初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程学案，共14页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
【类型】一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
特别说明：
“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
“解”就是解方程，求出未知数的值；
“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【类型】二、常见列方程解应用题的几种类型
【类型1】和、差、倍、分问题
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。
【类型2】等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。
【类型3】调配问题,
从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化,
常见题型有:
①既有调入又有调出:
②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
【类型4】行程问题
要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。
相遇问题:
相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题
同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
【类型5】工程问题
基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;
合做的效率=各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
【类型6】利润问题
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
实际售价＝标价×打折率
利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
【类型7】存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
【类型8】数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a
【类型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
【类型一】和、差、倍、分问题
1．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．
解：（1）依题意得：（万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得：
解得：
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．
举一反三：
【变式1】 在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．
【答案】（1）小明他们一共去了8个成人，4个学生；（2）购团体票更省钱．
【分析】（1）设去了x个成人，则去了（12−x）个学生，根据爸爸说的话，可确定相等关系为：成人的票价＋学生的票价＝350元，据此列方程求解；
（2）计算团体票所需费用，和350元比较即可求解．
解：(1)设成人人数为x人，则学生人数为(12－x)人．
根据题意，得35x＋ (12－x)＝350．
解得x＝8．
则12－x＝12－8＝4．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
(2)如果买团体票，按16人计算，共需费用为35×0.6×16＝336(元)．
因为336＜350，所以购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【点拨】考查利用方程模型解决实际问题，关键在于设求知数，列方程．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．
【变式2】 有一个老太太提着一个篮子去卖鸡蛋，第一个人买走了她的鸡蛋的一半又半个；第二个人买走了剩下的一半又半个；第三人买走了前两个人剩下的一半又半个，正好卖完全部鸡蛋，问老太太一共卖了多少个鸡蛋．
【答案】老太太一共卖了7个鸡蛋.
解：设老太太一共卖了x个鸡蛋，那么第一个人买走了x+=（x+1）个；
第二个人买走了[x-（x+1）]+ =（x+1）个；
第三个人买走了[x-（x+1）-（x+1）]+ =（x+1）个；
由三个人将鸡蛋买光而得方程（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,
解这个方程即可求出老太太一共卖了多少个鸡蛋．
试题解析：设老太太一共卖了x个鸡蛋，
那么得方程：（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,
解得：x=7.
答：老太太一共卖了7个鸡蛋.
【点拨】本题主要考查一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【类型二】等积变形问题
2．两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为和，高分别为和．我们先在第二个容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中．问：倒完以后，第一个容器中的水面离容器口有多少厘米？
小刚是这样做的：设倒完以后，第一个容器中的水面离容器口有．
列方程．解得．
你能对他的结果作出合理的解释吗？

【答案】“”表示第一个容器中的水溢出，如果第一个容器的高度增加，恰好能盛下．
【分析】利用圆柱体积计算公式表示水的体积，根据水的体积不变即可得到一元一次方程，由此求解即可．
解：第二个容器中水的体积为；
第一个容器中水的体积为，
水的体积不变，
，
解得：，
“”表示第一个容器中的水溢出，如果第一个容器的高度增加，恰好能盛下．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
举一反三：
【变式1】 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
【答案】长为，宽为．
【分析】设长方形的长为，由梯形与长方形的周长相等列方程可得，再解方程可得答案.
解：设长方形的长为，
根据题意，得．

解得：
所以长方形的长为，宽为．
【点拨】本题考查的是一元一次方程的应用，图形的周长问题，理解题意，确定两个图形的周长相等列方程是解题的关键.
【变式2】 有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略不计），容器内水的高度为10cm．

