初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程学案，共19页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，知识点一，知识点二，典型例题等内容，欢迎下载使用。
熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
熟悉日历、利润、方案选择、数字问题及几何问题的解题思路．
【要点梳理】
【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
特别说明：
“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
“解”就是解方程，求出未知数的值；
“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【知识点二】常见列方程解应用题的几种类型
【类型1】和、差、倍、分问题
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。
【类型2】等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。
【类型3】调配问题,
从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化,
常见题型有:
①既有调入又有调出:
②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
【类型4】行程问题
要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。
相遇问题:
相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题
同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
【类型5】工程问题
基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;
合做的效率=各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
【类型6】利润问题
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
实际售价＝标价×打折率
利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
【类型7】存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
【类型8】数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a
【类型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
【类型一】日历问题
1．2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】这个最小数是12
【分析】设这个最小数为x，则四个数分别为x，x+1，x+7，x+8，根据圈出的这四个数的和是64，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设这个最小的数是.
根据题意，得.
解，得.
答：这个最小数是12.
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．
(1) 在图1中，数2022排在第几行第几列？
若，求出d所表示的数；
将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)第225行第6列；(2)80；(3)所表示的数为660，在图1中排在第74行第3列．
【分析】（1）每一行有9个数，则2022÷9＝224……6，则可判断2022的位置；
（2）分别用含x的式子表示出b，c，d，再由所给的等式可求出x的值，即可确定d的值；
（3）不难看出奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，分两种情况进行讨论：①a为奇数；②a为偶数，从而可求得相应的a值，再进行判断即可．
（1）因为余6所以在图1中，数2022排在第225行第6列．
（2）设，则，，
因为
所以
解得
所以
即所表示的数为80.
假设的值为2700由题意可知，
，同号，，同号则，为正数，，为负数设，
则，，
所以
解得因为余3
所以660在图1中排在第74行第3列
答：所表示的数为660，在图1中排在第74行第3列.
【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚题意，得到a，b，c，d之间的关系．
【变式2】 如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为．
(1)请用含的代数式表示框中4个数的和．
(2)框中4个数的和可能是132吗？若能，请求出最小的数．
【答案】(1)4x+24(2)能，最小的数为27
【分析】（1）若框中最小的一个数为x，则其它四个数分别是x+1、x+11、x+12．然后求和即可；
（2）根据所给的数的和列方程计算，如果结果不是整数，则应舍去．
(1) 解：设框中最小的数为x，则
x+x+1+x+11+x+12=4x+24；
∴框中4个数的和为x+24．
(2)解：根据题意，得4x+24=132．
解得x=27．
观察表格中的数据知，x=27符合题意．
答：能，最小的数是27．
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数字的变化规律，关键是根据所给的数的和列方程计算解答．
【类型二】销售与利润问题
2．小强（递上10元钱）：爷爷，我买一枝钢笔和一个笔记本．
售货员（爷爷）：今天是“六一”儿童节，钢笔九折优惠，笔记本按标价卖给你，但如果你钢笔和笔记本都买，钱可不够了．
小军：小强，钢笔的标价是笔记本的3倍．我借给你1.1元钱，就可以买这两样东西了．
请你根据上述对话内容，算出钢笔和笔记本的标价．
【答案】钢笔标价为9元，笔记本标价为3元
【分析】设笔记本的标价为x元，则钢笔的标价为3x元，根据花费的总钱数为（10＋1.1）元列出方程即可．
解：设笔记本的标价为x元，则钢笔的标价为3x元
x＋0.93x＝10＋1.1
解得：x＝3
故钢笔的标价为：33＝9（元）
答：钢笔标价为9元，笔记本标价为3元．
【点拨】本题考查一元一次方程，设出恰当的未知数，准确抓住等量关系列出方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件．
(1)若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？
(2)每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？
