人教版数学七下重难点培优训练专题9.5 一元一次不等式组的应用（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小打算购买10条口罩生产线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线、经调查：购买3条甲型口罩生产线比购买2条乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩7万只，若每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，为了节约资金，请你为该服装厂设计一种最省钱的购买方案．
【思路点拨】
（1）设甲型口罩生产线的单价为x万元，乙型口罩生产线的单价为y万元，根据“购买3条甲型口罩生产线比购买2条乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）设购买m条甲型口罩生产线，则购买（10﹣m）条乙型口罩生产线，根据“每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案，再利用总价＝单价×数量，可求出各方案所需购买资金，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲型口罩生产线的单价为x万元，乙型口罩生产线的单价为y万元，
依题意得：，
解得：．
答：甲型口罩生产线的单价为10万元，乙型口罩生产线的单价为8万元．
（2）设购买m条甲型口罩生产线，则购买（10﹣m）条乙型口罩生产线，
依题意得：，
解得：m≤5．
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴该服装厂共有3种购买方案，
方案1：购买3条甲型口罩生产线，7条乙型口罩生产线，共需购买资金10×3+8×7＝86（万元）；
方案2：购买4条甲型口罩生产线，6条乙型口罩生产线，共需购买资金10×4+8×6＝88（万元）；
方案3：购买5条甲型口罩生产线，5条乙型口罩生产线，共需购买资金10×5+8×5＝90（万元）．
又∵86＜88＜90，
∴当该服装厂购买3条甲型口罩生产线，7条乙型口罩生产线时最省钱．
1．（2021春•仙居县期末）小敏妈妈为小敏爸爸购买了一双运动鞋．小敏、哥哥和爸爸都想知道这双鞋的价格，妈妈让他们猜．爸爸说“至少300元．”哥哥说：“至多260元．”小敏说：“至多200元．”妈妈说：“你们三个人都说错了．”则这双鞋的价格x（元）所在的范围是（ ）
A．200＜x＜260B．260＜x＜300C．200≤x≤260D．260≤x≤300
【思路点拨】
由爸爸、哥哥和小敏的说法都不对，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解题过程】
解：依题意得：，
∴260＜x＜300．
故选：B．
2．（2021春•永昌县期末）六一儿童节到了要把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分3个，则剩8个；如果每人分5个，那么最后一个小朋友就分不到3个，则共有多少个小朋友（ ）
A．4B．5C．6D．7
【思路点拨】
首先设共有x个小朋友，则苹果有（3x+8）个，由关键语句“如果每人分5个，那么最后一个小朋友就分不到3个”可得不等式0≤（3x+8）﹣5（x﹣1）＜3，解不等式，取整数解即可．
【解题过程】
解：设共有x个小朋友，则苹果有（3x+8）个，由题意得：
0≤（3x+8）﹣5（x﹣1）＜3，
解得：5＜x≤6，
∵x为正整数，
∴x＝6．
故选：C．
3．（2020春•昌黎县期末）某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，有几种运输方案（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【思路点拨】
当这列货车挂50节货箱时，设应安排x节A型货厢，则安排（50﹣x）节B型货厢，根据50节货厢一次可运甲种货物不少于1530吨，乙种货物不少于1150吨，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出此种情况下运输方案的个数；当这列货车挂49节货箱时，设应安排y节A型货厢，则安排（49﹣y）节B型货厢，根据49节货厢一次可运甲种货物不少于1530吨，乙种货物不少于1150吨，即可得出关于y的一元一次不等式组，由该不等式组无解可得出总共只有3种运输方案．
【解题过程】
解：当这列货车挂50节货箱时，设应安排x节A型货厢，则安排（50﹣x）节B型货厢，
依题意，得：，
解得：28≤x≤30．
∵x为正整数，
∴x可以取28，29，30，
∴此种情况下有3种运输方案；
当这列货车挂49节货箱时，设应安排y节A型货厢，则安排（49﹣y）节B型货厢，
依题意得：，
∵该不等式组无解，
∴总共只有3种运输方案．
故选：C．
4．（2021春•阳新县期末）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生 158 人．
【思路点拨】
设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生（4x+78）人，根据“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出x的值，再将其代入（4x+78）中即可求出结论．
【解题过程】
解：设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生（4x+78）人，
依题意得：，
解得：x．
又∵x为正整数，
∴x＝20，
∴4x+78＝4×20+78＝80+78＝158．
故答案为：158．
5．（2021秋•沙坪坝区校级期末）一年一度的南开校运会即将开幕，“向阳”班的全体同学正在操场上进行开幕式的队列编排．如果安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，则剩下的同学正好可以编排成每行5人的长方形方阵．如果不举班旗，只由班主任兼数学老师李老师举班牌，并再邀请语文，英语和物理三科的任课老师一起参加，则这三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵．已知“向阳”班的学生人数超过40人但又不多于80人，则“向阳”班共有学生 63 名．
【思路点拨】
