(浙江专用)中考数学一轮复习讲练测专题07一元二次方程（讲练）（2份，原卷版+解析版）

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1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式；
2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；
3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系；
4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.
一．选择题（共4小题）
1．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
2．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．﹣36C．9D．﹣9
【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．
【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
4．（2020•衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）2，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
二．填空题（共3小题）
5．（2019•舟山）在x2+（ ±4x ）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即Δ＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
【解答】解：
要使方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0
得b＝±4
故一次项为±4x
故答案为±4x
6．（2018•台州）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可，
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，
解得m．
故答案为．
7．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ 30% （用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
三．解答题（共5小题）
8．（2021•浙江）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
9．（2020•浙江）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 ＝ 2x；
②当x＝0时，x2+1 ＞ 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 ＞ 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x；
故答案为：＝；＞；＞；
（2）x2+1≥2x，
理由：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
10．（2020•萧山区一模）已知关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）若x1＝2x2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝m+4，结合x1＝2x2可求出x1，x2的值，再将其代入x1x2＝m+4中可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（m+4）≥0，
解得：m≤5．
（2）∵关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝m+4．
又∵x1＝2x2，
∴x2＝2，x1＝4，
∴4×2＝m+4，
∴m＝4．
11．（2013•上城区二模）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）＝10求出即可．
【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简，整理，的x2﹣3x+2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4，2+3＝5，
答：每盆应植4株或者5株．
12．（2022•宁波模拟）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
1．一元二次方程的定义：
两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
2．一元二次方程的解法：
一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．
(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解．
(3)公式法：求根公式x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)(其中eq \r(b2－4ac)≥0)．
(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．
③当Δ＜0时，方程没有实数根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
4．一元二次方程的实际应用：
常见的等量问题：
(1)平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
(2)利润问题：
利润＝售价－成本，利润率＝eq \f(利润,成本)×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
(3)利息问题：
利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
(4)面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
考点一 、一元二次方程的有关概念
1．（2020秋•温岭市期中）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求a2+b2﹣例2ab﹣2的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，求得a﹣b＝1；然后整体代入求值．
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，
∴a﹣b＝1．
∴a2+b2﹣2ab﹣2
＝（a﹣b）2﹣2
＝﹣1．
【变式训练】
1．（2022秋•椒江区校级月考）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝4B．x2+y+1＝0C．x2+3x＝6D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
【解答】解：A、x+1＝4是一元一次方程，故该选项不符合题；
B、该选项含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题；
C、x2+3x＝6是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、该选项为分式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•定海区校级月考）将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1B．﹣3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣6，0
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【解答】解：将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式为3x2﹣6x＝0，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，0．
故选：D．
3．（2022春•西湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
