人教版数学七下重难点培优训练专题5.5 填空型解答题（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】已知：如图，在△ABC中，CD交AB边于点D，直线DE平分∠BDC且与直线BE相交于点E，∠BDC＝2∠A，∠E＝∠3．
求证：CD∥EB．
证明：理由如下：
∵DE平分∠BDC，（已知）
∴ ＝∠2．
∵∠BDC＝2∠A，（已知）
∴∠2＝∠A，（等量代换）
∴ ∥ ，（ ）
∴ ∠1 ＝∠3，（ ）
又∵∠3＝∠E（已知）
∴ ＝ （等量代换）
∴CD∥ （ ）
【思路点拨】
由平分线的定义可得∠1＝∠2，从而可得到∠2＝∠A，由平行线的判定条件可得AC∥DE，则得∠1＝∠3，从而有∠1＝∠E，即可证得CD∥EB．
【解题过程】
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠1＝∠2，
∵∠BDC＝2∠A（已知），
∴∠2＝∠A（等量代换），
∴AC∥DE，（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3，（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠E（已知），
∴∠1＝∠E（等量代换），
∴CD∥EB（内错角相等，两直线平行）
故答案为：∠1；AC；DE；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠1；∠E；EB；内错角相等，两直线平行．
1．（2021秋•长春期末）如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴ AB ∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴ AB ∥ EF （平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
【思路点拨】
由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．
【解题过程】
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：AB；内错角相等，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；AB；EF；两直线平行，同旁内角互补．
2．（2021秋•长春期末）如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
解∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1 （ 对顶角相等 ），
∴∠ABC＝60°（等量代换）．
又∵∠2＝120°（已知），
∴（ ∠ABC ）+∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
又∵∠2+∠BCD＝（ 180 °），
∴∠BCD＝60°（等式的性质）．
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （ 等量代换 ），
∴BC∥DE （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【思路点拨】
由对顶角相等可得∠ABC＝∠1，从而可求∠ABC＝60°，利用平行线的判定条件可得AB∥CD，由已知条件可得∠BCD＝60°，从而有∠BCD＝∠D，从而可判定BC∥DE．
【解题过程】
解∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1 （对顶角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代换）．
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质）．
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （等量代换），
∴BC∥DE （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
3．（2021秋•朝阳区期末）如图，A、B是直线MN上的两个点，且不重合，分别过点A、B作直线MN的垂线AC、BD，点C、D在直线MN的同侧．若∠CAE＝65°，∠DBF＝65°，则AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？完成下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵AC⊥MN，BD⊥MN（ 已知 ），
∴AC∥BD（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）．
∵AC⊥MN，
∴∠CAB＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴∠1+∠CAE＝90°．
同理可得∠2+∠DBF＝90°．
∵∠CAE＝65°，∠DBF＝65°，
∴∠CAE＝（ ∠DBF ）＝65°（ 等量代换 ）．
∴（ ∠1 ）＝∠2．
∴AE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【思路点拨】
由平行线的判定得AC∥BD，再由垂直的定义得∠1+∠CAE＝90°．∠2+∠DBF＝90°．然后证∠1＝∠2，即可得出AE∥BF．
【解题过程】
解：∵AC⊥MN，BD⊥MN（已知），
∴AC∥BD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∵AC⊥MN，
∴∠CAB＝90°（垂直的定义）．
∴∠1+∠CAE＝90°．
同理可得∠2+∠DBF＝90°．
∵∠CAE＝65°，∠DBF＝65°，
∴∠CAE＝∠DBF＝65°（等量代换）．
∴∠1＝∠2．
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直的定义；∠DBF，等量代换；∠1；同位角相等，两直线平行．
4．（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ BAC ＝90° （ 垂直的定义 ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ 180° （ 等量关系 ），
即∠ BAD +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【思路点拨】
由AB⊥AC，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证．
【解题过程】
解：证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90° （垂直的定义），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系），
即∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行．
5．（2021秋•海口期末）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，∠ACB的度数，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC．
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴OB∥AC． （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠3+∠ACB＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∴∠ACB＝ 50 °，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴OA∥BC．（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【思路点拨】
根据平行线的性质与判定填空即可．
【解题过程】
解：OA∥BC，OB∥AC．