设安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，剩下的同学正好可以编排成每行5人共x列的长方形方阵，根据“向阳”班的学生人数超过40人但又不多于80人，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵，可得出（5x+3+3）是6的倍数，进而可得出x是6的倍数，结合x的取值范围可得出x的值，再将其代入（5x+3）中即可得出“向阳”班的学生人数．
【解题过程】
解：设安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，剩下的同学正好可以编排成每行5人共x列的长方形方阵，
依题意得：，
解得：x．
又∵三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵，
∴（5x+3+3）是6的倍数，
∴5x是6的倍数，
∴x是6的倍数，
∴x＝12，
∴5x+3＝5×12+3＝63．
故答案为：63．
6．（2021•铜梁区校级模拟）“九月已经霜，蟹肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐．某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，这次决定与某电商合作，将这批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹12只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为 14 元．
【思路点拨】
可设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹的单价为a元，B类蟹的单价为b元，C类蟹的单价为c元，根据等量关系和不等关系：2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格；6只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹12只的价格；A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4；A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于60元，列出方程和不等式求解即可．
【解题过程】
解：设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹的单价为a元，B类蟹的单价为b元，C类蟹的单价为c元，依题意有
，
则ax，bx，cx，
则40xxx≤60，
解得x，
∵价格都为整数，
∴x是7的倍数，
∴x＝14．
故第一批大闸蟹每只价格为14元．
故答案为：14．
7．（2021•沙坪坝区校级开学）我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼 41 对．
【思路点拨】
根据题意，可以设最初购进灯笼x对，则购进“福”字贴画为5x件，留下的35件物品有a对灯笼，有（35﹣2a）件“福”字，然后再根据题意题意，即可列出相应的不等式组，从而可以求得最初购进灯笼多少对．
【解题过程】
解：设最初购进灯笼x对，则购进“福”字贴画为5x件，留下的35件物品有a对灯笼，有（35﹣2a）件“福”字，
∵某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，
∴250＜2x+5x≤300，
解得35x≤42，
∵x为整数，
∴36≤x≤42，
灯笼和“福”字的总进价为：50x+4×5x＝70x（元），
每对灯笼的售价为：50×（1+40%）＝70（元），“福”字的单价是：4×（1）＝7（元/个），
总的售价为：70（x﹣a）+7×[5x﹣（35﹣2a）]＝（105x﹣56a﹣245）（元），
∵最后商店经过计算总利润率为20%，
∴（105x﹣56a﹣245）﹣70x＝70x×20%，
解得xa，
∵36≤x≤42，
∴36a42，
解得9a≤11，
∵a为整数，
∴10≤a≤11，
当a＝10时，x＝38（舍去）；
当a＝11时，x＝41，
由上可得，最初购进灯笼41对，
故答案为：41．
8．（2021秋•覃塘区期末）李明和小华的年龄相差8岁．今年，李明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华的年龄比李明年龄的大．试问：李明和小华今年各多少岁？
【思路点拨】
设今年李明x岁，则今年小华（x﹣8）岁，可得：，即得14＜x＜16，由x为正整数，即得李明和小华今年分别是15岁、7岁．
【解题过程】
解：设今年李明x岁，则今年小华（x﹣8）岁，
根据题意，得：，
解不等式组，得：14＜x＜16，
∵x为正整数，
∴x＝15，x﹣8＝15﹣8＝7，
答：李明和小华今年分别是15岁、7岁．
9．（2021春•南充期末）某学校准备购买A，B两种小树共200棵对校园进行绿化，已知A种小树每棵50元，B种小树每棵60元．为了保证绿化效果，学校预计购树总费用不少于11500元，且A种小树棵数不少于B种小树棵数的30%，求可能的购买方案．
【思路点拨】
设购买A种小树x棵，则购买B种小树（200﹣x）棵，根据“学校预计购树总费用不少于11500元，且A种小树棵数不少于B种小树棵数的30%”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案．
【解题过程】
解：设购买A种小树x棵，则购买B种小树（200﹣x）棵，
依题意得：，
解得：46x≤50．
又∵x为正整数，
∴x可以为47，48，49，50，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买A种小树47棵，B种小树153棵；
方案2：购买A种小树48棵，B种小树152棵；
方案3：购买A种小树49棵，B种小树151棵；
方案4：购买A种小树50棵，B种小树150棵．
10．（2021春•汤阴县期末）某校计划安排七年级全体师生参观红旗渠风景区，现有36座和48座两种客车（不包括驾驶员座位）供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能比租36座的客车少租1辆，且有1辆车没有坐满，但超过了30人，该校七年级共有师生多少人？
【思路点拨】
设需租用36座客车x辆，则该校七年级共有师生36x人，根据“若只租用48座客车，则能比租36座的客车少租1辆，且有1辆车没有坐满，但超过了30人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可确定x的值，再将其代入36x中即可求出该校七年级共有师生人数．
