数学七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角学案及答案

这是一份数学七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角学案及答案，共16页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1．掌握角度制并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算。
【要点梳理】
要点一、角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
特别说明：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．
要点二、角的大小比较
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
要点三、角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
特别说明：
用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
要点四、角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
特别说明：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【典型例题】
知识点一、角的单位和角度制
1．计算
（1）34°41′25″×5； （2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【答案】（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．
【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；
（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．
解：（1）34°41′25″×5
＝（34°＋41′＋25″）×5
＝34°×5＋41′×5＋25″×5
＝170°＋205′＋125″
＝173°27′5″；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4
＝36°17′30″＋72°132′
＝110°29′30″．
【点拨】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】 计算．
【答案】38°21'6''
【分析】根据角度的四则运算方法及变换进率计算即可得．
解：，
，
．
【点拨】题目主要考查角度各单位的变换进率及角度的四则运算，熟练掌握各个单位之间的换算进率是解题关键．
【变式2】计算题
； (2) ；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可求解出．
（2）根据度分秒的进制进行计算即可求解出．
(1)
【点拨】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解此题的关键．
知识点二、角的度数大小比较
2．如图，直线m外有一定点O，A是m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和是如何变化的，和之间有关系吗？
【答案】越来越小，越来越大，但始终．
【分析】根据平角的概念求解即可．平角：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角．
解：如图所示，

∵是钝角，是锐角，
∴当点A从左向右运动时，越来越小，越来越大，
又∵和组成了一个平角，
∴．
【点拨】此题考查了平角的概念，解题的关键是熟练掌握平角的概念．平角：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角．
举一反三：
【变式1】 如图，点P是直线l外一点，过点P画直线PA，PB，PC，…，分别交直线l于点A，B，C，…．用量角器量出，，的度数，并量出PA，PB，PC的长度，你发现了什么？

【答案】，，，，，，在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过），P点与直线交点连线的线段长度越短；反之亦然．
【分析】使用量角器度量角度，带刻度的直尺度量线段的长度，根据度量的数据分析角度和长度之间的关系即可．
解：量得，，，，，，
由此发现，在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过），P点与直线交点连线的线段长度越短；反之亦然．
【点拨】本题考查了度量线段，度量角度，角度大小的比较，会使用度量工具度量是解题的关键．
【变式2】根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系．
【答案】OC在∠AOB内部，∠AOB>∠COB，OC在∠AOB外部，∠AOB∠COB；
如图②，OC在∠AOB外部，故∠AOB直角>锐角是解题的关键.
知识点四、三角板中角度计算
4、将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．
【分析】（1）由题意根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后由∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入数据计算即可得解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
【点拨】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 将平面内一副三角板按三种方式摆放，分别求出对应的度数．
（1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，则∠EBC＝ ；
（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，则∠＝ ；
（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，若∠EBC＝115°，求∠的度数．
【答案】（1）150°；（2）15°；（3）35°
【分析】（1）由 从而可得答案；
（2）由，从而可得答案；
（3）首先计算出∠DBC的度数，再用∠ABC的度数减去∠DBC的度数即可．
解：（1）
∠EBC=90°+60°=150°；
故答案为：
（2）
；
故答案为：
（3） ∠EBC=115°，∠EBD=90°，
．
∠ABC=60°，
．
【点拨】本题考查的是角的和差运算，掌握几何图形中角的和差关系是解题的关键．
【变式2】如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
判断大小关系：∠AOD______∠BOC(填＞、=、＜等)
若 ∠BOD=35°，则∠AOC= ；若∠AOC=135°，则∠BOD= ；
猜想 ∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)、=；(2)、145°、45°；(3)猜想：∠AOC+∠BOD=180°，理由见分析.
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，∠AOD=90°-∠BOD，∠BOC=90°-∠BOD，即可判断∠AOD=∠BOC；
（2）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补.
解：(1) ∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOD=90°-∠BOD，∠BOC=90°-∠BOD,
∴∠AOD=∠BOC;
(2)∵∠AOB=∠COD=90°,∠BOD=35°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD−∠BOD=90°+90°−35°=145°；
∵∠AOB=∠COD=90°,∠AOC=135°，
∴∠BOD=∠AOB+∠COD−∠AOC=90°+90°−135°=45°；
(3)猜想：∠AOC+∠BOD=180°
理由： 依题意∠AOB=∠DOC=90°
∴∠AOC+∠BOD=(∠AOB+∠BOC)+∠BOD
=∠AOB+(∠BOC+∠BOD)
=∠AOB+∠DOC
=90°+90°
=180°.
【点拨】本题考查余角和补角.
知识点五、几何图中角度的计算
5、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠DOE＝28°，OD平分∠COE， 求∠COB的度数．

