人教版数学七下重难点培优训练专题8.6 方案选择问题（压轴题）（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【思路点拨】
（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案；
（3）根据（2）中的租车方案可以计算出相应的费用，然后比较大小即可．
【解题过程】
解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：，
解得：，
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
（2）设租用甲种货车a辆，乙种货车b辆，
依题意得：3a+4b＝31，
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
（3）方案1所需租车费为：100×9+120×1＝1020（元），
方案2所需租车费为：100×5+120×4＝980（元），
方案3所需租车费为：100×1+120×7＝940（元），
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元，
答：费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元．
1．（2021春•思明区校级月考）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况：
（1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：
方案一：所有购买商品均打九折；
方案二：每购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液；
学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更省钱？省多少钱？
【思路点拨】
（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，根据总价＝单价×数量，结合两次购买的数量及总花费，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，结合两种促销方案的优惠政策，即可分别求出选择两个方案所需费用，比较并做差后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元．
（2）选择方案一所需费用为（15×100+8×60）×0.9＝1782（元），
选择方案二所需费用为15×100+8×（602）＝1660（元）．
∵1782＞1660，
∴选择方案二更省钱，
1782﹣1660＝122（元）．
答：学校选用方案二更省钱，省122元钱．
2．（2022•渝中区校级开学）巴蜀中学两江校区和鲁能校区联合准备重庆市中学生新年文艺汇演，准备参加汇演的学生共102人（其中鲁能校区人数多于两江校区人数，且鲁能校区人数不足100人），按要求准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
如果两校区分别单独购买服装，一共应付7500元．
（1）如果两校区联合起来购买服装，那么比各自单独购买服装共可以节省多少钱？
（2）两江校区和鲁能校区各有多少学生准备参加演出？
（3）如果鲁能校区有7名参加演出的同学临时接到通知将参加某大学的自主招生考试而不能参加演出，那么你认为有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
【思路点拨】
（1）若两校区联合起来购买服装，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设两江校区和鲁能校区各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，鲁能校区每套服装是70元，两江校区每套服装是80元．根据等量关系：①共102人；②两校区分别单独购买服装，一共应付7500元，列方程组即可求解；
（3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到100人，因此可以考虑买100套，计算其价钱和联合购买的价钱进行比较．
【解题过程】
解：（1）由题意，得：7500﹣102×60＝1380（元）．
即两校区联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1380元．
（2）设两江校区各有x名、鲁能校区有y名学生准备参加演出．
由题意，得：
，
解得：．
答：两江校区各有36名、鲁能校区有66名学生准备参加演出．
（3）∵鲁能校区有7人不能参加演出，
∴鲁能校区有66﹣7＝59（人）参加演出．
若两校联合购买服装，则需要70×（59+36）＝6650（元），
此时比各自购买服装可以节约59×70+36×80﹣6650＝360（元），
但如果两校联合购买100套服装，只需60×100＝6000（元），
此时又比各自购买每套50元可节约59×70+36×80﹣6000＝1010（元），
∴最省钱的购买服装方案是两校联合购买100套服装（即比实际人数多购5套）．
3．（2021春•兖州区期末）某储运公司现有货物35吨，要全部运往灾区支援灾区重建工作．计划要同时租用A、B两种型号的货车，一次运送完全部货物，且每辆车均为满载．已知在货车满载的情况下，2辆A型货车和3辆B型货车一次共运货18吨；3辆A型货车和2辆B型货车一次共运货17吨．根据以上信息回答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车各能满载货物多少吨？
（2）按计划完成本次货物运送，储运公司要同时租用A、B两种型号的货车各几辆？请求出所有的租车方案．
【思路点拨】
（1）设一辆A型车和一辆B型车分别能满载货物x吨、y吨．即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设储运公司要同时租用A、B两种型号的货车分别为m辆和n辆．根据题意得3m+4n＝35，求出m，n的正整数解即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）设一辆A型车和一辆B型车分别能满载货物x吨、y吨．
根据题意，得，
解得，
经检验，方程组的解符合题意．
答：一辆A型车能满载货物3吨，一辆B型车能满载货物4吨．
（2）设储运公司要同时租用A、B两种型号的货车分别为m辆和n辆．
根据题意，得3m+4n＝35，
∵m、n均为正整数，