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴OB∥AC． （ 同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠ACB＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ACB＝50°，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴OA∥BC．（ 同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；50；同旁内角互补，两直线平行．
6．（2021秋•本溪期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
解： ∠AED＝∠C ．
证明：∵∠1+∠2＝180°（ 已知 ）
∠1＝∠DFH（ 对顶角相等 ）
∴（ ∠2+∠DFH＝180° ）
∴EH∥AB（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠3＝∠ADE（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（ 等量代换 ）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）
【思路点拨】
由对顶角相等可得∠1＝∠DFH，从而可得∠2+∠DFH＝180°，则可判定EH∥AB，由平行线的性质得∠3＝∠ADE，可求得∠B＝∠ADE，可判定DE∥BC，从而得证∠AED＝∠C．
【解题过程】
解：∠AED＝∠C，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1＝∠DFH（对顶角相等）
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
故答案为：∠AED＝∠C；已知；对顶角相等；∠2+∠DFH＝180°；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等．
7．（2021秋•仁寿县期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F．
求证：∠CED+∠EDF＝180°．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC∠ABC，∠BCE∠ACB（ 角平分线的定义 ）
∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBC＝ ∠BCE （等式的性质）
∵∠DBC＝∠F（已知）
∴∠F＝ ∠BCE （等量代换）
∴EC∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠CED+∠EDF＝180°（ 两直线平行，同旁内角相等 ）
【思路点拨】
利用角平分线的定义和已知先说明∠F与∠BCE的关系，再利用平行线的判定说明CE与DF的关系，最后利用平行线的性质得结论．
【解题过程】
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC∠ABC，∠BCE∠ACB（角平分线的定义）．
∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠BCE（等式的性质）．
∵∠DBC＝∠F（已知），
∴∠F＝∠BCE（等量代换）．
∴EC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠CED+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：角平分线的定义；∠BCE；∠BCE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
8．（2021秋•平昌县期末）如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求证：∠AEH＝∠F．
证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥ AC （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∠2＝ ∠DGC （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝ ∠A ，
∴∠A＝ ∠DGC ．
∴AB∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AEH＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【思路点拨】
根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解题过程】
证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DGC；∠1；∠A，∠DGC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
9．（2021秋•香坊区校级期中）完成下面的证明：
如图所示，AB⊥BF，∠CDF＝90°，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，
∴∠B＝ 90° （ 垂线的定义 ）．
∵∠CDF＝90，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∵∠1＝∠2，
∴AB∥ EF （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴CD∥ EF （ 平行于同一直线的两条直线平行 ），
∴∠3＝∠E（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【思路点拨】
由AB⊥BF可得∠B＝90°，从而有∠B＝∠CDF，可判断AB∥CD，再由∠1＝∠2可得AB∥EF，故得CD∥EF，即得∠3＝∠E．
【解题过程】
证明：∵AB⊥BF，
∴∠B＝90°（垂线的定义）．
∵∠CDF＝90°，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：90°；垂线的定义；同位角相等，两直线平行；EF；内错角相等，两直线平行；EF；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，同位角相等．
10．（2021秋•邓州市期末）请完成下面的推理过程：
如图，已知∠D＝108°，∠BAD＝72°，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF∥ AC （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
【思路点拨】
根据平行线的判定与性质填空即可．
【解题过程】
证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知），
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等），
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知），
∴EF∥AC（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（ 等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；AC；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
11．（2021秋•丹江口市期末）如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠4＝ ∠CGF ＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝ ∠3 ，
∴AB∥ CD ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【思路点拨】
根据平行线性质及判定填空即可．
【解题过程】
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥DE（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠CGF＝90°（ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；∠CGF；两直线平行，同位角相等；∠3；CD；内错角相等，两直线平行．
12．（2021秋•海口期末）如图，AB∥CD，∠1＝∠A．
（1）试说明：AC∥ED；