【答案】84°
解：∵ ∠DOE＝28°，且OD平分∠COE ，
∴ ∠COE＝2∠DOE＝56° ，
∵点A、O、E在同一直线上，
∴∠AOB＋∠BOC＋∠COE＝180° ，
又∵∠AOB＝40° ，
∴∠COB＝180°－40°－56°＝84°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=80°，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
【答案】50°
【分析】根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=80°，根据角平分线的性质得到根据垂线的性质有∠BOE=90°，根据即可求解．
解：∵∠AOC=80°，
∴∠BOD=∠AOC=80°，
∵OF平分∠DOB，
∴
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴
【点拨】考查对顶角的性质，垂线的性质，角平分线的性质，比较基础．
【变式2】如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．
【答案】120°
【分析】此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．
解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．
∴x＝40°
∴∠AOB＝120°．
【点拨】此题考查角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解题的关键．
知识点六、角度的四则运算
6、计算：
（1）23°45′36″+66°14′24″； （2）180°-98°24′30″；
（3）15°50′42″×3； （4）88°14′48″÷4．
【答案】（1）90°；（2）81°35′30″；（3）47°32′6″；（4）22°3′42″
【分析】类比与小数的计算方法，计算度分秒即可，注意满60进一，借一当60．
解：（1）23°45′36″+66°14′24″=90°；
（2）180°-98°24′30″=179°59′60″-98°24′30″=81°35′30″；
（3）15°50′42″×3=45°150′126″=45°152′6″=47°32′6″；
（4）88°14′48″÷4=22°3′42″．
【点拨】本题考查了角度的四则运算以及度分秒的换算，注意度分秒之间的换算：1度=60分，1分=60秒．
举一反三：
【变式1】 （1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先度、分分别计算，再满60进1即可；
（2）先变形，再度、秒相减即可；
（3）先度、分分别乘以4，再满60进1即可；
（4）先变形，再度、分分别除以3即可．
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
【点拨】本题考查了度、分、秒之间的换算，熟记，是解题的关键．
【变式2】计算：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60，然后再进行计算即可得到答案.
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查了度分秒的计算，解题的关键是找出度分秒的换算进制，从而求出结果.
知识点七、实际问题中角度的计算
7、请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：
（1）的度数为__________；
（2）与有何数量关系：______；
（3）与有何数量关系：__________；
【答案】（1）90°；（2）；（3）.
【分析】（1）由图中第三个图形可知，折叠后∠1+∠3=∠2，再根据B、E、C三点共线可求得结论；
（2）根据（1）可知∠1+∠3=∠2=90°，两角之和为90°，两角互余；
（3）由B、E、C三点共线可得出结论．
解：（1）根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，
∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三点共线
∴∠2=180°÷2=90°．
故答案是：90°．
（2）∵∠1+∠3=∠2，
∴∠1+∠3=90°．
故答案是：∠1+∠3=90°．
（3）∵B、E、C三点共线，
∴∠1+∠AEC=180°，
故答案是：∠1+∠AEC=180°．
【点拨】本题考查的角的计算以及折叠问题，解题的关键是依据折叠的特性找到∠1、∠2、∠3之间的关系．
举一反三：
【变式1】 如图，点O是直线AB上一点，射线OA1 ， OA2均从OA的位置开始绕点O顺时针旋转，OA1旋转的速度为每秒30°，OA2旋转的速度为每秒10°．当OA2旋转6秒后，OA1也开始旋转，当其中一条射线与OB重合时，另一条也停止．设OA1旋转的时间为t秒．
（1）用含有t的式子表示∠A1OA=________°，∠A2OA=________°；
（2）当t=________，OA1是∠A2OA的角平分线；
（3）若∠A1OA2=30°时，求t的值．
【答案】(1) 30t；10（t+6）；(2)1.2;(3) t= 或 t=时∠A1OA2=30°
【分析】（1）由运动直接得出结论,（2）根据角平分线的意义建立方程求解即可,（3）用∠A1OA2=30°建立方程求解即可．
解：（1）由运动知,∠A1OA=（30t）°,∠A2OA=[10（t+6）]°,
故答案为30t,10（t+6）,
（2）∵OA1是∠A2OA的角平分线,
∴∠A2OA=2∠A1OA,
∴10（t+6）=2×30t,
∴t=1.2,
故答案为1.2,
（3）解：①若OA1未超过OA2,
则 -30t=30
t= ,
②若OA1超过OA2,
则30t - =30
,
所以t= 或 t=时∠A1OA2=30°.
【点拨】本题主要考查了角平分线的意义,角的计算,角的和差,用方程的思想是解决本题的关键．
【变式2】如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE与∠AOC互为余角，∠AOF：∠FOD＝2：3，∠AOC＝30°，求∠COE，∠AOF的度数．
【答案】∠COE＝60°，∠AOF＝60°
【分析】首先根据∠AOF：∠FOD＝2：3，设∠AOF＝2x°，∠FOD＝3x°，根据平角的定义列方程可得x的值，从而得∠AOF的度数，根据∠COE与∠AOC互为余角进而得出∠COE的度数．
解：设∠AOF＝2x°，∠FOD＝3x°，
∵∠AOC＝30°，
∴2x+3x+30＝180，
解得：x＝30，
∴∠AOF＝60°，
∵∠COE与∠AOC互为余角，
∴∠COE+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠COE＝60°．
【点拨】此题考查角度计算，两个角互为余角即两个角相加等于90°，由此求得∠COE＝60°，根据角度的比值关系设出未知数列出方程解出∠AOF＝60°.