【解题过程】
解：设需租用36座客车x辆，则该校七年级共有师生36x人，
依题意得：，
解得：4＜x．
又∵x为整数，
∴x＝5，
∴36x＝36×5＝180．
答：该校七年级共有师生180人．
11．（2021秋•北仑区期末）桌游“剧本杀”已经成为了年轻人的新的娱乐方式，小帅计划开设一家剧本杀门店，计划建造A，B两类桌游房间共10个．两类桌游房的占地面积，容纳玩家数以及造价如下表：
已知门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏．
（1）若要满足门店要求，则需建造A，B两类房间各几个？写出所有建造方案．
（2）具体计算判断哪种建造方案最省钱？
【思路点拨】
（1）根据门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏，可以列出相应的不等式组，然后即可得到A类房间数量的取值范围，然后根据房间数为整数，即可写出相应的建造方案；
（2）根据（1）中的结果可以分别计算出三种方案的建造费用，然后比较大小即可．
【解题过程】
解：（1）设建造A类桌游房间a间，则建造B类桌游房间（10﹣a）间，
∵门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏，
∴，
解得7≤a≤9，
∵a为整数，
∴a＝7，8，9，
∴有三种方案，
方案一：建造A类桌游房间7间，建造B类桌游房间3间；
方案二：建造A类桌游房间8间，建造B类桌游房间2间；
方案三：建造A类桌游房间9间，建造B类桌游房间1间；
（2）方案一的建造费用为：7×2+3×3＝14+9＝23（万元）；
方案二的建造费用为：8×2+2×3＝16+6＝22（万元）；
方案三的建造费用为：9×2+1×3＝18+3＝21（万元）；
∵23＞22＞21，
∴方案三最省钱，
答：方案三：建造A类桌游房间9间，建造B类桌游房间1间最省钱．
12．（2021秋•襄都区校级期末）为了落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫外线消毒灯和体温检测仪．已知购买1台紫外线消毒灯和2个体温检测仪要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700元．
（1）求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价各为多少元；
（2）根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和体温检测仪共计75件，总费用不超过38500元，且不少于37500元，该校共有几种购买方案？
【思路点拨】
（1）设紫外线消毒灯的单价为x元，体温检测仪的单价为y元，由题意：购买1台紫外线消毒灯和2个体温检测仪要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买紫外线消毒灯m台，则购买体温检测仪（75﹣m）个，由题意：总费用不超过38500元，且不少于37500元，列出一元一次不等式组，解不等式组，求出正整数解，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设紫外线消毒灯的单价为x元，体温检测仪的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：紫外线消毒灯的单价为650元，体温检测仪的单价为400元；
（2）设购买紫外线消毒灯m台，则购买体温检测仪（75﹣m）个，
由题意得：，
解得：30≤m≤34，
∵m为正整数，
∴m＝30或m＝31或m＝32或m＝33或m＝34，
∴该校有5种购买方案．
13．（2021•牡丹区三模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节与2021菏泽市文化旅游发展大会将于4月9日在菏泽会盟台会议中心隆重开幕．为配合菏泽“牡丹花会”，花农孙老伯培育了甲、乙两种牡丹各若干株．如果培育甲、乙两种牡丹各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种牡丹3株和乙种牡丹2株，那么共需成本1200元．
（1）求甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为多少元？
（2）市场调查显示，甲种牡丹的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．孙老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种牡丹，并使总利润不少于18000元．若孙老伯培育的乙种花木的数量比甲种牡丹的数量的3倍少10株，请问孙老伯应该培育甲、乙两种牡丹各多少株？
【思路点拨】
（1）设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为x元、y元，根据每株成本乘以株数，把两种牡丹的成本相加得总成本，列二元一次方程组求解即可；
（2）设孙老伯培育甲种牡丹z株，则孙老伯培育乙种牡丹株（3z﹣10）株，然后根据题意列出不等式组即可求解．
【解题过程】
解：（1）设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为x元、y元．
根据题意，得，
解之得，
答：甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为200元和300元．
（2）设孙老伯培育甲种牡丹z株，则孙老伯培育乙种牡丹株（3z﹣10）株．
根据题意，得，
解之得，
∴z＝29或30．
答：孙老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株、乙种花木80株．
14．（2021春•鄂州期末）某商店计划购买甲、乙两种商品．若购买8件甲商品和5件乙商品共需用220元；若购买4件甲商品和6件乙商品共需用152元．
（1）求每件甲商品和每件乙商品进货价格各多少元；
（2）若该商店甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于1616元，同时每件甲商品按进价提高10%后的价格销售，每件乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于1850元，问该商店共有几种进货方案？