【答案】(1)商家平均每天能盈利1575元(2)每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元
【分析】（1）利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每天的利润每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-x)元，每天的销售为(30+3x)件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每件的利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）(100-60-5)(30+35)=3545=1575(元)；
答：商家平均每天能盈利1575元．
（2）设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-x)元，每天的销售为(30+3x)件，
依据题意得(100-60-x)(30+3x)=1800，
整理得，
解得，
为能让利于顾客，取x=20．
答：每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售与盈亏），解决此题的关键是读懂题意并列出正确的式子．
【变式2】 小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元．”问：小明今天计划买多少个纸杯蛋糕？若设小明今天计划买x个纸杯蛋糕，请你根据题意把表格补充完整，并列方程解答．
【答案】12x、12×0.9、x+1、12×0.9（x+1）（表格填法不唯一），29个
【分析】小明今天买蛋糕的单价是12元，数量为x个，则总价为12x元．明天比今天多买一个，可参与打九折活动，所以明天的单价是（12×0.9）元，数量为（x+1）个，总价为12×0.9（x+1），完成表格即可．然后根据题意列方程求出x的值即可．
解：表格填写如下;
根据题意列方程得
12×0.9（x+1）=12x-24，
解得x=29．
答：小明计划今天买29个纸杯蛋糕．
【点拨】本题主要考查了列代数式和列一元一次方程解应用题，找等量关系列出正确的方程是解题的关键．
【类型三】方案选择问题
3、公园门票价格规定如下表：
某校七年级一、二两个班共104人去游公园，其中二班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果七年级二班单独组织去游公园，班长作为组织者将如何购票才最省钱？
【答案】(1)一班有56人，二班有48人(2)304元(3)购51张票
【分析】（1）设二班有x人，则一班有(104−x)人，且，从而有13x+11（104-x）=1240，再解方程可得答案；
（2）由题意可得购买104张票时，每张票的价格为9元一张，列式计算即可得到答案；
（3）由于购买51张票时只要11元一张，从而可得购买51张票比购买48张票更省钱，从而可得答案．
（1）解：设二班有x人，则一班有人，且，因此，一班人数大于50人，且小于100人．
依题意，得
解方程，得．
答：一班有56人，二班有48人；
（2），
．
答：两班合起来购团体票可省304元；
（3）若按二班人数购票，需元，
若购51张票，需元，
可见，二班购51张票时，用钱最少，因此，组织者应购51张票最省线．
【点拨】本题考查的是最优化设计问题，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解决分段费用问题是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元． 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
【答案】进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，丙种4台．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共60台”和“两种不同型号的电视机共用去7万元”，根据这两个等量关系可列出方程求解即可．
解：设购买甲种电视机x台，乙种y台，丙种z台，
当购买甲、乙两种电视机时：
由题意得：1100x＋1300（60−x）＝70000，
解得x＝40，y＝60−40＝20；
当购买乙、丙两种电视机时：
由题意得：1300y＋2100（60−y）＝70000，
解得y＝70，z＝−10，（舍去）；
当购买甲、丙两种电视机时：
由题意得：1100x＋2100（60−x）＝70000，
解得x＝56，z＝4．
答：进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，丙种4台．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，培养学生的分类讨论思想和对于实际问题中方程解的取舍情况．弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键．
【变式2】 小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：
小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．
(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）
(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；
(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．
【答案】(1)(2)264元(3)A套餐6份，套餐5份或套餐3份，套餐3份，套餐5份，见分析
【分析】(1)由三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，即可得出他们点了(x−5)份B套餐；
(2)依题意知：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，据此即可解答；
(3)依题意知：套餐5份，套餐份，A套餐份，再分两种情况，列方程即可分别求得．
（1）解：因为三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，有5份小菜，
所以共点了5份C套餐，
因为只有B和C套餐中有饮料，一共点了x杯饮料，C套餐有5份，
所以他们点了(x−5)份B套餐．
故答案为：(x−5)；
（2）解：依题意：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，
所以(元)，
因为满150元，减24元，
所以实际花费为：(元)；
（3）解：因为只有套餐含小菜，所以依题意套餐点了5份；
因为有份饮料，所以套餐共份，
因为共11份盖饭，
所以A套餐份．
当满150优惠时：，
解得：，
故A套餐6份，套餐5份；
当满300优惠时：，
解得：，
故A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
