人教版数学七下重难点培优训练专题11.3 期中复习解答压轴题专题（2份，原卷版+解析版）

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（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解题过程】
解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
2．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【思路点拨】
（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF∠AOC或∠EOF＝180°∠AOC．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝（90x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90x）°x°，
即∠EOF∠AOC；
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝（90x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90x）°＝（180x）°，
即∠EOF＝180°x＝180°∠AOC．
综上所述：∠EOF∠AOC或∠EOF＝180°∠AOC；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOEBOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
3．（2022春•余杭区月考）如图，直线BC∥OA，∠C＝∠OAB＝108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）OC与AB是否平行？请说明理由．
（2）求∠EOB的度数．
（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由平行线的性质，通过等量代换证明∠COA+∠OAB＝180°，即可证明OC∥AB；
（2）先证明∠EOB∠AOC，再由BC∥OA求∠COA的度数，进而求得∠EOB的度数；
（3）设∠OEC＝∠OBA＝x，则∠OEB＝180°﹣x，∠OBC＝72°﹣x，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解题过程】
解：（1）OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠COA+∠C＝180°，
∵∠C＝∠OAB，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴OC∥AB；
（2）∵OE平分∠COF，
∴∠EOF∠COF，
∵∠FOB＝∠AOB∠FOA，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠COF∠FOA（∠COF+∠FOA）∠COA；
∵BC∥OA，
∴∠COA＝180°−∠C＝180°−108°＝72°，
∴∠EOB72°＝36°；
（3）存在∠OEC＝∠OBA，理由如下：
设∠OEC＝∠OBA＝x，则∠OEB＝180°﹣x，∠OBC＝72°﹣x，
在△OBE中∠OEB+∠OBC+∠EOB＝180°得180﹣x+72﹣x+36＝180，
求得x＝54°
则∠OEC＝54°．
4．（2022•南召县开学）如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）当∠A＝60°时，求∠CBD的度数．请说明理由；
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，设∠A＝α，用含α的式子表示∠CBD的度数为 ；
（3）某同学利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）由平行线的性质可得∠A+∠ABN＝180°，从而可求得∠ABN＝120°，结合角平分线即可求得∠CBD的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠CBP∠ABP，∠DBP∠PBN，从而得到∠CBD∠ABN，再由平行线性质得∠A+∠ABN＝180°，从而可求解；
（3）由角平分线的定义得∠PBN＝2∠NBD，结合平行线的性质得∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，即可得解．
【解题过程】
解：（1）∠A＝60°时，∠CBD＝60°，理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP∠ABP∠PBN∠ABN＝60°；
（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP∠ABP∠PBN∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
∴∠CBD；
故答案为：；
（3）∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
5．（2022春•鹿邑县月考）如图①，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使得∠PKG＝2∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
【思路点拨】
（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；
（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH；
（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．
【解题过程】
（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD＝90°），
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵GH⊥EG，
∴∠KPG＝90°﹣PKG＝90°﹣2∠HPK，
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK，