（2）若∠2＝∠3，FC与BD的位置关系如何？为什么？
请在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．
解：（1）∵AB∥CD，（已知）
∴∠1＝∠BED，（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1＝∠A，（已知）
∴∠BED＝∠ A ，（等量代换）
∴ AC ∥ DE ．（ 同位角相等，两直线平行 ）
（2）FC与BD的位置关系是： FC∥BD ．理由如下：
∵AC∥ED，（已知）
∴∠2＝∠ CGD ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ CGD ＝∠ 3 ．（等量代换）
∴ FC ∥ BD ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质与判定填空即可；
（2）根据平行线的性质与判定填空即可．
【解题过程】
解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠BED（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠A（已知），
∴∠BED＝∠A（等量代换），
∴AC∥DE（ 同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；A；AC；DE；同位角相等，两直线平行；
（2）FC与BD的位置关系是：FC∥BD．理由如下：
∵AC∥ED（已知），
∴∠2＝∠CGD（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠CGD＝∠3（等量代换），
∴FC∥BD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：FC∥BD；CGD；两直线平行，内错角相等；CGD；3；FC；BD；内错角相等，两直线平行．
13．（2021秋•仓山区期末）已知：在△ABC中，CD⊥AB，∠DEB＝∠ACB，∠1+∠2＝180°，试判断FG与AB的位置关系，并说明理由．请在下划线内补全解题过程或依据．
解：FG⊥AB，理由如下：
∵∠DEB＝∠ACB（已知）
∴AC∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠3+∠2＝ 180° （等量代换）
∴FG∥ CD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠FGA＝∠ CDA （ 两直线平行．同位角相等 ）
∵CD⊥AB（已知）
∴∠CDA＝90°
∴∠ FGA ＝90°（等量代换）
∴FG⊥AB（ 垂直的定义 ）
【思路点拨】
先根据平行线的判定方法，由∠DEB＝∠ACB得到AC∥DE，则根据平行线的性质得∠1＝∠3，而∠1+∠2＝180°，则∠3+∠2＝180°，于是可判定FG∥CD，利用∠CDA＝90°和平行线性质得∠FGA＝∠CDA＝90°，于是得到FG⊥AB．
【解题过程】
解：FG⊥AB，理由如下：
∵∠DEB＝∠ACB，
∴AC∥DE，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠3，（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴FG∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠FGA＝∠CDA（两直线平行，同位角相等）
∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDA＝90°，
∴∠FGA＝90°，
∴FG⊥AB（垂直的定义）
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；180°；CD；同旁内角互补，两直线平行；CDA；两直线平行，同位角相等；FGA；垂直的定义．
14．（2021秋•南岗区校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ 已知 ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ 等量代换 ）
∴BC∥DF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
于是∠DBC＝∠BDF（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC∠ABC，∠BDF＝ ∠CDF （ 角平分线定义 ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝ 90°
∴BE⊥DB（ 垂直的定义 ）
【思路点拨】
根据平行线的性质和判定完成证明过程即可．
【解题过程】
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC+∠CDF＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDF＝180°（等量代换），
∴BC∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
于是∠DBC＝∠BDF（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，
∴∠EBC∠ABC，∠BDF∠CDF（角平分线定义），
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF（∠ABC+∠CDF），
即∠EBD＝90°，
∴BE⊥DB（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同旁内角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ∠CDF，角平分线定义；90°；垂直的定义．
15．（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B＝ 50° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90° （垂直的定义）．
∴∠2＝ 40° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80° （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ADC +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100° ．
【思路点拨】
根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答即可．
【解题过程】
解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．
16．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ 角平分线的定义 ）
∴ ∠EBC ＝∠BCF（等量代换）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴ ∠BEF ＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ∠BEF ＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠F＝90°．
【思路点拨】
根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠F，再根据垂直的定义即可得解．
【解题过程】
证明：∵AG∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠FCB（已知），
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，
即∠EBC＝∠FCD，
∵CF平分∠BCD（已知），
∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），
∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BE⊥AF（已知），
∴∠BEF＝90°（垂直的定义），
∴∠F＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．