【思路点拨】
（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，根据“若购买8件甲商品和5件乙商品共需用220元；若购买4件甲商品和6件乙商品共需用152元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，根据“两种商品的进货总价不高于1616元，且全部售完后的销售总额不低于1850元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．
【解题过程】
解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件甲商品的进货价为20元，每件乙商品的进货价为12元．
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，
依题意得：，
解得：50≤m≤52．
又∵m为正整数，
∴m可以取50，51，52，
∴共有3种进货方案，
方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；
方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；
方案3：购进52件甲商品，48件乙商品．
15．（2021秋•西湖区校级期中）某五金商店购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，已知160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
【思路点拨】
（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，根据“每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个甲种零件、每个乙种零件的进价；
（2）设该五金商店购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，根据“购进两种零件的总数量不超过95个，且销售两种零件的总利润超过371元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．
【解题过程】
解：（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．
（2）设该五金商店购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，
依题意得：，
解得：23＜m≤25．
又∵m为正整数，
∴m可以为24，25，
∴该五金商店共有2种进货方案，
方案1：购进甲种零件67个，乙种零件24个；
方案2：购进甲种零件70个，乙种零件25个．
16．（2021春•新兴县校级期末）基金会计划购买A、B两种纪念册共50册，已知B种纪念册的单价比A种的单价少10元，买3册A种纪念册与买4册B种纪念册的总费用为310元．
（1）求A、B两种纪念册的单价分别是多少元？
（2）如果购买的A种纪念册的数量要大于B种纪念册数量的，但又不大于B种纪念册数量的，设购买A种纪念册m册，有多少种不同的购买方案？
【思路点拨】
（1）设A种纪念册的单价为x元，B种纪念册的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合“B种纪念册的单价比A种的单价少10元，买3册A种纪念册与买4册B种纪念册的总费用为310元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由基金会计划购买A，B两种纪念册共50册及购买A种纪念册m册，可得出购买B种纪念册（50﹣m）册，根据“购买的A种纪念册的数量要大于B种纪念册数量的，但又不大于B种纪念册数量的”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解题过程】
解：（1）设A种纪念册的单价为x元，B种纪念册的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种纪念册的单价为50元，B种纪念册的单价为40元．
（2）∵基金会计划购买A、B两种纪念册共50册，且购买A种纪念册m册，
∴购买B种纪念册（50﹣m）册．
依题意得：，
解得：m．
又∵m为正整数，
∴m可以为15，16，17，18，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买A种纪念册15册，B种纪念册35册；
方案2：购买A种纪念册16册，B种纪念册34册；
方案3：购买A种纪念册17册，B种纪念册33册；
方案4：购买A种纪念册18册，B种纪念册32册．
17．（2022•任城区一模）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件50元，乙种奖品每件32元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了1284元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买甲种奖品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过1200元，那么该公司共有几种不同的购买方案？哪种方案花费最少？最少花费是多少元？
【思路点拨】
（1）设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，利用总价＝单价×数量，结合购买甲、乙两种奖品30件共花费了1284元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（30﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合“购买甲种奖品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过1200元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，利用总价＝单价×数量，可求出各方案的花费，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
依题意得：，
解得：．
