人教版数学七下重难点培优训练专题5.8 相交线与平行线（压轴题综合测试卷）（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角D．∠B与∠D是同旁内角
【思路点拨】
根据对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角的特征判断即可．
【解答过程】
解：A．∠1与∠2是对顶角，故A不符合题意；
B．∠1与∠3是同位角，故B不符合题意；
C．∠1与∠4不是内错角，故C符合题意；
D．∠B与∠D是同旁内角，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2021春•陆河县校级期末）如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC＝90°，则下列语句错误（ ）
A．线段PB的长叫做点P到直线l的距离
B．线段AC的长叫做点C到直线AP的距离
C．PA、PB、PC三条线段中，PB是最短的
D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离
【思路点拨】
根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”和“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”进行判断，即可解答．
【解答过程】
解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法正确，故A选项不符合题意；
B、线段PC的长度叫做点C到直线AP的距离，故原说法错误，故A选项符合题意；
C、PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故原说法正确，故C选项不符合题意；
D、线段PA的长叫做点A到直线PC的距离，故原说法正确，故D选项不符合题意．
故选：B．
3．（2021秋•长春期末）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（ ）
A．2αB．90°+αC．180°﹣αD．180°﹣2α
【思路点拨】
由折叠的性质可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，从而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出结果．
【解答过程】
解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，
∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，
∵AD∥BC，
∴∠D'GF＝∠DEG＝2α，
∴∠C'FG＝180°﹣2α．
故选：D．
4．（2021秋•海阳市期末）如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，HD＝2，CF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12B．15C．18D．24
【思路点拨】
先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝CF＝3，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答过程】
解：∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△ABC的面积＝△DEF的面积，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB＝6，BE＝CF＝3，
∵AB＝6，DH＝2，
∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，
∴阴影部分的面积（4+6）×3＝15．
故选：B．
5．（2020•温江区校级自主招生）如图，已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝35°，则∠1等于（ ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
【思路点拨】
过C作CM∥直线l1，求出CM∥直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠1＝∠MCB，∠2＝∠ACM，即可求出答案．
【解答过程】
解：过C作CM∥直线l1，
∵直线l1∥l2，
∴CM∥直线l1∥直线l2，
∵∠ACB＝60°，∠2＝35°，
∴∠2＝∠ACM＝35°，
∴∠1＝∠MCB＝∠ACB﹣∠ACM＝60°﹣35°＝25°，
故选：A．
6．（2021秋•西峡县期末）直线l1、l2、l3的位置关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠2与∠1互为邻补角，若∠1＝111°54'，则∠2＝68.1°
B．∠1与∠3互为对顶角，若∠1＝111.9°，则∠3＝111.9°
C．若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3
D．若∠3+∠4＝180°或∠4+∠6＝180°，则l1∥l2．
【思路点拨】
根据平行线的判定、角的换算、对顶角与邻补角、垂直的定义解决此题．
【解答过程】
解：A．由图得，∠2与∠1互为邻补角，则∠2+∠1＝180°．由∠1＝111°54'，得∠2＝68°6′＝68.1°，那么A正确，故A不符合题意．
B．根据对顶角的定义，∠1与∠3互为对顶角，则∠1＝∠3．由∠1＝111.9°，得∠3＝111.9°，那么B正确，故B不符合题意．
C．根据垂直的定义，由若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3，那么C正确，故C不符合题意．
D．由题得，∠1与∠3是对顶角，那么∠1＝∠3．由∠3+∠4＝180°，得∠1+∠4＝180°，那么l1∥l2．根据同旁内角互补两直线平行，由∠4+∠6＝180°，那么l3∥l2，得D错误，故D符合题意．
故选：D．
7．（2021秋•福田区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：
①当∠AOF＝50°时，∠DOE＝50°；
②OD为∠EOG的平分线；
③若∠AOD＝150°，∠EOF＝30°；
④∠BOG＝∠EOF．
其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【思路点拨】
根据对顶角、邻补角，角平分线以及补角、余角的定义，结合具体的图形中角的和差关系逐项进行判断即可．
【解答过程】
解：①∵直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，∠AOF＝50°
∴∠EOF＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠EOF
＝90°﹣40°
＝50°，
因此①正确；
②由①可得∠BOD＝∠BOG＝90°﹣∠DOE＝40°，
此时，OD就不是∠EOG的平分线，
所以②不正确；
③∵∠AOE＝90°，∠DOF＝90°，
∴∠AOE+∠DOF＝∠AOD+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOD
＝180°﹣150°
＝30°，
因此③正确；
④∵∠AOE+∠DOF＝∠AOD+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOD，
又∵AB是直线，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠EOF＝∠BOD，
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD＝∠BOG，
∴∠BOG＝∠EOF，
因此④正确，
综上所述，正确的结论有①③④，共有3个，
故选：B．
8．（2020秋•开福区校级期末）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【思路点拨】
利用垂直的定义和平行线的判定定理可判断①，利用角平分线的定义可判断②，由垂直的性质，等量代换可判断③，利用垂直的定义和互余的定义可判断④．
【解答过程】
解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠FGD＝∠ADB＝90°，
∴FG∥AD，
故①正确；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，
∴DE⊥AB，
不能证明DE为∠ADB的平分线，
故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
故③正确；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，
故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
故选：C．