【分析】直接把x＝1代入方程x2+3x﹣m＝0得关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+3x﹣m＝0得1+3﹣m＝0，
解得m＝4，
即m的值为4．
故选：B．
4．（2022•长兴县开学）把一元二次方程2（x+1）+（2x﹣1）2＝0化成一般形式，结果正确的是（ ）
A．4x2﹣4x+1＝0B．4x2﹣2x+3＝0C．2x2﹣2x+3＝0D．4x2+3＝0
【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），进行计算即可解答．
【解答】解：2（x+1）+（2x﹣1）2＝0，
2x+2+4x2﹣4x+1＝0，
4x2﹣2x+3＝0．
故选：B．
5．（2022秋•临海市月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2022，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2022得到x﹣1＝2022，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2023．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2022，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2022，
则x﹣1＝2022，
解得x＝2023，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2023．
故选：D．
考点二、 一元二次方程的解法
例2．（2022春•富阳区期中）解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝16；
（2）x2﹣8x+12＝0．
【分析】（1）把方程两边开方得到x﹣3＝±4，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝±4，
所以x1＝7，x2＝﹣1；
（2）x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝2，x2＝6．
【变式训练】
1．（2022春•富阳区期中）一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，经过配方可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝10B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝6D．（x﹣2）2＝2
【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝6，
配方得：x2﹣4x+4＝10，即（x﹣2）2＝10．
故选：A．
2．（2022秋•滨江区校级月考）设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α，β且α＜β，则α、β满足（ ）
A．﹣1＜α＜β＜3B．α＜﹣1且β＞3C．α＜﹣1＜β＜3D．﹣1＜α＜3＜β
【分析】方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，然后画出导致图象可确定正确选项．
【解答】解：方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，
而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
如图，
所以α＜﹣1且β＞3．
故选：B．
3．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 x1＝0，x2＝6 ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x2﹣2x＝4x，
整理得：x2﹣6x＝0，
分解因式得：x（x﹣6）＝0，
所以x＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6．
故答案为：x1＝0，x2＝6．
4．（2022秋•仙居县校级月考）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2．
5．（2022秋•定海区校级月考）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（y﹣3）2＝（2y﹣1）（y﹣3）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（y﹣3）2＝（2y﹣1）（y﹣3），
（y﹣3）2﹣（2y﹣1）（y﹣3）＝0，
（y﹣3）（y﹣3﹣2y+1）＝0，
∴y﹣3＝0或﹣2﹣y＝0，
∴y1＝3，y2＝﹣2．
考点三 、一元二次方程根与系数的关系
例3．（2022•长兴县开学）已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ4（k﹣1）2+4＞0，由此可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣1代入方程，求得k＝1，即可得出2x2+2x＝0，然后解方程即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4×2×（k﹣1）
＝4k2﹣8k+8
＝4（k﹣1）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x＝﹣1是该方程的一个根，
∴2﹣2k+k﹣1＝0，解得k＝1，
∴方程为2x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝0，
∴方程的另一个根为x＝0．
【变式训练】
1．（2022春•婺城区期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2+1＝0B．x2﹣x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2﹣2x﹣2＝0
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，即可判定方程实数根的情况．
【解答】解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2022春•富阳区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则（ ）
A．2a﹣b＝0B．b＝cC．2a＝cD．b+c＝0
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，又a﹣b+c＝0，即b＝a+c，代入b2﹣4ac＝0得（a+c）2﹣4ac＝0，化简即可得到a与c的关系，从而求解．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，
∴b＝2a＝2c，
故选项B、C、D错误，选项A正确，
故选：A．
3．（2022春•鹿城区校级期中）已知t是关于x的一元二次方程ax2+x+c＝0（a≠0）的根，且M＝（2at+1）2﹣2，若方程有两个相等的实数根，则M的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】根据题意，由根与系数的关系得到2t，代入M＝（2at+1）2﹣2即可求得M的值．
【解答】解：∵t是关于x的一元二次方程ax2+x+c＝0（a≠0）的根，且方程有两个相等的实数根，
∴t+t，
∴2t，
∴M＝（•a+1）2﹣2＝﹣2．
故选：D．
4．（2022秋•温岭市期中）一元二次方程y2﹣4y+a＝0有两个相同的解，则a＝ 4 ．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程y2﹣4y+a＝0有两个相同的解，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a＝16﹣4a＝0，
解得：a＝4．
故答案为：4．
5．（2022春•富阳区期中）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜﹣1＜x2，那么实数a的取值范围是 0＜a ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出x1+x2，x1x2＝9，由x1＜﹣1＜x2可得出（x1+1）（x2+1）＜0，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得：a，
∵x1+x2，x1x2＝9，x1＜﹣1＜x2，
∴x1+1＜0，x2+1＞0，