∴正整数解为，，，
租车方案1：1辆A型车和8辆B型车；方案2：5辆A型车和5辆B型车；方案3：9辆A型车和2辆B型车．
4．（2021•港南区四模）甲、乙两家单位组织员工开展捐款活动，已知甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的．
（1）甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？
（2）现两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱1500元，B种防疫物资每箱1200元，若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有哪几种购买方案？（两种防疫物资均按整箱配送）
【思路点拨】
（1）设甲单位人均捐款为x元，则乙单位人均捐款为y元，由题意：甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的．列出方程组，解方程组即可；
（2）设A种物资a箱，B种物资b箱，由题意：两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱1500元，B种防疫物资每箱1200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解题过程】
解：（1）设甲单位人均捐款为x元，则乙单位人均捐款为y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲单位人均捐款为100元，乙单位人均捐款为50元；
（2）设A种物资a箱，B种物资b箱，
由题意可得1500a+1200b＝24000，
∴5a+4b＝80，
∴，
又∵购买B种物资不少于10箱，且a、b为正整数，
∴a＝8，b＝10或a＝4，b＝15．
∴有两种方案：①A种物资8箱，B种物资10箱；
②A种物资4箱，B种物资15箱．
5．（2021•霍邱县一模）某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，则需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，则需要205元．
（1）求A、B两种纪念品的购进单价；
（2）已知商店购进两种纪念品（A、B都要有）共花费450元，那么该商店购进这两种纪念品有几种可能的方案，请直接写出所有的具体购买方案．
【思路点拨】
（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，则需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，则需要205元，列出方程组即可；
（2）该商店共有2种进货方案，方案1：购进17件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进4件A种纪念品，30件B种纪念品．
【解题过程】
解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元；
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，
依题意，得：15m+13n＝450，
∴m＝30n．
∵m，n均为正整数，
∴n为15的倍数，
∴或，
∴该商店共有2种进货方案，方案1：购进17件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进4件A种纪念品，30件B种纪念品．
6．（2021•黄石模拟）学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求参加活动的同学人数．
（2）已知租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元．公司经理问：“你们准备怎样租车？”甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，这样没有空座位，不会浪费”；乙同学说：“我的方案是只租用60座的客车，因为60座的客车每个座位单价少，虽然有空位，但总体可以更省钱”，如果是你，从经济角度考虑，你会如何设计租车方案，并说明理由．
【思路点拨】
（1）设单独租用45座客车为x辆，单独租用60座客车为y辆，由题意：单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位，列出方程组，解方程组即可；
（2）先求出60座的客车合到每个座位的钱数少，再求出只租用45座的客车费用与只租用60座的客车费用以及租3辆60座的客车和1辆45座的客车费用进行比较即可得出结果．
【解题过程】
解：（1）设单独租用45座客车为x辆，单独租用60座客车为y辆，
根据题意得：，
解得：，
∴45x＝225，
答：参加活动的同学人数为225人；
（2）设计租车方案为：租3辆60座的客车和1辆45座的客车，理由如下：
∵租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元，
∴500÷45（元/人），600÷60＝10（元/人），
∵10，
∴60座的客车合到每个座位的钱数少，
只租用45座的客车，费用为：5×500＝2500（元），
只租用60座的客车，费用为：4×600＝2400（元），
又∵60×3+45＝225，且600×3+500＝2300＜2400，
∴租3辆60座的客车和1辆45座的客车时，总费用最低．
7．（2021春•朝阳县期末）小丽在某商店购买A，B两种商品若干次（每次A，B两种商品都购买），其中，前两次购买时，A，B两种商品都未打折，第三次购买时，A，B两种商品同时打折，三次购买A，B两种商品的数量和费用如下表所示：
（1）求A，B两种商品的售价；
（2）若第三次购买时，A，B两种商品的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的；
（3）在（2）的条件下，若小丽第四次购物共花去了480元，则小丽有哪几种购买方案？
【思路点拨】
（1）设A商品的售价为x元/个，B商品的售价为y元/个，根据总价＝单价×数量，结合前两次购买的数量及总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两种商品的售价；
（2）设商店是打a折出售这两种商品的，利用实际付款金额＝单价×数量×折扣率，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出第三次购物时的折扣率；