答：购买甲种奖品18件，乙种奖品12件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（30﹣m）件，
依题意得：，
解得：10＜m．
又∵m为正整数，
∴m可以为11，12，13，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购买甲种奖品11件，乙种奖品19件，总花费为50×11+32×19＝1158（元）；
方案2：购买甲种奖品12件，乙种奖品18件，总花费为50×12+32×18＝1176（元）；
方案3：购买甲种奖品13件，乙种奖品17件，总花费为50×13+32×17＝1194（元）．
∵1158＜1176＜1194，
∴方案1花费最少，最少花费是1158元．
18．（2021春•随县期末）实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知4台A型和2台B型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
【思路点拨】
（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“4台A型和2台B型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机，根据“12台挖掘机同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调配方案．
【解题过程】
解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，
依题意得：，
解得：．
答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米．
（2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机，
依题意得：，
解得：6≤m≤9．
又∵m为正整数，
∴m可以为6，7，8，9，
∴施工时共有4种调配方案，
方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；
方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；
方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；
方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机．
19．（2021秋•新田县期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【思路点拨】
（1）根据2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，可以列出相应的不等式组，然后根据辆数为整数和租用A型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
【解题过程】
解：（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆，
由题意可得，，
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a＝6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
20．（2021春•潜山市期末）某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮）．请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种遮阳帽超过5顶，赠送1顶相同的遮阳帽，该网店这次所进购遮阳帽全部售出，共赠送了3顶遮阳帽，获利710元，直接写出该网店甲、乙两种遮阳帽各赠送几顶．
【思路点拨】
（1）设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元，根据“甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽（100﹣m）顶，根据“该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；
（3）设赠送甲种遮阳帽a顶，乙种遮阳帽（3﹣a）顶，分选择三种进货方案考虑，利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货成本，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，结合a为整数即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元．
（2）设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽（100﹣m）顶，
依题意得：，
解得：57＜m≤60．
又∵m为整数，
∴m可以为58，59，60，
∴该网店共有3种进货方案，
方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；
方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；
方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶．
（3）设赠送甲种遮阳帽a顶，乙种遮阳帽（3﹣a）顶．
①购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶时，40（58﹣a）+20[42﹣（3﹣a）]﹣30×58﹣15×42＝710，
解得：a＝1，
∴3﹣a＝3﹣1＝2；
②购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶时，40（59﹣a）+20[41﹣（3﹣a）]﹣30×59﹣15×41＝710，
解得：a，
又∵a为整数，
∴a不符合题意，舍去；
③购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶时，40（60﹣a）+20[40﹣（3﹣a）]﹣30×60﹣15×40＝710，
解得：a，
又∵a为整数，
∴a不符合题意，舍去．
综上所述，赠送甲种遮阳帽1顶，乙种遮阳帽2顶．类型
占地面积（平方米/间）
可容纳玩家数（人/间）
造价（万元/间）
A
15
6
2
B
20
10
3