∴（x1+1）（x2+1）＜0，
∴x1x2+（x1+x2）+1＜0，
即91＜0，
当a＜0时，解得a（舍去）；
当a＞0时，解得0＜a，
又∵a，
∴a的取值范围为0＜a．
故答案为：0＜a．
6．（2022秋•西湖区校级期中）已知关于x方程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0，其中m是实数．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的有两个实数根为：x1，x2，求代数式x12+（3﹣2m）x2+m的最小值．
【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可；
（2）利用根与系数的关系可得：x1+x2＝3﹣2m，x1x2＝﹣m+1，对所求的式子进行整理，结合（1）中m的范围，从而可求解．
【解答】（1）证明∵方程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0，
∴Δ＝（2m﹣3）2﹣4（﹣m+1）
＝4m2﹣12m+9+4m﹣4
＝4m2﹣8m+5
＝4（m﹣1）2+1≥1，
故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0有两个实数根为：x1，x2，
∴x1+x2＝3﹣2m，x1x2＝﹣m+1，
∴x12+（3﹣2m）x2+m
＝x12+（x1+x2）x2+m
＝x12+x1x2+x22+m
＝（x1+x2）2﹣x1x2+m
＝（3﹣2m）2﹣（﹣m+1）+m
＝9﹣12m+4m2+m﹣1+m
＝4m2﹣10m+8
＝4（m）2，
则当m时，有最小值为：．
7．（2022秋•仙居县校级月考）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时x1+x2﹣x1x2的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据（1）中求得的k的取值范围，找出k值，然后根据根与系数的关键解答．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得k＞﹣2且k≠﹣1，
∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．
（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，
∴满足条件的k的最小整数值为0．
∴该方程为x2﹣2＝0．
∴x1+x2＝0，x1x2＝﹣2．
∴x1+x2﹣x1x2
＝0﹣（﹣2）
＝2．
即x1+x2﹣x1x2的值为2．
考点四 、 一元二次方程的应用
例4．（202秋•仙居县校级月考）某乡为了让农民走上致富的道路，准备贷款给农民建池塘办养殖业．2020年乡政府共投资贷款2万元人民币修建池塘80平方米．预计到2022年底乡政府三年累计投资贷款9.5万元人民币用于修建池塘，若在这两年内乡政府每年投资贷款的增长率相同．
（1）求每年乡政府投资贷款的增长率；
（2）若近几年内的修建成本不变，则到2022年底某乡共贷款修建多少平方米的池塘？
【分析】（1）设每年乡政府投资贷款的增长率为x，根据预计到2022年底三年累计投资贷款9.5万元人民币修建池塘列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据投资贷款2万元人民币修建池塘80平方米求出每平方米的费用，即可求出到2022年底共修建的平方米数．
【解答】解：（1）设每年乡政府投资贷款的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5，
整理得：（2x﹣1）（2x+7）＝0，
解得：x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍去），
答：每年乡政府投资贷款的增长率为50%；
（2）根据题意得：9.5380（平方米），
答：若近几年内的修建成本不变，到2022年底共修建380平方米的池塘．
【变式训练】
1．（2022春•鹿城区校级期中）在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“第一次购买数量+第二次购买数量＝15本、第一次购买花销+第二次购买花销＝43元”列出方程组即可．
【解答】解：根据题意，得．
故选：A．
2．（2022春•嵊州市期中）小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元
B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元
D．他身上的钱会剩下115元
【分析】设签字笔的单价为x元，小江身上的钱为y元，由题意：购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设签字笔的单价为x元，小江身上的钱为y元，
由题意得：，
解得：，
∴小江购买17支签字笔和9本笔记本的费用为：17x+9x＝26x＝26×10＝260（元），
∴小江身上的钱会剩下：325﹣260＝65（元），
故选：B．
3．（2022春•温州期中）为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品．已知购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买1支钢笔和1本笔记本共需 33 元．
【分析】设钢笔的单价为x元/支，笔记本的单价为y元/本，根据“购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入x+y中即可求出结论．
【解答】解：设钢笔的单价为x元/支，笔记本的单价为y元/本，
依题意得：，
解得：，
∴x+y＝25+8＝33，
∴购买1支钢笔和1本笔记本共需33元．
故答案为：33．
4．（2022春•嵊州市期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 44cm2 ．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再由阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，列式计算即可．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：，
解得：，
即小长方形的长为8cm，宽为2cm，
∴S阴影部分＝S四边形ABCD﹣6×S小长方形＝14×（6+2×2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故答案为：44cm2．
5．（2022春•新昌县期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
【分析】根据每位男孩看到蓝色游泳帽是红色游泳帽的2倍，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得游泳池里男孩和女孩各几人，本题得以解决．
【解答】解：设游泳池里男孩x人，女孩y人，根据题意得：
，
解得，，
答：游泳池里男孩20人，女孩9人．
6．（2022•椒江区二模）李师傅从杭州驾车到椒江办事，汽车在高速路段平均油耗为6升/百公里（100公里油耗为6升），在非高速路段平均油耗为7.5升/百公里，从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里．
（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；
（2）若汽油价格为8元/升，高速路段过路费为0.45元/公里，求此次杭州到椒江的单程交通费用（交通费用＝油费+过路费）．
【分析】（1）设此次杭州到椒江高速路段的路程为x公里，则非高速路段的路程为y公里，由题意：从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里．列出二元一次方程，解方程组即可；
（2）求出此次杭州到椒江的单程油费和过路费，即可解决问题．
【解答】解：（1）设此次杭州到椒江高速路段的路程为x公里，则非高速路段的路程为y公里，
由题意得：，
解得：，
答：此次杭州到椒江高速路段的路程为250公里；
（2）此次杭州到椒江的单程油费为：8×16.5＝132（元），
此次杭州到椒江的单程过路费为：0.45×250＝112.5（元），
∴此次杭州到椒江的单程交通费用为：132+112.5＝244.5（元），
答：此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元．
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．