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK∠EPK＝45°+∠HPK，
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．
答：∠HPQ的度数为45°．
6．（2021秋•雁峰区校级期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．
（1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由；
（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数；
（3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数．
【思路点拨】
（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与∠D相等的角；
（2）根据∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，可得∠FCD＝65°，再根据∠BCF＝90°，即可得到∠BCD＝65°+90°＝155°；
（3）分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到∠BAF的度数为60°或120°．
【解题过程】
解：（1）与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCG，
∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝∠DCG，
∴∠D＝∠ECF，
∵AB∥DC，
∴∠DCG＝∠B，
∴∠B＝∠D，
∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B；
（2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝65°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠BCD＝65°+90°＝155°；
（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝25°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠B＝25°，AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°．
综上所述，∠BAF的度数为25°或155°．
7．（2022春•虞城县月考）如图1，点E在射线BA、DC之间，且AB∥DC．
（1）求证：∠DEB+∠ABE＝180°+∠CDE；
（2）如图2，若点F是射线BA上的一点，且∠BEF＝∠BFE，EG平分∠DEB交射线BA于点G，∠D＝30°，求∠FEG的度数．
【思路点拨】
（1）过点E作EF∥DC，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点E作EH∥DC，根据平行线的性质及角的和差并结合（1）求解即可．
【解题过程】
（1）证明：如图1，过点E作EF∥DC，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵AB∥DC，EF∥DC，
∴EF∥AB，
∴∠FEB+∠ABE＝180°，
∵∠FEB＝∠DEB﹣∠DEF＝∠DEB﹣∠CDE，
∴∠DEB+∠ABE﹣∠CDE＝180°，
即∠DEB+∠ABE＝180°+∠CDE；
（2）解：如图2，过点E作EH∥DC，
∴∠DEH＝∠D＝30°，
∵AB∥DC，EH∥DC，
∴EH∥AB∥DC，
∴∠HEB+∠ABE＝180°，∠HEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠HEF，
∴∠BEF∠HEB（180°﹣∠ABE）＝90°∠ABE，
由（1）知，∠DEB+∠ABE＝180°+∠CDE，
∵∠D＝30°，
∴∠DEB+∠ABE＝180°+∠CDE＝180°+30°＝210°，
∵EG平分∠DEB，
∴∠BEG∠DEB（210°﹣∠ABE）＝105°∠ABE，
∴∠FEG＝∠BEG﹣∠BEF＝105°∠ABE﹣（90°∠ABE）＝15°．
8．（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ 180° ；
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ 360° ，请你说明理由；
（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ 540° ；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数．
【思路点拨】
（1）①根据两直线平行，同旁内角互补即可得∠A1+∠A2；如图②过A2作PA2∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；
（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；
（3）根据平行线的性质、角平分线的定义及四边形内角和求解即可．
【解题过程】
解：（1）如图①，根据MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，
故答案为：180°；
如图②，过A2作PA2∥MA1，
∵MA1∥NA3，
∴PA2∥MA1∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°，
故答案为：360°；
（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，
∵MA1∥NA3，
∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；
故答案为：540°；
（3）如图④，∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝130°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，
∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF∠ABE，∠EDF∠CDE，
∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，
∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）（∠ABE+∠CDE）＝360°﹣130°230°＝115°．
9．（2022春•青羊区校级月考）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【思路点拨】
（1）过点E作EM∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NF∥AB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GM∥AB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（4）通过以上3个问题，发现总结规律．
【解题过程】
解：（1）如图①，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1+∠3＝∠NEM＝∠MEF，
即∠1+∠3＝∠2；
（2）如图②，过点F作NF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1+∠EFN＝∠2，
∴∠1+∠EFN+∠NFH＝∠2+∠4，
即∠1+∠3＝∠2+∠4；
（3）如图③，过点G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1+∠3＝∠2+∠FGM，
∴∠1+∠3+∠5＝∠2+∠FGM+∠MGN，
即∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4；
（4）通过以上3个问题，发现如下规律：两平行线内的角，向左方向开口的角度数的和等于向右开口的角度数的和．
10．（2022春•雨花区校级月考）平行直线AB与CD被直线MN所截．
（1）如图1，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，若∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，求∠PEQ的值；
（2）如图1，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ、PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ．若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
【思路点拨】
（1）过点E作EM∥AB，根据平行线的性质求解即可；
（2）作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠PEQ+2∠PFQ＝360°；
（3）如图2中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）如图1，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠BPE+∠PEM＝180°，∠QEM＝∠EQC，
∵∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，
∴∠PEM＝180°﹣160°＝20°，∠QEM＝30°，
∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝50°；
（2）（1）结论：如图1中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH∥AB，
∵AB∥CD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同理可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，
∴∠BPE＝2∠BPF，∠DQE＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°；
（3）如图2中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x，∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ∥PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
11．（2021秋•东营期末）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【解题过程】
解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，
即∠EPF＝90°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下：
如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠AEP，
∴∠HGF（∠EPF+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（∠EPF+∠AEP）∠AEP∠EPF，
∵∠EPF＝60°，
∴∠EGF＝30°．
12．（2021秋•万州区期末）如图1，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间．
（1）若∠AEO＝40°，∠CFO＝60°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AEO＝α，∠CFO＝β，直接写出∠EOF的度数为 α+β ；
（3）如图2，∠BEO、∠DFO的角平分线交于点M，∠EOF的角平分线交EM于点N，试探索∠NOF、∠NMF之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）过O点向右侧作OG∥AB，可得∠EOG＝40°，由平行线的判定与性质可求解∠GOF＝60°，进而可求解∠EOF的度数；
（2）过O点向右侧作OH∥AB，按照（1）的做法可求解；