（1）如图1，容器内水的体积为______（结果保留）．
（2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹没于水中），求水面上升的高度是多少？
（3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？
【答案】（1）；（2）3cm；（3）cm
【分析】（1）结合题意，根据圆柱体体积公式计算，即可得到答案；
（2）根据题意，玻璃棒完全淹没于水中，即水面上升部分的体积就等于玻璃棒的体积；设水面上升的高度为xcm，通过列方程并求解，即可得到答案；
（3）根据题意，水面上升部分的体积等于玻璃棒淹没部分的体积，设水面上升高度为xcm，通过列方程并求解，即可得到答案．
解：（1）容器内水的体积为
故答案为：；
（2）设水面上升的高度为xcm
根据题意得：
解得：
∴水面上升高度为3cm；
（3）设水面上升高度为xcm，
水面上升部分的体积为，
玻璃棒淹没部分的体积为，
得：，
解得：
∴水面上升高度为cm．
【点拨】本题考查了有理数运算、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解．
【类型三】调配问题
3、我市是蔬菜水果生产大县．去年秋季，我市某果树基地安排26名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装200个苹果或者300个梨，每个果篮中放3个苹果和2个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮，应该安排多少名工人包装苹果，多少名工人包装梨？
(1)若设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，请求出，的值；
(2)若每个果篮可卖25元，每名工人每天工作8个小时，问该果树基地一天可以卖得多少钱？
【答案】(1)(2)元
【分析】（1）设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，然后根据果树基地安排26名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装200个苹果或者300个梨，每个果篮中放3个苹果和2个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮列出方程组求解即可；
（2）根据（1）所求进行求解即可．
（1）解：设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，可列方程组为
解得，
答：的值分别为：18，8．
（2）解：（元）．
答：该果树基地一天可以卖得元．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数乘除法的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 某车间每天能制作甲种零件400只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要和3只乙种零件配成一套．现要在49天内制作最多的成套产品，则甲乙两种零件各应制作多少天．
【答案】甲种零件应制作7天，乙种零件应制作42天．
【分析】可设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作（49﹣x）天，本题的等量关系为：3×甲种零件数=乙零件数．由此可得出方程求解．
解：甲种零件应制作天，则乙种零件制作天．
解这个方程，得
．
答：甲种零件应制作7天，乙种零件应制作42天．
【点拨】考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系列出方程．
【变式2】 七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人
【分析】（1）根据男生人数+女生人数＝总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．
(1)解：设女生有x人，则男生有（x﹣3）人，
由题意可得：x+（x﹣3）＝45，
解得x＝24，
∴x﹣3＝21，
答：七年级1班有男生21人，女生24人．
(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（个），男生可以做筒底：21×90＝1890（个），
∵720×2＜1890，
∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；
设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根据题意得：
（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，
解得a＝3，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
【类型四】行程问题
4、A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍．
(1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时；
(2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问）
(3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时．
【答案】(1)80，60；(2)小时；(3)；0.5．
【分析】（1）根据速度等于路程除以时间即可求出乙车的行驶速度，从而得到甲车的行驶速度；
（2）设乙车出发后x小时两车相遇，根据题意列出方程求解即可；
（3）设甲车出发y小时后，甲乙两车相距40千米，分两车在相遇前相距40千米和两车在相遇后相距40千米讨论列方程求解即可得甲车出发后相距乙车40千米的时间，再求出甲车所用在途时间，即可求得甲车在B地休息的时间．
（1）解：乙车的行驶速度：（千米/小时）
甲车的行驶速度：（千米/小时），
故答案为：80，60；
（2）解：设乙车出发后x小时两车相遇，
解得
答：乙车出发后小时两车相遇；
（3）解：设甲车出发y小时后，甲乙两车相距40千米，
当两车在相遇前相距40千米时：80y+60(y-1)=300-40，
解得y=，
当两车在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40，
解得y=，
∵乙车出发后，甲车所用在途时间：（小时），甲车所用时间为5小时，甲车比乙车晚2小时到达A地．
∴甲车在B地休息时间为：5+2-6.5=0.5（小时）
故答案为：；0.5．
【点拨】本题考查了一元一次方程解行程问题，掌握解一元一次方程的方法以及路程、速度与时间的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 星期六小王去球馆打球，去时发现家中的钟没电了，于是换上电池，把钟暂时调整到8时整．到球馆时球馆的钟刚好是8时整．打球到11时整时他以原速度回家发现家中的钟刚好是12时整．小王根据这些时间关系再次调整了时间．如果小王在路上的速度是60米/分钟，请问从家到球馆的路程是多少？小王到家的准确时间是几点？
【答案】从家到球馆的路程是1800米；小王到家的准确时间11时30分．
【分析】根据家中的时间可以得知总时间为4小时，它等于球馆的钟表时间，即打球的时间加上路上总共用时．
解：设家到球馆的路程为x米．
小王在路上的速度是60米/分钟即为3600米/时
解得：．
（时）
小王到家的准确时间：11时+0.5时=11时30分
【点拨】本题考查了时间、路程速度与时间的关系，解题的关键在于找到等量关系．
【变式2】 庄河市出租车的收费标准是：起步价10元，即行驶距离不超过3公里都需支付10元；超过3公里，每增加1公里收费为2元．
(1)行驶5公里需支付多少元？
(2)某同学从家乘出租车到学校共花费18元，则该同学的家到学校的距离是多少？
【答案】(1)行驶5公里需要14元(2)该同学的家到学校的距离为7公里
【分析】（1）起步价加里程费即可解答；
（2）根据题意列出方程18=10+2（x-3），解此方程即可．
（1）解：（元） 答：行驶5公里需14元.
（2）解：设该同学的家到学校的距离为x公里，由题意得： 18=10+2（x-3）解得 x=7 答：该同学的家到学校的距离为7公里.
【点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【类型五】工程问题
5、某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空：型设备的工作效率是_________，型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，如果由型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？
【答案】(1)，(2)20天
【分析】（1）利用工作效率工作总量工作时间，可得出，两台设备的工作效率；
（2）先设还需要天完成，利用型设备完成的工作量型设备完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，求解即可．
（1）解：如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完，
型设备的工作效率是这批冬季校服数量的，型设备的工作效率是这批冬季校服数量的．
故答案为：；．
（2）解：设还需要天完成，
依题意得：，
解得：．
答：还需要20天完成．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程求解．
举一反三：
【变式1】 整理一批图书，如果由一个人单独做要花40小时．现先由一部分人用1小时整理，随后增加5人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
【答案】10
【分析】等量关系为：所求人数1小时的工作量+所有人2小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．
解：设先安排整理的人员有x人，依题意得，
,
解得： ，
答：先安排整理的人员有10人．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：单人工作效率×工作时间×人数=工作量．
【变式2】 整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么应先安排多少人整理这批快递？
【答案】应先安排4人整理这批快递
【分析】设应先安排x人整理这批快递，根据等量关系式：开始x人1小时的工作量+后来（x+4）人2小时的工作量=1，列出方程，解方程即可．
解：设应先安排x人整理这批快递，依题意得：
解得，
答：应先安排4人整理这批快递．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．