（3）设购买A商品m个，B商品n个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出小丽的购买方案．
【解题过程】
解：（1）设A商品的售价为x元/个，B商品的售价为y元/个，
依题意得：，
解得：．
答：A商品的售价为80元/个，B商品的售价为100元/个．
（2）设商店是打a折出售这两种商品的，
依题意得：（80×9+100×8）912，
解得：a＝6．
答：商店是打六折出售这两种商品的．
（3）设购买A商品m个，B商品n个，
依题意得：80×0.6m+100×0.6n＝480，
∴m＝10n．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：小丽只有一种购买方案，购买5个A商品，4个B商品．
8．（2020春•广宁县期末）某商场计划从一厂家购进若干部新型手机以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部．商场在经销中，甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部．
（1）若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案；（2）在（1）的条件下，求盈利最多的进货方案．
【思路点拨】
（1）根据题意，利用分类讨论的方法可以列出相应的二元一次方程组，然后计算即可，注意解出的结果要符合实际；
（2）根据（1）中的方案，可以分别计算出相应的盈利，然后比较大小即可解答本题．
【解题过程】
解：（1）设购进甲种型号手机x部，乙种型号手机y部，丙种型号手机z部，
当购进甲种和乙种手机时，
，
解得，
即购进甲种型号的手机30部，乙种型号的手机10部；
当购进甲种和丙种手机时，
，
解得，
即购进甲种型号的手机20部，丙种型号的手机20部；
当购进乙种和丙种手机时，
，
解得（舍去）；
由上可得，有两种进货方案：方案一，甲种型号手机购进30部，乙种型号手机购进10部；方案二，甲种型号手机购进20部，丙种型号手机购进20部；
（2）方案一盈利：200×30+100×10＝7000（元），
方案二盈利：200×20+120×20＝6400（元），
∵7000＞6400，
∴购进甲种型号手机30部，乙种型号手机10部盈利最多．
9．（2020秋•西城区期末）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．
【思路点拨】
（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
【解题过程】
解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m＜n，
依题意，得：25m+10n＝200，
∴m＝8n．
∵m，n均为正整数，
∴n为5的倍数，
∴或或，
∵m＜n，
∴不合题意舍去，
∴共2种购买方案，
方案一：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案二：购进A型车2辆，B型车15辆．
10．（2020春•南召县期中）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的．经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．
（1）试问：把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，请完成填空（余料作废）．
方法①：只裁成为0.8米的用料时，最多可裁7根；
方法②：先裁下1根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料 4 根；
方法③：先裁下2根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料1根．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同？
【思路点拨】
（1）由总数÷每份数＝分数就可以直接得出结论；
（2）设用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y＝32，4x+y＝100，由此方程构成方程组求出其解即可．
（3）设方法一裁剪m根，方法三裁剪n根6m长的钢管，建立方程组求出其解即可．
【解题过程】
解：（1）（6﹣2.5）÷0.8＝4…0.3，
因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根；
故答案为：4；
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪 y 根6m长的钢管，
由题意，得
解得：
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4 根6m长的钢管；
（3）设方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6m长的钢管，
由题意，得解得
：，
∴m+n＝28，
∵x+y＝24+4＝28，
∴m+n＝x+y，
设方法①裁剪 a 根，方法②裁剪 b 根6m长的钢管，
由题意，得解得：无意义，
∴方法①与方法③联合，所需要6m长的钢管与（2）中根数相同．
11．（2021•罗湖区模拟）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
【思路点拨】
（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购进A和B两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．
【解题过程】
解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
，
解得，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，
w＝（180﹣100）a+（250﹣150）b＝80a+100b，
∵某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，
∴100a+150b＝1000且a≥1，b≥1，
∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），
∴或或，
∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+100×6＝680，
当a＝4，b＝4时，w＝80×4+100×4＝720，
当a＝7，b＝2时，w＝80×7+100×2＝760，
由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．
12．（2021•吴兴区二模）织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
（1）求出甲、乙两种拉链的进价；
（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
【思路点拨】
（1）甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，由题意：该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，由题意：专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）求出利润是恒值，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，
由题意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，
整理得：n＝18m，
∵m、n为正整数，
∴或或或，
即有4种购买方案：
①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条；
（3）不发生变化，理由如下：
∵利润w＝0.4m+2×25%×（18m）＝9（元），
∴不同方案专卖店获利不发生变化．
13．（2021春•红谷滩区校级期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
（1）购买丙型设备 （60﹣x﹣y） 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【思路点拨】
（1）根据购买丙型设备的数量＝60﹣购买甲型设备的数量﹣购买乙型设备的数量，即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，即可得出各购进方案；
（3）根据总利润＝单台利润×销售数量，即可分别求出选择3种购进方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）购买丙型设备（60﹣x﹣y）台．
故答案为：（60﹣x﹣y）．
（2）依题意，得：1000x+800y+500（60﹣x﹣y）＝56000，
整理得：5x+3y＝260，
∴x＝52y．
又∵x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，
∴y为5的倍数，
当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；
当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2；
当y＝20时，x＝40，60﹣x﹣y＝0，不合题意，舍去．
∴共有3种购进方案，方案1：购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台；方案2：购进甲型设备46台，乙型设备10台，丙型设备4台；方案3：购进甲型设备43台，乙型设备15台，丙型设备2台．
（3）选择方案1的销售利润为260×49+190×5+120×6＝14410（元）；
选择方案2的销售利润为260×46+190×10+120×4＝14340（元）；
选择方案3的销售利润为260×43+190×15+120×2＝14270（元）．
∵14410＞14340＞14270，
∴购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台，获利最多，此时利润为14410元．
14．（2021春•下城区校级期中）小明妈妈开了一家网店，专门销售女式鞋子．一次，小明发现一张进货单上的一条信息：A款鞋的进价比B款鞋进价多40元，B款鞋的进价为每双160元．
（1）小明在销售单上记录了两天的数据如下表：
请问两种鞋的销售价分别是多少？
（2）小明妈妈说：“两款鞋的利润率相同．”结合所给的信息，判断小明妈妈的说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请给出一种调整售价的方案，使得两款鞋的利润率相同．
【思路点拨】
（1）设A款女鞋的销售价为x元/双，B款女鞋的销售价为y元/双，根据5月1日和5月2日两天的销售数量及销售总额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）分别求出两款鞋的利润率，比较后可得出妈妈的说法错误，方案一：A款女鞋的销售价增加m元，根据A款女鞋的利润率为25%，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；方案二：B款女鞋的销售价降低n元，根据B款女鞋的利润率为20%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设A款女鞋的销售价为x元/双，B款女鞋的销售价为y元/双，
依题意得：，
解得：．
答：A款女鞋的销售价为240元/双，B款女鞋的销售价为200元/双．
（2）A款女鞋的进价为160+40＝200（元/双），
A款女鞋的利润率为100%＝20%，
B款女鞋的利润率为100%＝25%．
∵20%≠25%，
∴妈妈的说法错误．
方案一：A款女鞋的销售价增加m元，
依题意得：100%＝25%，
解得：m＝10；
方案二：B款女鞋的销售价降低n元，
依题意得：100%＝20%，
解得：n＝8．
答：妈妈的说法错误，调整售价的方案为：A款女鞋的销售价增加10元或B款女鞋的销售价降低8元．
15．（2021春•鹿城区校级期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 1650 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 6 箱．（直接写出答案）
【思路点拨】
（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：20x+10y＝1100，即可求解；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
【解题过程】