综上，他们点的套餐是A套餐6份，套餐5份或A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
【点拨】本题考查了应用类问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费及方程是解题的关键．
【类型四】数字问题
4、将化为分数形式，
由于=0.7777…，设x＝0.7777…①
则10x＝7.777…②
②﹣①得9x＝7，解得x，于是得．
同理可得，=7+=7．
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
基础训练
（1）_______，_______；
（2）将化为分数形式，写出推导过程．
迁移应用
（3）0.5_______；（注：…）
探索发现
（4）若已知0.1428，则2.8571_______．
【答案】（1），；（2），过程见分析；（3）；（4）
【分析】（1）根据题设推导的结果可知，得到；根据，得到；
（2）将化为0．646464…，设x＝0．646464…，推出100x＝64．6464…，得到99x＝64，x，即得；
（3）类比以上两个小问推导的结果得到，得到；
（4）把0．1428两边乘以1000，得到714．85711000，把整数部分移项得到0．85711000﹣714，两边加2得到2．85712．
解：（1）0．，

故答案为：，；
（2）将化为分数形式，
由于=0．646464…，设x＝0．646464…①，
则100x＝64．6464…②，
②﹣①得99x＝64，
解得x，
于是得；
（3）类比（1）（2）的方法可得，
，
故答案为：；
（4）∵0．1428，
∴714．85711000，
∴0．85711000﹣714，
∴2．85712，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了循环小数化成分数，解决问题的关键是熟练掌握循环小数的性质和结构特征和方程知识．
举一反三：
【变式1】 用方程解答：x的3倍与1之和的二分之一等于x的四倍与1之差的三分之一，求x．
【答案】
【分析】首先列出一元一次方程，然后去分母，去括号，移项、合并同类项即可求解．
解：由题意可得：，
解得：x=-5．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，列出方程是关键．
【变式2】 一个两位数，十位上的数字是3，把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新数比原数小18，求这个两位数．
【答案】这个两位数是31
【分析】设这个两位数个位上的数字为x，根据得到的新数比原数小18列方程求解即可
解：设这个两位数个位上的数字为x，根据题意，得
解方程，得
答：这个两位数是31．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用-数字问题，考查了十位上的数字×10+个位数字的运用，解答时根据原数与新数的数量关系建立方程式是关键．
【类型五】几何问题
5、如图，中，，cm，cm，cm，若动点P从点C开始沿的路径运动，回到点C结束，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．试求：
当t为何值时，CP把的周长分成相等的两部分？
当t为何值时，CP把的面积分成相等的两部分？
当t为何值时，的面积为18cm2？
【答案】(1)4；(2)；(3)或．
【分析】（1）用t表示出点P的路程，让路程等于三角形周长的一半，列方程计算即可；
（2）当点P运动到AB中点时，CP平分三角形面积，根据路程列方程即可；
（3）当点P在AC上时，△BCP的面积就等于，然后列和t有关的方程即可，当点P在AB上时，过C作AB的垂线，此时△ACB和△BCP高相同，即面积之比就等于底边之比，进而列和t有关的方程即可．
解：（1）∵CP平分△ABC的周长，
∴点C在AB上，
∴AC+AP=△ABC的周长的一半，
∴，解得；
（2）∵CP平分△ABC的面积，
∴点C在AB上且为AB的中点，
∴，解得；
（3）当点P在AC上时，,
∴，解得；
点P在AB上时，可过点C向AB作垂线，此时△ACB和△BCP高相同，
∴面积之比就等于底边之比，即
∴解得；
综上所述，当或时，的面积为18cm2．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了三角形周长和面积的计算等知识；本题综合性强，进行分类讨论是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．

【答案】或5
【分析】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
解：①当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴x•3=5，
解得：x=；
当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=5，
∴3×4-（3+4-x）×2-×2×3-×4×（x-4）=5，
解得：x=5；
③当P在CE上时，
∵△APE的面积为5cm2，
∴（4+3+2-x）×3=5，
解得：x=（不合题意舍去），
综上所述，x的值为或5，
故答案为：或5．
【点拨】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键．
【变式2】 将一个圆分成3个扇形，其圆心角的度数之比为2∶3∶4，分别求这三个扇形的圆心角的度数．
【答案】、、
【分析】设三个圆心角的度数分别是、、，根据圆周角为360°，列出关于x的方程，解方程即可．
解：设三个圆心角的度数分别是、、，
根据题意得：，
解得：，
则，，，
∴这三个扇形的圆心角分别是、、．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据周角的度数是360°列出方程，是解题的关键．
【类型六】电费、水费问题
6、自来水公司为落实水资源节约活动，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费3.4元，超过计划内部分每吨按4.6元收费．
(1)设某单位用水量为吨，用代数式表示：若用水量不超过300吨，该单位每月应缴纳水费 元；若用水量超过300吨，该单位每月应缴纳水费 元；
(2)若某单位12月份缴纳水费1480元，求该单位用水多少吨?
【答案】(1)3.4x；（4.6x-360）(2)该单位用水400吨
【分析】（1）根据收费标准，找出当x≤300及x＞300两种情况下需付款数额；
（2）先求出用水300吨时缴纳的水费，比较后可得出该单位4月份用水超过300吨，再根据（1）的结论可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（1）解：当x≤300时，需付款3.4x元；当x＞300时，需付款300×3.4+4.6（x-300）=（4.6x-360）元．故答案为：3.4x；（4.6x-360）；
（2）解：由于3.4×300=1020