（3）设∠AEO＝a°，∠CFO＝b°，结合（2）的结论及角平分线的定义可求∠NOF，由角平分线的定义及角的和差可求解∠NMF＝180°（a+b），进而可求解∠NOF、∠NMF之间的数量关系．
【解题过程】
解：（1）过O点向右侧作OG∥AB，
∴∠AEO＝∠EOG＝40°，
∵AB∥CD，AB∥OG，
∴CD∥OG，
∴∠GOF＝∠CFO＝60°，
∴∠EOF＝∠EOG+∠GOF＝40°+60°＝100°；
（2）过O点向右侧作OH∥AB，
∴∠AEO＝∠EOH＝α，
∵AB∥CD，AB∥OH，
∴CD∥OH，
∴∠HOF＝∠CFO＝β，
∴∠EOF＝∠EOH+∠HOF＝α+β，
故答案为：α+β；
（3）∠NOF+∠NMF＝180°．
理由：设∠AEO＝a°，∠CFO＝b°，
由（2）得∠EOF＝a+b，
∵ON平分∠EOF，
∴∠NOF，
∵∠AEO＝a，EM平分∠BEO，
∴∠BEM，
∵∠CFO＝b，FM平分∠DFO，
∴∠DFM，
∴∠NMF＝90°a+90°b＝180°（a+b）．
∴∠NOF+∠NMF＝180°．
13．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
（3）如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N∠FGN，求∠MHG的度数．
【思路点拨】
（1）如图1，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；
（2）根据角平分线的定义得到∠CHM＝∠MHG，由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，等量代换得到∠M＝∠MQG，根据平角的定义即可得到结论；
（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．
【解题过程】
（1）证明：如图1，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（2）解：∴∠M+∠HQG＝180°，
理由：∵MH是∠CHG的平分线，
∴∠CHM＝∠MHG，
由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，
∵∠MQG＝∠HGQ+∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠MQG，
∵∠MQG+∠HQG＝180°，
∴∠M+∠HQG＝180°．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGMBGM（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠M＝∠N∠FGN，
∴2α+β＝2α∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
14．（2021秋•安溪县期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ＝ ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【思路点拨】
（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【解题过程】
解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴PO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO∠ANM＝30°α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO[180°﹣（60°+α）]＝60°，
∴∠MON＝60°，
综上所述，∠MON的度数为30°α或60°．
15．（2022•武昌区模拟）已知点A和点C分别在直线MN和直线EF上，点B在直线外，∠BAN＝α，∠BCF＝β．
（1）如图1，若MN∥EF，则∠B＝ ∠ABC＝β﹣α （用α，β的式子表示，不写证明过程）；
（2）在（1）的条件下，点T在直线MN与直线EF之间，∠MAT∠BAN，∠TCB＝2∠TCE，求∠B与∠T之间的数量关系；
（3）如图2，若MN不平行于EF，直线AC平分∠MAB，且平分∠ECB，则∠B＝ （β﹣α） （用α，β的式子表示，不写证明过程）．
【思路点拨】
（1）过B作BD∥MN，由MN∥EF，知BD∥MN∥EF，即得∠BAN+∠ABD＝180°＝∠BCF+∠CBD，即α+∠ABC+∠CBD＝β+∠CBD，可得∠ABC＝β﹣α；
（2）过T作TG∥MN，由TG∥MN∥EF，得∠MAT＝∠ATG，∠GTC＝∠TCE，即知∠ATC＝∠ATG+∠GTC＝∠MAT+∠TCE，根据∠MAT∠BAN，∠TCB＝2∠TCE，有∠ATCα+（60°β）＝60°（β﹣α），故∠ATC＝60°∠ABC；
（3）由∠BAN＝α，直线AC平分∠BAM，得∠RAB∠BAM＝90°α，同理∠RCB＝90°β，即得∠B＝∠RAB﹣∠RCB（β﹣α）．
【解题过程】
解：（1）∠ABC＝β﹣α，理由如下：
过B作BD∥MN，如图：
∵MN∥EF，
∴BD∥MN∥EF，
∴∠BAN+∠ABD＝180°＝∠BCF+∠CBD，
∵∠BAN＝α，∠BCF＝β，
∴α+∠ABC+∠CBD＝β+∠CBD，
∴∠ABC＝β﹣α；
故答案为：∠ABC＝β﹣α；
（2）∠ATC＝60°∠ABC，理由如下：
过T作TG∥MN，如图：
∵MN∥EF，
∴TG∥MN∥EF，
∴∠MAT＝∠ATG，∠GTC＝∠TCE，
∴∠ATC＝∠ATG+∠GTC＝∠MAT+∠TCE，
∵∠MAT∠BAN，∠TCB＝2∠TCE，
∴∠MATα，∠TCE∠BCE（180°﹣∠BCF）（180°﹣β）＝60°β，
∴∠ATCα+（60°β）＝60°（β﹣α），
由（1）知∠ABC＝β﹣α，
∴∠ATC＝60°∠ABC；
（3）∠B（β﹣α），理由如下：
∵∠BAN＝α，
∴∠BAM＝180°﹣α，
∵直线AC平分∠BAM，
∴∠RAB∠BAM＝90°α，
同理∠RCB＝90°β，
∴∠B＝∠RAB﹣∠RCB＝（90°α）﹣（90°β）（β﹣α）．
故答案为：（β﹣α）．
16．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；
（2）过点F作FM∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y，利用垂直的定义得到x+y＝45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．
