初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.4 有理数的乘除法1.4.2 有理数的除法导学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.4 有理数的乘除法1.4.2 有理数的除法导学案，共17页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
2. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
3. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
知识要点一、.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
特别说明：

0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4).互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
知识要点二、 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
特别说明：
（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的除法运算
1.计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）﹣4；（2）．
【分析】根据有理数除法法则，除以一个数等于乘上这个数的倒数，转化成有理数的乘法进行运算，即可得到答案．
解：（1）；
（2）．
【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】 计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）0；（5）；（6）3．
【分析】
原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除．
解：（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键．
【变式2】（1）； （2）；
（3）； （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
．
【点拨】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
【变式3】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0
【分析】
根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】本题考查了有理数的除法，熟知有理数的除法运算法则是解题的关键．
类型二、有理数加减乘除混合运算
2．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)1 (2)-27 (3)-2 (4)9
【分析】
（1）把小数化分数，同分母相加，再计算减法即可；
（2）先确定积的符号，把带分数化为假分数，计算乘法，再加法即可；
（3）先确定积的符号，把带分数互为假分数，然后化除为乘，最后计算乘法即可；
（4）利用乘法分配律简算，再计算乘法，最后加法即可．
(1)解：，
=，
=，
=1；
(2)解：，
=，
=-36+9，
=-27；
(3)解：，
=，
=-，
=-2；
(4)解：，
=，
=，
=9．
【点拨】本题考查有理数加减乘除混合运算，掌握有理数加减乘除混合运算法则，先乘除，再加减，注意括号的运用是解题关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）-1；（2）9；（3）192；（4）
【分析】
（1）把减法变加法，然后从左向右依次计算即可．
（2）根据加法交换律、加法结合律计算即可．
（3）根据乘法结合律计算即可．
（4）根据乘法分配律计算即可．
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数四则运算的运算方法、运算律及混合运算的运算顺序是解题关键 ．
【变式2】 计算
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先将带分数化为假分数，再利用有理数的乘除法法则计算即可；
（2）利用乘法分配律计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查有理数的混合计算，掌握有理数乘除法的法则以及乘法分配律是解题的关键．
【变式3】计算：
（1）． （2）．
【答案】（1）0；（2）1．
【分析】
（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解．
解：（1）原式；
（2）原式．
【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算、乘除混合运算，在进行有理数的加减混合运算时，先把减法转化为加法，再运用加法运算律计算可以简化运算；在进行有理数的乘除混合运算时，先将除法转化为乘法运算，再运用乘法运算律计算可以简化运算．
类型三、用简便方法运算
2．简便运算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】
（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可；
（2）根据有理数乘法的分配律求解即可；
（3）根据有理数乘法的交换律求解即可；
（4）根据有理数乘法的结合律求解即可．
(1)解：
；
(2)解：
；
(3)解：
；
(4)解：
．
【点拨】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】用简便方法计算：（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键．
【变式2】 能简算的要简算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）25；（2）11110；（3）；（4）10
【分析】
（1）先把小数化为分数，然后根据乘法的结合律进行计算求解即可；
（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到由此求解即可；
（3）直接根据分数的混合计算法则进行求解即可；
（4）先把小数化为分数，然后根据分数的混合计算法则进行求解即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点拨】本题主要考查了分数与小数的混合计算，分数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
类型四、巧用乘除“转化思想”解题
4、数学老师布置了一道思考题“计算：”．小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题．
小明的解答：原式的倒数为，所以．
(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由．
(2)计算：．
【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；(2)﹣
【分析】
（1）正确，利用倒数的定义判断即可；
（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
(1)解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2)解：的倒数为，
＝
＝
＝﹣8+4﹣9
＝﹣13，
则＝﹣
【点拨】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】请你认真阅读下列材料：
计算：
解法一：因为原式的倒数=
．
所以原式，
解法二：原式
．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？
（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：．
【答案】（1）解法二错误，因为除法没有分配律；（2）
【分析】
（1）根据除法没有分配律即可识别解法二错误；
（2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简算求出结果，然后求出其倒数求出原数即可．
解：（1）解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配率进行计算肯定出现错误．
（2）因为原式的倒数为
，
，
，
，
，
所以原式．
【点拨】本题考查除法的巧算，倒数，乘法分配律等知识，熟练掌握上述知识，灵活运用所学知识解决问题是关键．
【变式2】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以．
（1）请你通过计算验证小明的解法的正确性；
（2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______；
（3）请你运用小明的解法计算：．
【答案】（1）见分析；（2）这个数本身；（3）-3
【分析】
（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可；
（2）根据题意得出结论即可；
（3）仿照已知的方法计算即可．
解：（1）
∴小明的解法的正确
（2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身
（3）
∴
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】阅读下列材料：
计算：50÷（）．
解法一：原式＝＝50×3﹣50×4＋50×12＝550
解法二：原式＝50÷（）＝50÷＝50×6＝300
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 解法是错误的，在学习正确的解法后，请你解答下列问题：
（1）计算：（﹣）÷（）；
（2）在材料中，原式的倒数为（）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣）÷（）的解吗？请写出具体解题过程．
【答案】一；（1）；（2），见详解.
【分析】
（1）由题意根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案；
（2）由题意根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案，注意最后要还原成倒数.
解：因为没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一；
（1）（﹣）÷（）
；
（2）
故（﹣）÷（）=.
【点拨】本题考查有理数的除法，注意掌握有理数的除法应先算括号里面的，再算有理数的除法，同时注意没有除法分配律．
类型五、有理数除法的应用
5、一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组6名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数）
(1)这个小组男生的达标率为______%；
(2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？【说明：若不能进行整除，请保留一位小数】
【答案】(1)50%(2)16.9秒
【分析】
（1）根据题意得：达标的有3人，然后用3除以6乘以100%，即可求解；
（2）表格中的数据的和除以6，再加上17，即可求解．
解：(1)根据题意得：达标的有3人，
所以这个小组男生的达标率为
(2)这个小组男生的平均成绩为
（秒）．
【点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：
A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；
B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？
（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？
【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【分析】
（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；
（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．
解：（1）∵李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，
∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；
（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，
第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，
两次购物标价为220+630=850元，
∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，
198+554-730=22元，
王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【点拨】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．
【变式2】某公司去年1～3月份平均每月盈利2万元，4～6月份平均每月亏损万元，7～10月份平均每月亏损万元，11～12月份平均每月盈利万元(假设盈利为正，亏损为负)．
（1）该公司去年一年是盈利还是亏损？
（2）该公司去年平均每月盈利(或亏损)多少万元？
【答案】（1）该公司去年一年是盈利的．（2）该公司去年平均每月盈利0.2万元．
【分析】
（1）把一年盈利与亏损的相加，由和为正数或是负数可得结论；
（2）把一年的总盈利或总亏损除以12即可得到结论.
解：（1）根据题意，得2×3＋×3＋×4＋×2＝(万元)．
答：该公司去年一年是盈利的．
（2）(万元)．
答：该公司去年平均每月盈利0.2万元．
【点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算，乘法运算，除法运算的实际应用，理解题意列出正确的运算式是解题的关键.0