人教版数学八上期末训练专题03 轴对称突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】 (2份,原卷版+解析版)
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考点一 轴对称图形的识别 考点二 轴对称图形的性质
考点三 画轴对称及设计轴对称图形 考点四 坐标与图形变换——轴对称
考点五 线段的垂直平分线性质与判定 考点六 等腰三角形的定义与性质
考点七 利用等腰三角形定义与性质的多解题 考点八 等腰(等边)三角形中全等综合问题
【知识梳理+解题方法】
一 、轴对称
轴对称概念:有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.
二 、轴对称图形
轴对称图形概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.(对称轴必须是直线)
轴对称图形的性质(重点):如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:
找到关键点,画出关键点的对应点,
按照原图顺序依次连接各点.
用坐标表示轴对称
1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
2、点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y);
三、 线段的垂直平分线
概念:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线)
性质:线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
四、等腰三角形
(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
(3)等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).
五、等边三角形
(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.
(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°.
(3)等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【专题过关+能力提升】
考点一 轴对称图形的识别
例题:(2022·全国·八年级专题练习)下面在线学习平台的图标中,是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【变式训练】
1.(2021·重庆市巴渝学校八年级期中)下列图形中是轴对称图形是( )
A.B.C.D.
2.(2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习)下列交通安全图标不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
3.(2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习)繁体字具有数千年的历史,不仅在中国,在中国周边国家中,繁体字仍旧具有非常大的影响力.简繁互补是中国文字的演变规律.下面是成语“喜闻乐见”的繁体字,其中可以看作是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
考点二 轴对称图形的性质
例题:(2021·山西临汾·八年级期中)如图,与关于直线对称,其中,,则的度数为( )
A.B.C.D.
【变式训练】
1.(2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中)如图a是长方形纸带,∠DEF=28°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是( )
A.94°B.96°C.102°D.128°
2.(2022·广东·茂名市电白区第三中学七年级阶段练习)如图,与关于直线l对称,若,,则______,______.
3.(2022·浙江·八年级专题练习)如图,在△ABC中,点P为AB和BC垂直平分线的交点,点Q与点P关于AC对称,连接PC,PQ,CQ.若△PCQ中有一个角是50°,则∠B=__度.
考点三 画轴对称及设计轴对称图形
例题:(2022·安徽·定远县第六中学九年级阶段练习)如图,是4×4正方形网格,其中已有4个小方格涂成了黑色.现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色,使整个黑色部分图形构成轴对称图形,这样的白色小方格有____种选择.
【变式训练】
1.(2022·河南省实验中学八年级开学考试)如图是4×4正方形网格,其中已有3个小方格涂成了阴影.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影,使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形,请在图中补全图形,并画出它们各自的对称轴.(要求画出3种不同方法)
2.(2022·全国·八年级专题练习)下列正方形网格图中,部分方格涂上了阴影,请按照不同要求作图.
(1)如图①,整个图形是轴对称图形,画出它的对称轴.
(2)如图②,将某一个方格涂上阴影,使整个图形有两条对称轴.
(3)如图③,将某一个方格涂上阴影,使整个图形有四条对称轴.
3.(2022·四川达州·七年级期末)如图,正方形网格中每个小方格的边长为1,且点A,B,C均为格点.
(1)作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作出关于直线l的对称图形;
②在直线l上找一点D,使最小;
(2)求出的面积.
考点四 坐标与图形变换——轴对称
例题:(2022·广东·梅州市学艺中学九年级开学考试)在平面直角坐标系中,点P(2,-3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)
【变式训练】
1.(2022·广东·阳春市东风中学八年级期中)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标是( )
A.(﹣4,3) B.(﹣4,2) C.(4,2)或(﹣4,3) D.(4,2)或(﹣4,2)或(﹣4,3)
2.(2021·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习)已知A(a,-2)与B(,b)关于x轴对称,则a=___,b=____.
3.(2022·甘肃·金昌市龙门学校七年级期中)若,则点关于x轴的对称点的坐标为___.
4.(2023·广东·新丰县大席中学八年级期中)如图,在下列带有坐标系的网格中,△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形(其中分别是A、B、C的对应点,不写画法);
(2)直接写出三点的坐标;
(3)平面内任一点P(x,y)关于直线x轴对称点的坐标为 .
5.(2021·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习)已知:如图,已知△ABC,
(1)分别画出与△ABC关于轴、轴对称的图形△ 和△;
(2)写出 △ 和△各顶点坐标;
(3)求△ABC的面积.
