人教版数学七下重难点培优训练专题7.4 坐标与平移（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【思路点拨】
（1）利用坐标系可得点B和点B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法；
（2）利用平移的性质进行计算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解题过程】
解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）如图，
由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，
它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b），
则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
1．（2022•重庆模拟）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣4，4）
【思路点拨】
利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标减3即可得到点A′的坐标．
【解题过程】
解：将点A（﹣1，2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，
则点A′的坐标是（﹣1+2，2﹣3），即A′（1，﹣1）．
故选：B．
2．（2021秋•定远县校级期末）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点P′（1，2），则点P的坐标为（ ）
A．（2，6）B．（﹣3，5）C．（﹣3，1）D．（5，﹣1）
【思路点拨】
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加即可得解．
【解题过程】
解：由题意知点P的坐标为（1+4，2﹣3），即（5，﹣1），
故选：D．
3．（2021春•禹城市期末）△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（4，3），C（0，2），将△ABC平移到了△A′B′C′，其中A′（﹣1，3），则C′点的坐标为（ ）
A．（﹣3，6）B．（2，﹣1）C．（﹣3，4）D．（2，5）
【思路点拨】
直接利用坐标与图形的性质得出对应点坐标变化规律，进而得出答案．
【解题过程】
解：∵△ABC顶点的A的坐标为A（2，1），将△ABC平移到了△A'B'C'，其中A'（﹣1，3），
∴横坐标减3，纵坐标加2，
∵C（0，2），
∴对应点C′的坐标为：（﹣3，4）．
故选：C．
4．（2021秋•阜阳月考）已知点A（1，﹣3），点B（2，﹣1），将线段AB平移至A1B1．若点A1（a，1），点B1（3，﹣b），则a﹣b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
【思路点拨】
利用平移的规律求出a，b即可解决问题．
【解题过程】
解：由题意得：a＝1+1＝2，﹣b＝﹣1+4＝3，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5，
故选：C．
5．（2021秋•任城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，平移后其中一个端点的坐标为（3，﹣1），则另一端点的坐标为（ ）
A．（1，4）B．（5，2）
C．（1，﹣4）或（5，2）D．（﹣5，2）或（1，﹣4）
【思路点拨】
分两种情形，利用平移的规律求解即可．
【解题过程】
解：当A（﹣1，﹣1）的对应点为（3，﹣1）时，B（1，2）的对应点（5，2），
当B（1，2）的对应点为（3，﹣1）时，A（﹣1，﹣1）的对应点（1，﹣4），
故选：C．
6．（2021春•夏津县期末）在平面直角坐标系中，将点P（n﹣2，2n+4）向右平移m个单位长度后得到点的坐标为（4，6），则m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．14
【思路点拨】
根据横坐标，右移加，左移减可得点P（n﹣2，2n+4）向右平移m个单位长度可得P′（n﹣2+m，2n+4），进而得到n﹣2+m＝4，2n+4＝6，再解方程即可．
【解题过程】
解：：∵点P（n﹣2，2n+4），
∴向右平移m个单位长度可得P′（n﹣2+m，2n+4），
∵P′（4，6），
∴n﹣2+m＝4，2n+4＝6，
解得：n＝l，m＝5
故选：C．
7．（2021春•无为市月考）如图，点A1（1，1），点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4，…，按这个规律平移得到点A2021，则点A2021的横坐标为（ ）
A．22021﹣1B．22021C．22022﹣1D．22022
【思路点拨】
先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【解题过程】
解：∵点A1的横坐标为1＝21﹣1，
点A2的横坐为标3＝22﹣1，
点A3的横坐标为7＝23﹣1，
点A4的横坐标为15＝24﹣1，
…
按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n﹣1，
∴点A2021的横坐标为22021﹣1，
故答案为：22021﹣1．
故选：A．
8．（2021春•新罗区期末）在平面直角坐标系中，将A（n2，1）沿着x的正方向向右平移3+n2个单位后得到B点．有四个点M（﹣2n2，1）、N（3n2，1）、P（n2，n2+4）、Q（n2+1，1），一定在线段AB上的是（ ）
A．点MB．点QC．点PD．点N
【思路点拨】
根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【解题过程】
解：∵将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移n2+3个单位后得到B点，
∴B（2n2+3，1），
∵n2≥0，
∴2n2+3＞0，
∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位，
因为点M（﹣2n2，1）距离x轴1个单位，在点A左侧，当n＝0时，M点可以跟A点重合，点M不一定在线段AB上．
点N（3n2，1）距离x轴1个单位，沿着x的正方向向右平移2n2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．不在线段AB上，
点P（n2+2，n2+4）在点A右侧，且距离x轴n2+4个单位，不一定在线段AB上，
