人教版数学七下重难点培优训练专题6.4 实数与数轴（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【思路点拨】
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解题过程】
解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，
当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC，CD，
x＝﹣1，
如图2，
当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC，CD，
x＝﹣1，
如图3，
当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC＝CD，
x＝﹣1，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．
1．（2021秋•海曙区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】
根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解题过程】
解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE，
∵点A表示的数是1，且点E在点A左侧，
∴点E表示的数为1．
故选：B．
2．（2021秋•拱墅区期末）如图，实数1在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【思路点拨】
先确定的范围，再推出的范围，从而得解．
【解题过程】
解：∵，
∴，
∴在在数轴上的对应点可能是C．
故选：C．
3．（2021•福州模拟）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则①a＞﹣4；②b+d＜0；③|a|＜c2；④c的结论中，正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【思路点拨】
①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；
②根据异号两数的加法法则判断；
③注意到c是一个真分数，所以c2＜1，而|a|＞3，从而作出判断；
④先判断c2与d的大小，再开方即可．
【解题过程】
解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：a＞﹣4，符合题意；
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取d的符号正号，所以b+d＞0，不符合题意；
③∵|a|＞3，c2＜1，∴|a|＞c2，不符合题意；
④∵c2＜1，d＞2，∴c2＜d，∴c，符合题意；
故选：B．
4．（2021秋•瑞安市期中）如图，数轴上点A表示的数是1，点B，C分别位于点A两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（ ）
A．B．1C．2D．2
【思路点拨】
根据点A、B表示的实数，确定出线段AB的长度，就能求得此题结果．
【解题过程】
解：∵数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，
∴线段AC的长度和线段AB的长度为：1，
∴点C表示的数为1﹣（1）＝2，
故选：C．
5．（2021•福建模拟）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a+b≥﹣1B．ab＞﹣1C．1D．1
【思路点拨】
由数轴上的点得出a与b的正负及绝对值的大小，再结合运算法则进行判断即可．
【解题过程】
解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
∴a+b＜0，但无法判断与﹣1的大小关系，故A不符合题意；
∵2＜|a|＜3，1＜|b|＜2，
∴1＜|ab|＜6，
∴﹣6＜ab＜﹣1，故B不符合题意；
由上知，|a|＞|b|，
∴||＜1，
∴﹣10，故C符合题意，D不符合题意．
故选：C．
6．（2021春•天津期中）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有 个．
【思路点拨】
估计出的范围即可求解．
【解题过程】
解：∵1＜2＜4，
∴12，
∴A，B两点之间的整数有2，3，4三个，
故答案为：3．
7．（2021春•番禺区校级月考）如图，实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a﹣π|+|a|的结果为 ．
【思路点拨】
此题观察数a在数轴上表示数的大小，并判断a﹣π，a的正负，最后去绝对值即可求解．
【解题过程】
解：由数轴上a的位置可知，
∵2＜a＜3，
∴a﹣π＜0，a＜0，
∴|a﹣π|+|a|＝﹣（a﹣π）﹣（a）＝﹣a+πa＝π．
故答案为：π．
8．（2021秋•鄞州区期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合．
【思路点拨】
根据对称的知识，若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，从而找到的对称点．
【解题过程】
解：若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，
所以表示的点与数4表示的点重合；
故答案为4．
9．（2021秋•拱墅区期中）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2和，则M，N间的距离为 2 ，MN中点表示的数是 ．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c||d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ．
【思路点拨】
（1）根据M，N间的距离为|2（）|＝2，得中点到M的距离为21，即可得出答案；
（2）先由|a﹣c|＝|b﹣c||d﹣a|＝1（a≠b），推得点C在点A和点B之间，且C与A，C与B之间的距离均为1，D与A之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知原点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解．