【解题过程】
（1）证明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，
∴∠AEC+∠BEM＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．
∴∠ECD+∠CME＝90°．
∴2∠ECD+2∠CME＝180°．
∵CE平分∠ACD，
∴ACD＝2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°．
∴∠A＝2∠CME．
（2）解：过点F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD．
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）
＝180°﹣140°
＝40°．
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°．
∴∠MNB＝90°﹣∠F．
同理：∠HCF＝90°﹣∠F．
∴∠MNB＝∠HCF．
∵∠ACH∠ECH，
∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y．
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD＝90°．
∴∠ECH+∠ECD＝90°．
∴2x+2y＝90°．
∴x+y＝45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．
∴∠MNB＝135°﹣∠A．
17．（2021秋•丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
【思路点拨】
（1）过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝α+β，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件根据三角形内角和定理可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE∠PMA，可得∠NQE+2∠QNE＝180°，结合三角形的内角和定理可得∠QNE＝∠NEQ，再根据平行线的性质可得∠PNE＝∠QNE，进而可得结论．
【解题过程】
解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
18．（2021春•延津县期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示．
（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①2表示的点与 0 表示的点重合；
②1表示的点与 1 表示的点重合．
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，将点A沿数轴移动4个单位长度，此时点A表示的数和a互为相反数，求a的值．
【思路点拨】
（1）根据“折叠纸面，1表示的点与﹣1表示的点重合”得出“折合点”所表示的数为0，找出的相反数即可；
（2）根据“折叠纸面，﹣1表示的点与3表示的点重合”可得“折合点”所表示的数为1，即相对应的两个数所表示的点到1所表示的点距离相等，设未知数，列方程求解即可；
（3）分两种情况进行解答，即向右移动或向左移动4个单位长度，列方程求解即可．
【解题过程】
解：由“折叠纸面，1表示的点与﹣1表示的点重合”可得“折合点”所表示的数为0，即1表示的点，与﹣1表示的点到原点0的距离相等，
所以表示的点与表示的点重合，
故答案为：；
（2）根据“折叠纸面，﹣1表示的点与3表示的点重合”可得“折合点”所表示的数为1，
①设2表示的点与x表示的点重合，则1，
解得x＝0，
故答案为：0；
②设1表示的点与y表示的点重合，则1，
解得y＝1，
故答案为：1；
（3）若将点A沿数轴向右移动4个单位长度，所得到的数为a+4，则a+a+40，解得a，
若将点A沿数轴向左移动4个单位长度，所得到的数为a﹣4，则a+a﹣40，解得a，
答：a的值为或．
19．（2021春•自贡期末）综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1 （2，2） ，P2 （﹣1，﹣2） ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
【思路点拨】
（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【解题过程】
解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：
线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．
故答案为：．
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3）
∴①HG过EF中点（1，）时，1，
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
②EH过FG中点（2，）时，2，
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；
③FH过EG的中点（0，3）时，0，3
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
20．（2021春•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A（x1，y1）与B（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点A与点B的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点A与点B的“非常距离”为|y1﹣y2|．
（1）填空：已知点A（3，6）与点B（5，2），则点A与点B的“非常距离”为 4 ；
（2）已知点C（﹣1，2），点D为y轴上的一个动点．
①若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标；
②直接写出点C与点D的“非常距离”的最小值．
【思路点拨】