点Q（n2+1，1）距离x轴1个单位，是将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移1个单位后得到的，一定在线段AB上．
所以一定在线段AB上的是点Q．
故选：B．
9．（2021春•南康区期末）将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，那么点Q的坐标是 （5，0） ．
【思路点拨】
先根据向上平移横坐标不变，纵坐标相加得出Q的坐标，再根据x轴上的点纵坐标为0求出m的值，进而得到点Q的坐标．
【解题过程】
解：∵将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到Q，
∴Q的坐标为（2m+3，m﹣1），
∵Q在x轴上，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
∴点Q的坐标是（5，0）．
故答案为：（5，0）．
10．（2021春•麻城市校级月考）在△ABC内的任意一点P（a，b）经过平移后的对应点为P1（c，d），已知A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，﹣1），则c+d﹣a﹣b的值为 ﹣1 ．
【思路点拨】
由A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，﹣1），可得△ABC的平移规律为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由此得到结论．
【解题过程】
解：由A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，﹣1）知c＝a+2、d＝b﹣3，
即c﹣a＝2、d﹣b＝﹣3，
则c+d﹣a﹣b＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
11．（2021春•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形①依次平移后得到正方形②，③，④…；相应地，顶点A依次平移得到A1，A2，A3，…，其中A点坐标为（1，0），A1坐标为（0，1），则A20的坐标为 （﹣19，8） ．
【思路点拨】
求出A3，A6，A9的坐标，观察得出A3n横坐标为1﹣3n，可求出A18的坐标，从而可得结论．
【解题过程】
解：观察图形可知：A3（﹣2，1），A6（﹣5，2），A9（﹣8，3），•••，
∵﹣2＝1﹣3×1，﹣5＝1﹣3×2，﹣8＝1﹣3×3，
∴A18横坐标为：1﹣3×6＝﹣17，
∴A18（﹣17，6），
把A18向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到A20，
∴A20（﹣19，8）．
故答案为：（﹣19，8）．
12．（2021春•平原县期末）如图，第一象限内有两点P（m﹣3，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （0，2）或（﹣3，0） ．
【思路点拨】
设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【解题过程】
解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣2）＝﹣n+2，
∴n﹣n+2＝2，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣3﹣m＝﹣3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣3，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（﹣3，0）．
故答案为（0，2）或（﹣3，0）．
13．（2021春•增城区期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【思路点拨】
（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）由平移的性质可求解；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解题过程】
解：（1）如图所示：
∴点C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×53×52×35×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
14．（2021春•宜城市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标（ a+4 ， b﹣3 ）．
【思路点拨】
（1）根据A，B，C的坐标作出图形即可．
（2）根据平移变换的规律解决问题即可．
（3）利用平移规律解决问题即可．
【解题过程】
解：（1）如图，△ABC即为所求．
S△ABC＝4×52×42×52×3＝8；
（2）先向右平移4个单位，再向下平移3个单位．
（3）由题意P′（a+4，b﹣3）．
故答案为：a+4，b﹣3．
15．（2021春•樟树市期末）已知三角形ABC的顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC经过平移得到的，三角形ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P'（x+4，y+6）．
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）请写出点A'，B'的坐标；
（3）请在图中画出直角坐标系，求三角形A'B'C'的面积．
【思路点拨】
（1）由点P及其对应点P′的坐标知△ABC向右平移4格、向上平移6格得到的△A'B'C'，据此根据点的坐标的平移规律求解即可；
（2）根据（1）中P点坐标变化规律可得答案；
（3）首先建立坐标系，画出△A′B′C′，然后再利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解题过程】
解：（1）∵三角形ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P'（x+4，y+6），
∴平移后对应点的横坐标加4，纵坐标加6，
∴三角形ABC先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到△A′B′C′；
（2）A′（0，5），B′（﹣1，2）；
（3）如图，
三角形A′B′C′的面积：3×41×33×24×1＝5.5．
16．（2021春•海东市期末）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．