【解题过程】
解：（1）∵数轴上的点M，N分别对应的数为2和，
∴M，N间的距离为|2（）|＝2，
∴中点到M的距离为21，
∴MN中点表示的数为21＝1，
故答案为：2；1；
（2）∵|a﹣c|＝|b﹣c|＝1
∴点C在点A和点B之间，且AC＝BC＝1，
∵|d﹣a|＝1，
∴|d﹣a|＝1.5，
∴AD＝1.5，
不妨设点A在点B左侧，
如图（1，点D在点A的左侧时，
线段BD的长为3.5；
如图（2），点D在A的右侧时，
线段BD的长为0.5，
故答案为：3.5或0.5．
10．（2021春•雨花区期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式|b﹣a||2b|的值．
【思路点拨】
根据c为8的立方根，求得c＝2，因为a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可．
【解题过程】
解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c＝2．
11．（2021春•庐江县期末）数轴上的点A、B依次表示两个实数．
（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；
（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数．
【思路点拨】
（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置．
（2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算．
【解题过程】
解：（1）如图：
（2）设点C表示的数是x，则：
|x|＝2．
∴x或﹣3．
∴点C表示的数是或﹣3．
12．（2021秋•乐亭县期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ．
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d的平方根．
【思路点拨】
（1）通过A，B在数轴上表示的数进行运算．
（2）化简绝对值进行运算．
（3）根据非负数的意义进行解答．
【解题过程】
解：∵点B在点A右侧2个单位处，
∴点B所表示的数m为：2，即2．
故答案为：2．
，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+4|与互为相反数，
∴，
∴|2c+4|＝0，且，
解得：c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d＝8，
∴2c+3d的平方根为±2．
答：2c+3d的平方根为±2．
13．（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．
（1）计算：a2﹣2a的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【思路点拨】
（1）利用非负数的性质求出a与c的值，代入原式计算即可求出值；
（2）根据a，b的值，确定出中点坐标，进而求出与C重合的点即可．
【解题过程】
解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，
∴c﹣4＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，c＝4，
则原式＝a2﹣2a（﹣3）2﹣2×（﹣3）9﹣（﹣6）﹣2＝13；
（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，
∴b＝﹣1，
∵a＝﹣3，
∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，
∵c＝4，
∴与点C重合的点表示的数是﹣8；
14．（2021春•潢川县月考）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．
（1）这个魔方的棱长是 ．（用代数式表示）
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①求出这个魔方的棱长．
②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 ．
【思路点拨】
（1）根据体积的计算方法，可表示其棱长，
（2）①由魔方体积V＝64cm3，开立方可求出魔方的棱长；
②求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案；
③求出点D所表示数的绝对值，再得出点D所表示的数．
【解题过程】
解：（1）因为拼成的魔方体积为Vcm3，
所以这个魔方的棱长为cm；
故答案为：；
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①∵43＝64，
∴4，
所以这个魔方的棱长为4cm；
②因为魔方的棱长为4cm；
所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），
所以阴影部分正方形ABCD的边长为（cm），
S正方形ABCD＝（）2＝8（cm2），
答：阴影部分正方形ABCD的面积是8cm2，边长为cm；
③点D到原点的距离为：1，
又因为点D在原点的左侧，
所以点D所表示的数为﹣（1）＝1﹣，
故答案为：1﹣．
15．（2021秋•江干区校级期中）已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b＝﹣1，且a，c满足|a+5|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若点B保持静止，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则AB＝ ，BC＝ （结果用含t的代数式表示）；这种情况下，5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若在点A、C开始运动的同时，点B向右运动，并且A，C两点的运动速度和运动方向与（2）中相同，当t＝3时，AC＝2BC，求点B的速度．
【思路点拨】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性即可求解出a和c的值；
（2）根据运动的方向好速度求解即可，列式计算5AB﹣BC是否为定值．
（3）根据运动的时间求出点A和点C所表示的数，进而求出AC的距离，根据AC＝2BC，可求出BC的长度，再根据等量关系求解即可．
