人教版（2024）七年级上册1.4.1 有理数的乘法学案

这是一份人教版（2024）七年级上册1.4.1 有理数的乘法学案，共11页。学案主要包含了学习目标，知识要点，典型例题，知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，知识点五等内容，欢迎下载使用。
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【知识要点】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
特别说明：
(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如 - 2与 - 3的乘积，应列为( - 2)×( - 3)，不应该写成 - 2×- 3．
2. 有理数的乘法法则的推广：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
特别说明：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b + c)＝ab + ac．
特别说明：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b + c + d)＝ab + ac + ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
【知识点一】两个有理数的乘法运算
1．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）0；（2） ；（3）；（4）
【分析】
（1）0乘以任何不为0的数都等于0；
（2）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可；
（3）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可；
（4）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可．
解：（1）； （2）；
（3）； （4）．
【点拨】题目主要考查有理数的乘法法则，熟练运用乘法法则是解题关键．
举一反三.
【变式1】计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）6；（4）0；（5）；（6）
【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答．
解：（1）＝； （2）＝；
（3）＝6； （4）＝0；
（5）＝； （6）＝．
【点拨】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ．
【变式2】计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）－12；（2）；（3）－96；（4）0.36
【分析】将小数或者带分数写成假分数，再根据有理数的乘法法则进行计算，如果都是小数，直接相乘即可，注意两数相乘，同号得正，异号得负．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】本题考查了有理数的乘法，理解两数相乘结果的符号是解题的关键．
【知识点二】多个有理数的乘法运算
2.计算：
（1）； （2）
【答案】（1）5； （2）-1
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可；
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查了有理数的乘法运算，熟知运算法则是解本题的关键．
举一反三.
【变式1】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0．
解：（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
【变式2】计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）6
【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
【知识点三】有理数乘法的实际应用
3.某出租车一天上午从地出发在沿着东西向的大街营运（共完成了6单生意），规定向东为正，向西为负．行驶里程（单位：）依先后次序记录如下：
＋18，－2，＋10，－9，＋12，－15
（1）将最后一名乘客送到目的地时，出租车在相对出发地的什么位置？
（2）如果（每单生意）不超过3千米时，按起步价收费10元，超过3千米的部分，每千米收费2元，司机上午的营业额是多少元？
【答案】（1）位于出发地东边14km的位置；（2）158元
【分析】
（1）把带正负号的行驶里程各数相加即可得相对出发地的位置；
（2）根据起步费×次数+超出3千米部分的和×2进行计算即可.
解：（1）行驶里程相加得：
将最后一名乘客送到目的地，出租车位于出发地A东边14km的位置；
（2）∵每一次营运，起步价都是10元，共6次起步费用为6×10，有5次超过3千米超出的收费为（18+10+9+12+15-5×3）×2，则
，
答：司机上午的营业额是158元．
【点拨】此题主要考查有理数的计算，解题的关键是根据题意列出式子求解．
举一反三.
【变式1】规定一种新的运算；，例如，请用上述规定计算下面各式：
（1）； （2）
【答案】（1）14；（2）-16
【分析】
（1）根据进行计算即可；
（2）先计算，然后计算即可得到答案．
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，，
∴
【点拨】本题主要考查了有理数的混合计算，解题的关键在于能够理解公式．
【变式2】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【答案】（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；（2）小王第一周实际销售柚子的总量是718千克；（3）小王第一周销售柚子一共收入3590元
【分析】
（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可；
（3）用总数量乘以单价减去运费的差，即可求解．
解：（1）（千克），
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）
（千克），
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克；
（3）
（元，
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
【点拨】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算．
【知识点四】倒数
4.写出下列各数的倒数．
（1）0.25． （2）． （3）． （4）-1.25． （5）0．
【答案】（1）4（2）（3）（4）（5）0没有倒数
【分析】根据倒数的定义逐一解答即可．
解：（1）0.25的倒数是4； （2）的倒数是；
（3）的倒数是； （4）﹣1.25的倒数是；
（5）0没有倒数．
【点拨】本题考查了倒数的定义，属于基础概念题型，熟知倒数的概念是解题的关键．
举一反三.
【变式1】写出下列各数的倒数．
，，，．
【答案】的倒数是；的倒数是；的倒数是；的倒数是．
【分析】根据倒数的定义即可得．
解：因为，
所以的倒数是；
因为，
所以的倒数是；
因为，，
所以的倒数是；
因为，
所以的倒数是．
【点拨】本题考查了倒数，熟记定义是解题关键．
【变式2】已知a的绝对值等于2，b的倒数为-1，c与3互为相反数，求a+b+c的值.
【答案】-2或-6
【分析】
根据绝对值、倒数、相反数的定义即可得到a、b、c的值，然后相加即可.
解：由a的绝对值等于2，b的倒数为-1，c与3互为相反数，
得到a=±2，b=﹣1，c=﹣3，
因此，a+b+c=2+（﹣1）+（﹣3）=﹣2,
或者a+b+c=（﹣2）+（﹣1）+（﹣3）=﹣6，
因此答案为：-2或-6.
【点拨】本题考查了绝对值、倒数、相反数的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键.
【知识点五】有理数乘法运算律
5.阅读并解答问题：学习有理数的乘法后，老师南同学思考这样道题目：计算，看谁算得又快又对．
有三位同学的解法如下：
小方：原式；
小军：
；
小红：原式
．
(1)对于以上三种解法，你认为哪位同学的解法比较简单？
(2)根据上面解法对你的启示，请用你认为最合适的方法计算：．
【答案】(1)小红解法比较简单 (2)
【分析】
（1）根据题意，利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，
（2）按照小红的解法计算即可
解：（1）利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，小红解法比较简单；
.
.
.
.
.
【点拨】本题考查了有理数运算中的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键．
举一反三.
【变式1】计算：
【答案】-2
解：原式
＝6－12＋4
＝－2
【点拨】本题考查的是有理数的乘法的分配律，掌握“利用有理数的乘法的分配律进行简便运算”是解本题的关键.
【变式2】计算：．
【答案】14
【分析】先利用乘法分配律，然后根据有理数加减混合运算计算即可．
解：
．
【点拨】题目主要考查有理数的乘法与加减混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）