9．（2021春•德宏州期末）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠ACE+∠2＝180°；③若∠A＝∠2，则有AB∥CE；④若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【思路点拨】
由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代换即可得出①结论；
延长EC，如图1，由已知条件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根据平角的性质可得∠ACE+∠5＝180°，等量代换即可得出②结论；
由已知条件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代换可得∠A+∠ACE＝180°，根据平行线的判定即可得出③结论；
由平行线的性质可得∠E＝∠4，由已知条件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代换可得∠4＝∠A．即可得出④结论．
【解答过程】
证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3．
故结论①正确；
延长EC，如图1，
∵DC⊥CE，AC⊥BC，
∴∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠5，
∵∠ACE+∠5＝180°，
∴∠ACE+∠2＝180°．
故结论②正确；
∵∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，
∴∠A+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE．
故结论③正确；
∵AB∥CE，
∴∠E＝∠4，
∵∠2＝∠E，∠2＝∠A，
∴∠4＝∠A．
故结论④正确．
所以结论正确的有①②③④．
故选：D．
10．（2021秋•江岸区期末）下列命题：
①若|x|+2x＝6，则x＝2；
②若b+c+a＝0，则关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的解为x＝1；
③若不论x取何值，ax﹣b﹣2x＝3恒成立，则ab＝﹣6；
④若x，y，z满足|x﹣1|+|y﹣3|+|z+1|＝6﹣|x﹣5|+|y﹣1|﹣|z﹣3|，则x+y﹣z的最小值为1．
其中，正确命题的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
根据绝对值的方程、一元一次方程以及非负性判断即可．
【解答过程】
解：①若|x|+2x＝6，则x＝2，是真命题；
②若b+c+a＝0，则关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的解为x＝1，是真命题；
③若不论x取何值，ax﹣b﹣2x＝3恒成立，则ab＝﹣6，是真命题；
④若x，y，z满足|x﹣1|+|y﹣3|+|z+1|＝6﹣|x﹣5|+|y﹣1|﹣|z﹣3|，则x+y﹣z的最小值为1，是假命题；
故选：C．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2021秋•平昌县期末）把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果…那么…”的形式 ．
【思路点拨】
先分清命题“不能被2整除的数是奇数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．
【解答过程】
解：如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数．
故答案为：如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数．
12．（2021秋•亭湖区期末）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【思路点拨】
利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答．
【解答过程】
解：由题意得：
2.7+5.3＝8（m），
8×2.5×160＝3200（元），
∴购买地毯至少需要3200元，
故答案为：3200．
13．（2021秋•虎林市期末）已知三条射线OA、OB、OC，OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，∠BOC的度数为 ．
【思路点拨】
先根据垂直的定义得到∠AOC＝90°，再利用∠AOB：∠AOC＝2：3可计算出∠AOB＝60°，然后分类讨论：当OB在∠AOC内部，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB；当OB在∠AOC外部，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB．
【解答过程】
解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB90°＝60°，
当OB在∠AOC内部，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；
当OB在∠AOC外部，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝90°+60°＝150°．
故答案为30°或150°．
14．（2021秋•道里区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 度．
【思路点拨】
根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，过点E作EP∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解答过程】
解：如图，过点E作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，
∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE∠ABC，∠CDE∠ADC，
∴∠ABE+∠CDE（∠ABC+∠BAD）＝42°，
∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，
故答案为：42．
15．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
【思路点拨】
根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答过程】
解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）如图2，当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（4分）（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．
（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．
【思路点拨】
（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；
（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．
【解答过程】
解：（1）DF∥AC．
理由：∵∠DEB＝100°，
∴∠AEF＝∠DEB＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠AEF+∠BAC＝180°，
∴DF∥AC；
（2）∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵∠ADF＝∠C，
∴∠BFD＝∠ADF，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，
∴∠B＝40°．
17．（4分）（2021秋•无锡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE∠BOF﹣10°，求∠COE．
【思路点拨】
（1）根据对顶角的定义，由∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC＝∠BOD＝65°．由∠AOE：∠EOC＝2：3，求得∠AOE26°．根据邻补角的定义，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．由∠AOE∠BOF﹣10°，得∠BOF＝4x+20°．根据角平分线的定义，由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．根据邻补角的定义，得∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°，进而解决此题．
【解答过程】
解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°．
∵∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠AOE26°．
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣26°＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．
∵∠AOE∠BOF﹣10°，
∴∠BOF＝4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°．
∴x＝14°．
∴∠COE＝3x＝42°．
18．（6分）（2021秋•南岗区校级期中）如图的网格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三角形ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出三角形ABC向上平移4个单位后的三角形A1B1C1；
（2）画出三角形A1B1C1向左平移5个单位后的三角形A2B2C2；
（3）经过（1）次平移线段AC划过的面积是 ．
【思路点拨】
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用平行四边形的面积公式求解．
【解答过程】
解：（1）如图，A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）经过（1）次平移线段AC划过的面积＝4×4＝16．
故答案为：16．
19．（6分）（2021春•裕安区期末）（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED．
证明：过点E引一条直线EF∥AB
∴∠B＝∠BEF，（ ）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（ ）
∴∠D＝ （ ）
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠FED
即∠B+∠D＝∠BED．
（2）如图2，AB∥CD，请写出∠B+∠BED+∠D＝360°的推理过程．
（3）如图3，AB∥CD，请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝ ．
【思路点拨】
（1）先根据平行线的性质得出∠B＝∠BEF，由AB∥CD，EF∥AB可知EF∥CD，故∴∠D＝∠FED，由此可得出结论；
（2）过点E引一条直线EF∥AB，根据EF∥AB可知∠B+∠BEF＝180°，由AB∥CD，EF∥AB得出EF∥CD，故∠FED+∠D＝180°，由此可得出结论；
（3）分别过点EF作EG∥AB，HF∥CD，则∠B+∠BEG＝180°，∠D+∠HFD＝180°，根据AB∥CD，EG∥AB，HF∥CD可知EG∥HF，故∠GEF+∠HFE＝180°，由此可得出结论．
【解答过程】
解：（1）过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠D＝∠FED（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠FED；两直线平行，内错角相等．
（2）如图2，过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝180°+180°＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°
（3）如图3，分别过点EF作EG∥AB，HF∥CD，
∵EG∥AB，
∴∠B+∠BEG＝180°．
∵HF∥CD，
∴∠D+∠HFD＝180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，HF∥CD，
∴EG∥HF，
∴∠GEF+∠HFE＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°．
故答案为：540°．
20．（6分）（2021春•江汉区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【思路点拨】
（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答过程】
解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠CEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
21．（9分）（2021秋•铁西区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答过程】
解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
22．（9分）（2021春•红谷滩区校级期末）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
【思路点拨】
（1）过点E作ER∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得ER∥CD，再根据平行线的性质和已知∠DCF＝25°，∠E＝20°，即可求∠ABE的度数；
（2）根据平行线的性质和∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，即可求∠ABE的度数；
（3）根据（2）的条件，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，即可求∠PHQ的度数．
【解答过程】
解：（1）如图1，
过点E作ER∥AB，
∵AB∥CD，
∴ER∥CD，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度数为30°．
（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，
∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，
设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，
∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，
设∠CEB＝β，
则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，
∴∠CFL，∠BFL＝∠ABF＝α，
∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL，
∴2180﹣β＝190，
∴α＝10，
∴∠ABE＝30°．
答：∠ABE的度数为30°．
（3）如图3，过点P作PJ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PJ∥CD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HN∥PK，
∴∠NHP＝x，
设∠MHN＝y，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度数为30°．
23．（11分）（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；
（2）过点F作FM∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y，利用垂直的定义得到x+y＝45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．
【解答过程】
（1）证明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，
∴∠AEC+∠BEM＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．
∴∠ECD+∠CME＝90°．
∴2∠ECD+2∠CME＝180°．
∵CE平分∠ACD，
∴ACD＝2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°．
∴∠A＝2∠CME．
（2）解：过点F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD．
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）
＝180°﹣140°
＝40°．
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°．
∴∠MNB＝90°﹣∠F．
同理：∠HCF＝90°﹣∠F．
∴∠MNB＝∠HCF．
∵∠ACH∠ECH，
∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y．
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD＝90°．
∴∠ECH+∠ECD＝90°．
∴2x+2y＝90°．
∴x+y＝45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．
∴∠MNB＝135°﹣∠A．题号
一
二
三
总分
得分
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