【解题过程】
解：（1）|a+5|+（c﹣7）2＝0，
∵|a+5|≥0且（c﹣7）2≥0，
∴a＝﹣5，c＝7．
故答案为：﹣5，7．
（2）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
∴AB＝4+t，
点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝8+5t，
故答案为：4+t，8+5t．
5AB﹣BC＝5（4+t）﹣（8+5t）＝12．
∴5AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而变化．
（3）当点B在AC之间运动时，
t＝3此时点A所表示的数为﹣（5+3×1）＝﹣8，
点C所表示的数为7+3×5＝22，
∴AC＝30，
∵AC＝2BC，
∴BC＝15，
设B点的运动速度为x，
∴|BC|＝|23﹣3x|＝15，
∴x或，
∴点B的运动速度为每秒或个单位．
16．（2021春•二道区期末）如图①，点O为数轴原点，OA＝3，正方形ABCD的边长为6，点P从点O出发，沿射线OA方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，回答下列问题．
（1）点A表示的数为 ，点D表示的数为 ．
（2）t秒后点P对应的数为 （用含t的式子表示）．
（3）当PD＝2时，求t的值．
（4）如图②，在点P运动过程中，作线段PE＝3，点E在点P右侧，以PE为边向上作正方形PEFG，当正方形PEFG与正方形ABCD重叠面积为6时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据线段OA的长和正方形的边长可以求解．
（2）根据P点的运动速度与运动时间得出运动路程，对应数数轴得出结论．
（3）根据运动过程P点处于不同位置进行分类讨论．
（4）根据P点运动确定正方形的位置再去讨论重合面积为6时的t值．
【解题过程】
解：（1）∵OA＝3，且O为数轴原点，在O的右侧，
∴A表示的数为3，
∵正方形的边长为6，
∴OD＝6+3＝9，
∴D表示的数为9．
故答案是3，9；
（2）∵P点从O点开始运动且速度为每秒2个单位长度
∴OP＝2t，
故答案是2t．
（3）∵OP＝2t，OD＝9，
∴①当P点在D点左侧时，
9﹣2t＝2，
解得t＝3.5；
②当P点在D点右侧时，
2t﹣9＝2，
解得t＝5.5．
答：当PD＝2时，t的值是3.5或5.5．
（4）由题意得：
①当E点在D点左侧时，AE＝2t，
∴2t×3＝6，
解得t＝1；
②当E点在D点右侧时，
（9﹣2t）×3＝6，
解得：t＝3.5．
答：当正方形PEFG与正方形ABCD重叠面积为6时，t的值是1或3.5．
17．（2021秋•长沙期末）如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝ ；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝ ；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α﹣β|＝45°，请用t的式子表示α、β并直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义进行计算便可；
（2）①根据∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；
②猜想：∠BCE＝2α．根据∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD计算即可；
（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题．
【解题过程】
（1）∵CF平分∠ACE，
∴∠AOF∠AOE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①∵t＝1，
∴∠ACD＝30t＝30°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝60°，
∵∠DCF＝α，
∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝30°，
故答案为：30°；
②∠BCE＝2α，
证明：∠BCE＝180°﹣（90°+30t）＝90°﹣30t
由平分知：90°﹣α＝α+30t
30t＝90°﹣2α
∴∠BCE＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α；
（3）α＝∠FCA﹣∠DCA（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，
β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t（90°﹣30t）＝45°+15t，
∵|α﹣β|＝45°，
∴|30t|＝45°，
∴t＝±，
∵0＜t＜3，
∴t．
18．（2021春•海珠区期中）如图，数轴上有A、B两点，AB＝12，原点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）写出A，B两点所表示的实数；
（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC＝CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．
【思路点拨】
（1）由AO＝2OB可知，将12平均分成三份，AO占两份为8，OB占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段OA上时，②点C在原点的右边，即在线段OB上时，分别根据AC＝CO+CB列式即可；
（3）①分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝4+t，分别代入2OP﹣OQ＝4列式即可求出t的值；
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为t（2﹣1）＝8，解出即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，
∴AO＝8，OB＝4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x；
②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合题意，舍）；