17．（2021秋•青神县期末）如图，AB与EF交于点B，CD与EF交于点D，根据图形，请补全下面这道题的解答过程．
（1）∵∠1＝∠2（已知）
∴ AB ∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠ABD+∠CDB＝ 180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知）
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质）
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义）
∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行）
又∵∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ACD＝ 125° ．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
【思路点拨】
（1）根据平行线性质定理与判定定理即可得答案；
（2）由同旁内角互补，两直线平行可得答案；
（3）根据平行线性质定理与判定定理即可得答案．
【解题过程】
解：（1）∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠ABD+∠CDB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：AB，内错角相等，两直线平行，180°，两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知），
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质），
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
又∵∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ACD＝125°．（ 两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：AB，CD，125°，两直线平行，同旁内角互补．
18．（2021秋•海口期末）填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
（1）∠1＝∠2吗？请说明理由
（2）BE与CF的位置关系如何？为什么？
（本题第（1）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（2）小题要写出解题过程）
解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AB∥CD（ 已知 ），
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1∠ ABC （角平分线的定义），
∠2∠ BCD （角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
（2）
【思路点拨】
（1）先根据平行线的性质，得出∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义，即可得出∠1＝∠2；
（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解题过程】
解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1∠ABC（角平分线的定义），
∠2∠BCD（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：已知，两直线平行，内错角相等，ABC，BCD，等量代换；
（2）BE∥CF；
由（1）知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
∵∠EBC＝∠ABC﹣∠1，
∠BCF＝∠BCD﹣∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴BE∥CF．
19．（2021秋•绿园区期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ DCE （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCE （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
【思路点拨】
【感知】由角平分线的定义得∠2＝∠DCE，再证∠1＝∠DCE即可得出结论；
【探究】由角平分线的定义得∠2＝∠DCE，再由平行线的性质得∠A＝∠DCE，即可得出结论；
【应用】由角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE，再由平行线的性质得∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，然后求出∠ABC＝80°，则∠CBE＝40°，即可求解．
【解题过程】
【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°．
20．（2021秋•卧龙区期末）在学习了平行线的有关知识后，小明对下面的问题进行了研究．
问题：如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE，CE，
试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
（1）下面是小明的解题过程，请你填空．
解：过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠1（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵CD∥AB（已知），
∴EF∥CD（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代换）．
（2）如图2，AD∥BC，点E在线段AB上运动（点E不与点A，B重合），连结CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β．试说明∠CED，α，β之间的数量关系（写出过程，不需要注明依据）．
（3）如图3，AD∥BC，点E在直线AB上运动（点E不与点A，B，O重合），连结CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β，则∠CED，α，β之间的数量关系是 ∠CED＝α+β或∠CED＝α﹣β或∠CED＝β﹣α ．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质和判定填空即可；
（2）过点E作EF∥AD交CD于点F，由EF∥AD，得∠DEF＝∠ADE＝α，根据BC∥AD，得EF∥BC，即知∠CEF＝∠BCE＝β，故∠CED＝∠DEF+∠CEF＝α+β；
（3）分三种情况：（Ⅰ）E在线段BA延长线上，过E作EG∥AD交直线CD于G，可得∠CED＝∠CEG﹣∠DEG＝β﹣α；（Ⅱ）E在线段AB上，由（2）知∠CED＝α+β；（Ⅲ）E在线段AB延长线上，过E作EH∥AD交直线CD于H，可得∠CED＝∠DEH﹣∠CEH＝α﹣β．
【解题过程】
解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠1（ 两直线平行，内错角相等）．
∵CD∥AB（已知），
∴EF∥CD（ 平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）∠CED＝α+β，证明如下：
过点E作EF∥AD交CD于点F，如图：
∵EF∥AD，
∴∠DEF＝∠ADE＝α，
∵BC∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE＝β，
∴∠CED＝∠DEF+∠CEF＝α+β；
（3）分三种情况：
（Ⅰ）E在线段BA延长线上，过E作EG∥AD交直线CD于G，如图：
同（2）可证∠BCE＝∠CEG＝β，∠ADE＝∠DEG＝α，
∴∠CED＝∠CEG﹣∠DEG＝β﹣α；
（Ⅱ）E在线段AB上，由（2）知∠CED＝α+β；
（Ⅲ）E在线段AB延长线上，过E作EH∥AD交直线CD于H，如图：
同理可证∠BCE＝∠CEH＝β，∠ADE＝∠DEH＝α，
∴∠CED＝∠DEH﹣∠CEH＝α﹣β；
故答案为：∠CED＝α+β或∠CED＝α﹣β或∠CED＝β﹣α．