（1）分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）若点M（a+2，4﹣b）是点N（2a﹣3，2b﹣5）通过（1）中的平移变换得到的，求（b﹣a）2的值．
【思路点拨】
（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
（2）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入计算可得．
【解题过程】
解：（1）由图知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），
A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），
且△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A′B′C′；
（2）由（1）中的平移变换得2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝8，b＝4，
则（b﹣a）2
＝（4﹣8）2
＝（﹣4）2
＝16．
17．（2021春•硚口区月考）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，1），B（1，1），C（﹣3，3），平移线段BC得到对应线段DA（点C与点A对应）．
（1）画出线段AD，并直接写出点D的坐标；
（2）直接写出线段BC扫过的面积；
（3）求线段AD与y轴的交点E的坐标．
【思路点拨】
（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点D，A即可；
（2）线段BC扫过的面积＝四边形BCAD的面积＝四边形BFTC的面积；
（3）设E（0，m），连接EC，EB．利用面积法求解即可．
【解题过程】
解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图，线段BC扫过的面积＝四边形BCAD的面积＝四边形BFTC的面积＝1×4＝4；
（3）设E（0，m），连接EC，EB．
则有：S△CBE•EH•（xB﹣xC）4，
∵H（0，1.5），
∴4×（1.5﹣m）＝2，
∴m＝0.5，
∴E（0，0.5）．
18．（2020春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 右 平移 3 个单位长度，再向 上 平移 5 个单位长度；
②点B的坐标为 （6，3） ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）①根据平移的性质解决问题即可．
②根据点B的位置即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
（3）设P（0，m），利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；
故答案为：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案为（6，3）．
（2）如图，
（3）存在．设P（0，m），由题意|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．
19．（2021春•南昌期末）如图，点A（1，n），B（n，1），我们定义：将点A向下平移1个单位，再向右平移1个单位，同时点B向上平移1个单位，再向左平移1个单位称为一次操作，此时平移后的两点记为A1，B1，t次操作后两点记为At，Bt．
（1）直接写出A1，B1，At，Bt的坐标（用含n、t的式子表示）；
（2）以下判断正确的是 B ．
A．经过n次操作，点A，点B位置互换
B．经过（n﹣1）次操作，点A，点B位置互换
C．经过2n次操作，点A，点B位置互换
D．不管几次操作，点A，点B位置都不可能互换
（3）t为何值时，At，Bt两点位置距离最近？
【思路点拨】
（1）根据点在平面直角坐标系中的平移规律求解可得答案；
（2）由1+t＝n时t＝n﹣1，知n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，据此可得答案；
（3）分n为奇数和偶数两种情况，得出对应的方程，解之可得n关于t的式子．
【解题过程】
解：（1）A1（2，n﹣1），B1（n﹣1，2），At（1+t，n﹣t），Bt（n﹣t，1+t）；
（2）当1+t＝n时，t＝n﹣1．
此时n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，
故选：B；
（3）当n为奇数时：1+t＝n﹣t 解得t，
当n为偶数时：1+t＝n﹣t+1 解得t，
或1+t＝n﹣t﹣1 解得t．
20．（2021春•潢川县期末）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E的坐标 （﹣2，0） ；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t＝ 2 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示，写出过程）；
③当三角形PAB的面积为3.2时，求此时P点的坐标；
④P点在运动过程中，三角形PAB面积的最大值是 4 ．
【思路点拨】
（1）根据BC＝AE＝3，OA＝1，推出OE＝2，可得结论．
（2）①满足条件的点P坐标为（﹣2，2），由此可得结论．
②分两种情形：点P在线段BC上或点P在线段CD上，分别求解即可．
③首先判断满足条件的点P在线段CD上，设此时PD的长为m．构建方程求解即可．
④当点P与D重合时，△PAB的面积最大．
【解题过程】
解：（1）∵C（﹣3，2），A（1，0），
∴BC＝3，OA＝1，
∵BC＝AE＝3，
∴OE＝AE﹣AO＝2，
∴E（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
（2）①由题意当P（﹣2，2）时，满足条件，此时t＝2．
故答案为：2．
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（﹣t，2），
当点P在线段CD上时，点P的坐标（﹣3，5﹣t）．
③当点P在线段BC上时，三角形PAB的面积最大为BC×OB3×2＝3，所以三角形PAB的面积为3.2时，P点只能在线段CD上．
如图，设此时PD的长为m．
∵△PAB的面积＝四边形ABCD的面积﹣△PBC的面积﹣△PAD的面积
（3+4）×2（2﹣m）×3m×4
＝7﹣3m﹣2m
＝4m，
∴4m＝3.2
m＝1.6
此时P点的坐标是（﹣3，1.6）．
④当点P与D重合时，△PAB的面积最大，最大值为4×2＝4，
故答案为：4．