综上所述，C点所表示的实数是；
（3）①当0＜t＜4时，如图3，
AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，
∵2OP﹣OQ＝4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
t1.6，
当点P与点Q重合时，如图4，
2t＝12+t，t＝12，
当4＜t＜12时，如图5，
OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
t＝8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ＝4；
②当点P到达点O时，8÷2＝4，此时，OQ＝4+t＝8，即点Q所表示的实数为8，
如图6，设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t＝8，
t＝8，
此时，点P表示的实数为8×2＝16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8＝24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
19．（2021春•兴宁区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．
（1）填空：点H在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ．
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，ENEH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．
（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间距离，可求得点所对应的数；
（2）根据题意，可表达出点M和点N对应数，进而表达OM和ON的长，根据OM＝2ON，建立等式，求解即可；
（3）根据数轴上动点问题，图形动转化为点动，根据题意求解即可．
【解题过程】
解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；
点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．
故答案为：15；﹣15．
（2）∵点M是线段AD的中点，
∴点M表示的数为5﹣1412，
又∵ENEH，
∴点N在数轴上表示的数为：5（15﹣5），
由题意可得，x秒时，
点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，
点N在数轴上表示的数为：3x，
∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x|，
∵OM＝2ON，
∴|4x﹣12|＝2|3x|
∴4x﹣12＝2（3x）或4x﹣12＝﹣2（3x），
解得x或x．
故答案为：或．．
（3）当CD与EF重合时，所用时间为7秒，
由题意得：AD与EH重合的部分为4，如图1所示，

设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，
∴t12，
∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；
当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，
设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，
∴t26，
∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）；
∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13．
20．（2021春•岳麓区月考）如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合．
（1）直尺AB的长为 个单位长度．
（2）若直尺AB在数轴上移动，且满足BC＝5OA，请借助图2求此时点A对应的数；
（3）如图3，在数轴前面放一个以OC为边不透明的长方形挡板，将直尺AB放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到．
①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？
②若不透明的挡板与直尺AB同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？
【思路点拨】
（1）线段OA、AB、BC长度相等以及线段OC的长度，求出线段AB的长度；
（2）需对直尺AB与点O、点C的位置进行分类讨论，表示出线段BC与OA的长度，利用方程求点A表示的数；
（3）①由“速度×时间＝路程”，结合线段长度求A对应的数；
②利用追击问题和相遇问题，求点A表示的数．
【解题过程】
解：（1）∵将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合，
∴OC＝3OA＝3AB＝3BC，
∵O点与C点对应的数分别是0、90，
∴OC＝90，
∴AB＝OA＝BC＝30（单位长度），
故答案为：30．
（2）设点A表示的数为x，则：点B表示的数为（30+x），
①如图（1），当点A在点O左侧时，
OA＝﹣x，BC＝90﹣（30+x）＝60﹣x，
∵BC＝5OA，
∴60﹣x＝﹣5x，
解得：x＝﹣15，
∴点A表示的数为﹣15．
②如图（2），当点A在点O右侧，点B在点C左侧时，
OA＝x，BC＝60﹣x，
∵BC＝5OA，
∴60﹣x＝5x，
解得：x＝10，
∴点A表示的数为10．
③如图（3），当点B在点C右侧时，
很显然，OA＞BC，
∴BC＝5OA不成立．
综上所述：当点A对应的数为﹣15或10时，BC＝5OA．
（3）①∵向左、向右移动的速度相同，向左的时间是向右时间的2倍，
∴向左的路程是向右路程的2倍，即：OB＝2AC，
设OB＝2a，AC＝a，则：
2a+a﹣30＝90，
解得：a＝40，
∴OB＝80，
∴OA＝80﹣30＝50，
∴点A表示的数为50．
②设点A对应的数为m，点B对应的数为（m+30），则：
OA＝m，BC＝60﹣m，
（i）当左移时间大于右移时间时，
，解得：m＝46.8，
（ii）当左移时间小于右移时间时，
，解得：m＝37.2，
综上所述：点A对应的数为46.8或37.2时，右移和左移时间相差2秒．