（1）依照题意，分别求出|3﹣5|＝2和|6﹣2|＝4，比较大小，得出答案，
（2）点D在y轴上所以横坐标为0，|﹣1﹣0|＝1＜2，所以点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2，可得D点坐标，
（3）已知点C和点D的横坐标差的绝对值恒等于1，纵坐标差的绝对是个动点问题，取值范围和1比较，可得出最小值为1．
【解题过程】
解：（1）∵A（3，6），B（5，2），
∴|3﹣5|＝2，|6﹣2|＝4
∵2＜4，
∴点A与B点的“非常距离”为4．
故答案为：4．
（2）①∵点D在y轴上所以横坐标为0
∴|﹣1﹣0|＝1＜2，
∴点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2，
设点D的纵坐标为yD，
∴|2﹣yD|＝2，
解得yD＝0或yD＝4，
∴D点的坐标为（0，0）或（0，4），
故D点的坐标为（0，0）或（0，4）；
②最小值为1，
理由为已知点C和点D的横坐标差的绝对值恒等于1，
∴|﹣1﹣0|＝1，
设点D的纵坐标为yD，
当1≤yD≤3时，0≤|2﹣yD|≤1，可得点C与点B的“非常距离”为1，
当yD＜1或yD＞3时，|2﹣yD|＞1，可得点C与点B的“非常距离”为|2﹣yD|．
∵|2﹣yD|＞1，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为1，
故点C与点D的“非常距离”的最小值为1．
21．（2020春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；
（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；
（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．
【思路点拨】
（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，当点P在CO的延长线上时，分别求解即可．
【解题过程】
解：（1）如图一中，结论：∠CPB＝90°+∠PBA．
理由：∠CPB+∠APB＝180°，∠APB+∠PAB+∠PBA＝180°
∴∠CPB＝∠POB+∠PBA，∠POB＝90°，
∴∠CPB＝90°+∠PBA．
（2）①如图二中，当点P在线段OC上时，结论：∠DPB＝∠CDP+∠PBA．
理由：作PE∥CD．
∵AB∥CD，PE∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠CDP＝∠DPE，∠PBA＝∠EPB，
∴∠DPB＝∠DPE+∠BPE＝∠CDP+∠PBA．
②如图二①中，当点P在线段OC的延长线上时，结论：∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
理由：设BP交CD于T．
∵CD∥OB，
∴∠PTC＝∠PBA，
∵∠PTC＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
③如图二②中，当点P在CO的延长线上时，结论：∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
理由：设PD交AB于T．
∵CD∥OB，
∴∠PDC＝∠PTA，
∵∠PTA＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
综上所述，∠DPB＝∠CDP+∠PBA或∠PBA＝∠PDC+∠DPB或∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
22．（2021春•崇川区期末）【了解概念】
在平面直角坐标系xOy中，若P（a，b），Q（c，d），式子|a﹣c|+|b﹣d|的值就叫做线段PQ的“勾股距”，记作dPQ＝|a﹣c|+|b﹣d|，同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．
【理解运用】
在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（4，2），C（m，n）．
（1）线段OA的“勾股距”dOA＝ 5 ；
（2）若点C在第三象限，且dOC＝2dAB，求dAC并判断△ABC是否为“等距三角形”；
【拓展提升】
（3）若点C在x轴上，△ABC是“等距三角形”，请直接写出m的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据线段“勾股距”，由O，A两点的坐标求出线段OA的“勾股距”；
（2）现根据“勾股距”的定义求出dAB，dAC，dBC，再根据等距三角形的定义判断即可；
（3）根据“等距三角形”分三种情况讨论m的取值．
【解题过程】
解：（1）由“勾股距”的定义知：dOA＝|2﹣0|+|3﹣0|＝2+3＝5，
故答案为：5；
（2）∵dAB＝|4﹣2|+|2﹣3|＝2+1＝3，
∴2dAB＝6，
∵点C在第三象限，
∴m＜0，n＜0，
dOC＝|m﹣0|+|n﹣0|＝|m|+|n|＝﹣m﹣n＝﹣（m+n），
∵dOC＝2dAB，
∴﹣（m+n）＝6，即m+n＝﹣6，
∴dAC＝|2﹣m|+|3﹣n|＝2﹣m+3﹣n＝5﹣（m+n）＝5+6＝11，
dBC＝|4﹣m|+|2﹣m|＝4﹣m+2﹣n＝6﹣（m+n）＝6+6＝12，
∵3+11≠12，11+12≠3，12+3≠11，
∴△ABC不是为“等距三角形”；
（3）点C在x轴上时，点C（m，0），
则dAC＝|2﹣m|+3，dBC＝|4﹣m|+2，
①当m＜2时，dAC＝2﹣m+3＝5﹣m，dBC＝4﹣m+2＝6﹣m，
若△ABC是“等距三角形”，
∴5﹣m+6﹣m＝11﹣2m＝3，
解得：m＝4（不合题意），
又∵5﹣m+3＝8﹣m≠6﹣m，6﹣m+3＝9﹣m≠5﹣m，
∴△ABC不是“等距三角形”，
∴当m＜2时，△ABC不是“等距三角形”；
②当2≤m＜4时，dAC＝m﹣2+3＝m+1，dBC＝4﹣m+2＝6﹣m，
若△ABC是“等距三角形”，
则m+1+6﹣m＝7≠3，
6﹣m+3＝m+1，
解得：m＝4（不合题意），
∴当2≤m＜4时，△ABC不是“等距三角形”；
③当m≥4时，dAC＝m+1，dBC＝m﹣2，
若△ABC是“等距三角形”，
则m+1+m﹣2＝3，
解得：m＝4，
m﹣2+3＝m+1恒成立，
∴m≥4时，△ABC是“等距三角形”，
综上所述：△ABC是“等距三角形”时，m的取值范围为：m≥4．