
29．（2022•宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 300 元；乙超市的购物金额为 240 元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额；
（2）设购买x件这种文化用品，当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为8x元，显然在乙超市支付的费用较少；当x＞40时，在甲超市的购物金额为（6x+160）元，在乙超市的购物金额为8x元，分6x+160＞8x，6x+160＝8x及6x+160＜8x三种情况，可求出x的取值范围或x的值，综上，即可得出结论．
【解析】（1）∵10×30＝300（元），300＜400，
∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为300×0.8＝240（元）．
故答案为：300；240．
（2）设购买x件这种文化用品．
当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
∵10x＞8x，
∴选择乙超市支付的费用较少；
当x＞40时，在甲超市的购物金额为400+0.6（10x﹣400）＝（6x+160）（元），在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
若6x+160＞8x，则x＜80；
若6x+160＝8x，则x＝80；
若6x+160＜8x，则x＞80．
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
30．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
【解析】设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
31．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【解析】（1）∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y＝76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y＝46．
∴可列方程组为．
故答案为：．
（2）原方程组可化简为，
由②可得y＝23﹣2x③，
将③代入①得3x+2（23﹣2x）＝38，
解得x＝8，
∴y＝23﹣2x＝23﹣2×8＝7．
答：兽有8只，鸟有7只．