解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y＝1100，
∴30x+15y＝1.5（20x+10y）＝1.5×1100＝1650（元），
故答案为：1650；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1200，
整理得：27a+20b＝1200，
∵a、b均为正整数，
∴，或，
∵a＞b，
∴a＝40，b＝6，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
16．（2021秋•牡丹区期末）面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【思路点拨】
（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次性运完消毒液19吨且恰好每辆车都载满消毒液，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用各方案所需租车费用＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，即可分别求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨．
（2）依题意得：2a+3b＝19，
∴a．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用8辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，3辆B型车；
方案3：租用2辆A型车，5辆B型车．
（3）选择方案1所需租车费用为90×8+110×1＝830（元），
选择方案2所需租车费用为90×5+110×3＝780（元），
选择方案3所需租车费用为90×2+110×5＝730（元）．
∵830＞780＞730，
∴最省钱的租车方案为：租用2辆A型车，5辆B型车，最少租车费为730元．
17．（2021春•鼓楼区校级期中）近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，小鹏汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元的工资，给每名新工人每月发5200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使熟练工的数量少于新工人，同时工厂每月支出的工资总额尽可能的少？
【思路点拨】
（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y，n的二元一次方程，结合0＜n＜5且n，y均为正整数，即可得出各招聘方案；
（3）由熟练工的数量少于新工人，可得出前三个方案符合题意，分别求出三个方案工厂每月支出的工资总额，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
依题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：12×（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均为正整数，
∴或或或，
∴工厂有4种新工人的招聘方案，
方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
（3）∵n＜y，
∴或或．
方案1每月支出的工资总额为10000+5200×10＝62000（元）；
方案2每月支出的工资总额为10000×2+5200×8＝61600（元）；
方案3每月支出的工资总额为10000×3+5200×6＝61200（元）．
∵62000＞61600＞61200，
∴工厂应招聘6名新工人，才能使工厂每月支出的工资总额最少．
18．（2021春•长沙期末）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
（1）请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【思路点拨】
（1）设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为22.5，对a、b的值进行讨论得两种方案即可；
（3）求出方案一利润和方案二利润，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴足球的单价为100元，跳绳的单价为20元，
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元；
（2）由题意得：80a+15b＝1800，（a＞15），
当全买足球时，可买足球的数量为：22.5，
∴15＜a＜22.5，
当a＝16时，b（舍去）；
当a＝17时，b（舍去）；
当a＝18时，b＝24；
当a＝19时，b（舍去）；
当a＝20时，b（舍去）；
当a＝21时，b＝8；
当a＝22时，b（舍去）；
∴有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；
方案二，购进足球21个，跳绳8根；
答：有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根；
（3）方案一利润：（100﹣80）×18+（20﹣15）×24＝480（元），
方案二利润：（100﹣80）×21+（20﹣15）×8＝460（元），
∵480元＞460元，
∴选方案一，购进足球18个，跳绳24根． 甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第一次
2
1
10
第二次
1
2
11
免洗手消毒液
84消毒液
总花费
第一次购买
40瓶
90瓶
1320
第二次购买
60瓶
120瓶
1860
购买服装的套数
1套至50套
50套至100套
100套及以上
每套服装的价格
80元
70元
60元
次数
购买A商品的数量/个
购买B商品的数量/个
购买总费用/元
第一次
6
5
980
第二次
3
7
940
第三次
9
8
912
甲型
乙型
丙型
价格（元/台）
1000
800
500
销售获利（元/台）
260
190
120
日期
A款女鞋销量
B款女鞋销量
销售总额
5月1日
12双
8双
4480元
5月2日
8双
10双
3920元
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金额（元）
方案一
20
10
1100
方案二
30
15