6.(2022·新疆·乌鲁木齐市第十三中学八年级期末)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△;
(2)求△ABC的面积;
(3)在x轴上求一点P,使△PAB周长最小,请画出△PAB,并通过画图求出P点的坐标.
7.(2020·辽宁·沈阳市第六十九中学八年级阶段练习)如图所示,在平面直角坐标系中,点A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)
(1)在平面直角坐标系中划出△ABC,则△ABC的面积是 ;
(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为 ;
(3)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标.
考点五 线段的垂直平分线性质与判定
例题:(2022·湖南湘潭·八年级期末)如图,是的角平分线,若,则点的距离是( )
A.B.C.1D.2
【变式训练】
1.(2021·山东烟台·七年级期中)如图,已知在四边形中,,平分,,,,则四边形的面积是( )
A.40B.42C.46D.48
2.(2022·全国·八年级专题练习)如图所示,AD是△ABC的中线,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.
3.(2022·湖南·郴州市第四中学八年级期末)如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:△BDE≌△CDF
(2)求证:AD平分∠BAC;
(3)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
考点六 等腰三角形的定义与性质
例题:(2021·河北·唐山市第九中学八年级阶段练习)若等腰三角形的一条边长为5,另一条边长为10,则此三角形第三条边长为________.
【变式训练】
1.(山西省临汾市2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷(二))如图,∠ABC的平分线BF,与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F,过点F作DFBC交AB于点D,交AC于点E,若BD=8cm,DE=2.5cm,则CE的长为______.
2.(2022·辽宁大连·八年级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E在BC上,BD⊥AE于点D,F为BC中点.
(1)在图中找出与∠ABD相等的角,并证明;
(2)求证:DF平分∠BDE.
3.(2021·四川·东坡区实验中学八年级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB ,D是AC边上的一点,连接BD并延长到点E,连接AE、CE,AF平分∠BAC交BD于点F.
(1)若∠BAC=70°,∠FBC=25°,求∠AFD;
(2)已知CE⊥BC,AD=CD,求证:BF=AE.
考点七 利用等腰三角形定义与性质的多解题
例题:(2022·河南·驻马店市第十中学八年级阶段练习)已知等腰三角形的两边长分别为6和5,则这个等腰三角形的周长为_____.
【变式训练】
1.已知等腰三角形的一个内角是72°,那么这个等腰三角形的顶角是______度.
2.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°,则这个等腰三角形底角度数是_______.
3.有一张三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两张纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是__________.
4.(1)等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分,求该三角形各边的长.
(2)已知一个等腰三角形的三边长分别为,求这个等腰三角形的周长.
5.(2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发,以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P在AC上,且满足PA=PB时,求出此时t的值;
(2)在运动过程中,求当t为何值时,△BCP为等腰三角形.
考点八 等腰三角形中全等综合问题
例题:(2021·重庆市璧山中学校八年级期中)(1)如图1,△ABC与△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,猜想并证明:线段AE、BD的数量关系和位置关系.
(2)在(1)的条件下,若点A,E,D在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,请判断∠ADB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系,并说明理由.
【变式训练】
1.(2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中)在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
(2)如图2,当点E为AB上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
(3)在等边三角形ABC中,若点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,请直接写出CD的长.
2.(2022·辽宁沈阳·七年级期末)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D是直线BC上一点,过点A作∠DAE=90°(使点D,A,E按顺时针的顺序排列),且AE=AD,连接CE,过点A作AF⊥CE交直线CE于点F.
(1)如图,当点D在线段BC上时;求证:CE=BD;
(2)当点D在直线BC上时,直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系.
3.(2022·福建·莆田哲理中学八年级期末)如图1,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E分别是AC和BC上的动点,BD⊥AE,垂足为F.
(1)求证∠CAE=∠ABD;
(2)连接DE,满足∠AEB=∠DEC,求证:BD=DE+AE;
(3)点G在BD的延长线上,连接EG,满足∠AEB=∠GEC,试写出AE,EG,BG之间的数量关系,并证明.
4.(2022·江西萍乡·八年级开学考试)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,点E在AC边上,连接AD,DE.已知∠1=∠2,AD=DE.
(1)判断△ABD与△DCE是否全等?并证明?
(2)若BD=4,CD=7,求AE的长.
(3)若∠ADE=30°,求∠2的度数.
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