人教版数学七年级下册期末提升训练专题02 实数压轴题必练（含答案详解）

这是一份人教版数学七年级下册期末提升训练专题02 实数压轴题必练（含答案详解），共18页。试卷主要包含了下面是一个按某种规律排列的数阵，对于实数a，我们规定，阅读下面的文字，解答问题，若+2＝0等内容，欢迎下载使用。
1．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
2．下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是 （用含n的代数式表示）
3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
解答题必练
4．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为＜＜，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；
（3）若设2+的整数部分为x，小数部分为y，求y﹣x的值．
5．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离 ．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝ ．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．
6．若+（1﹣y）2＝0．
（1）求x，y的值；
（2）求+++…+的值．
7．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2化为分数
请用以上方法解决下列问题
（1）把0.化为分数
（2）把0.3化为分数．
8．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离示为：AB＝|a﹣b|，且我们发现存在以下不等关系：|a|+|b|≥|a+b|．
（1）代数式|x+1|+|x﹣2|的几何意义是：表示有理数x的点到表示数2的点与表示
数 的点距离之和；利用几何意义，可求得|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值范围是 ．
（2）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的最小值．
（3）已知|y﹣3|+|1﹣x|+|z﹣5|＝10﹣|x+4|﹣|1﹣z|﹣|y﹣2|，求x+y+z的最大值与最小值．
9.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
10．如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）AB＝ ；t＝1时，点Q表示的数是 ；当t＝ 时，P、Q两点相遇；
（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；
（3）如图3，若点M为线段AP的中点，点T为线段BQ中点，则点M表示的数为 ；点T表示的数为 ；MT＝ ．（用含t的代数式填空）
11．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3
（1）数轴上点A表示的数为 ．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B'C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S
①设点A的移动距离AA′＝x．当S＝4时，x＝ ．
②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，求数轴上点A′表示的数为多少．
12．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是 ；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
13．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为16．
（1）数轴上点B表示的数为 ；
（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S．
①当S＝4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；
②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BF＝BB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．
专题02 实数压轴题必练
填空题必练
1．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】3；255．
【解答】解：①[]＝9，[]＝3，[]＝1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
2．下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是 （用含n的代数式表示）
【答案】
【解答】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2＝n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故答案为：．
3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】（1） 2，5；（2）1，2，3； （3）3 （4）255
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴5＜＜6，
∴＝[2]＝2，[]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
解答题必练
4．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为＜＜，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；
（3）若设2+的整数部分为x，小数部分为y，求y﹣x的值．
【答案】（1） 3；﹣3．（2）4 （3）﹣4．
【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是﹣3；
故答案为：3；﹣3．
（2）∵2＜＜3，
∴a＝﹣2，
∵6＜＜7，
∴b＝6，
∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．
（3）∵1＜＜2，
∴3＜2+＜4，
∴2+的整数部分为x＝3，小数部分为y＝2+﹣3＝﹣1．
∴y﹣x＝﹣4．
5．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离 ．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝ ．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．
【答案】（1）7（2）﹣2或4（3）6
【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，
∴x＝﹣2或x＝4，
故答案为：﹣2或4；
（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，
∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，
故答案为：6．
6．若+（1﹣y）2＝0．
（1）求x，y的值；
（2）求+++…+的值．
【答案】（1） （2）
【解答】解：（1）根据题意得，
解得；
（2）原式＝+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
7．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2化为分数
请用以上方法解决下列问题
（1）把0.化为分数
（2）把0.3化为分数．
【答案】（1）（2）
【解答】解（1）∵0.×100＝17.
∴0.×100﹣0.＝17.﹣0.
0.×（100﹣1）＝17，
0.＝，
（2）∵0.3×10＝3.①
0.3×1000＝313.•②
∴由 ②﹣①得0.3×1000﹣0.3×10＝313.﹣3.，
0.3（1000﹣10）＝310，
0.3＝．
8．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离示为：AB＝|a﹣b|，且我们发现存在以下不等关系：|a|+|b|≥|a+b|．
（1）代数式|x+1|+|x﹣2|的几何意义是：表示有理数x的点到表示数2的点与表示
数 的点距离之和；利用几何意义，可求得|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值范围是 ．
（2）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的最小值．
（3）已知|y﹣3|+|1﹣x|+|z﹣5|＝10﹣|x+4|﹣|1﹣z|﹣|y﹣2|，求x+y+z的最大值与最小值．
【答案】（1）﹣1，3； （2）1019090； （3）﹣1
【解答】解：（1）由已知，|x+1|+|x﹣2|表示有理数x的点到表示数2的点与表示数﹣1的点距离之和；
|x+1|+|x﹣2|表示有理数x的点到表示数2的点与表示数﹣1的点距离之和，最小是2+1＝3；
故答案为﹣1，3；
（2）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的中间一项是|x﹣1010|，
当x＝1010时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|有最小值，
∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|＝2×（1+2+…+1009）＝1019090，
∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的最小值为1019090；
（3）∵|y﹣3|+|1﹣x|+|z﹣5|＝10﹣|x+4|﹣|1﹣z|﹣|y﹣2|，
∴|y﹣3|+|1﹣x|+|z﹣5|+|x+4|+|1﹣z|+|y﹣2|＝10，
∴|y﹣3|+|1﹣x|+|z﹣5|+|x+4|+|1﹣z|+|y﹣2|＝10≥|2x+2y+2z﹣8|，
∴﹣10≤2（x+y+z）﹣8≤10，
∴﹣1≤x+y+z≤9，
∴x+y+z的最大值为9与最小值为﹣1．
9.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【答案】（1）﹣i，1； （2）7﹣i；（3）i．
【解答】解：（1）i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1．
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2
＝3﹣i+4
＝7﹣i；
（3）i+i2+i3+…+i2017
＝i﹣1﹣i+1+…+i
＝i．
10．如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）AB＝ ；t＝1时，点Q表示的数是 ；当t＝ 时，P、Q两点相遇；
（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；
（3）如图3，若点M为线段AP的中点，点T为线段BQ中点，则点M表示的数为 ；点T表示的数为 ；MT＝ ．（用含t的代数式填空）
【答案】（1）15，6，3 （2） 7.5（3）t﹣6，9﹣t，15﹣t；
【解答】解：（1）AB＝9﹣（﹣6）＝15，
t＝1时，BQ＝3，OQ＝6，
设t秒后相遇，由题意（2+3）t＝15，t＝3，
故答案为15，6，3
（2）答：MN长度不变，理由如下：
∵M为AP中点，N为BP中点
∴MP＝AP，NP＝BP，
∴MN＝MP+NP＝（AP+BP）＝AB＝7.5．
（3）则点M表示的数为t﹣6；点T表示的数为9﹣t；MT＝15﹣t；
故答案为t﹣6，9﹣t，15﹣t；
11．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3
（1）数轴上点A表示的数为 ．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B'C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S
①设点A的移动距离AA′＝x．当S＝4时，x＝ ．
②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，求数轴上点A′表示的数为多少．
【答案】（1）4； （2）① ② 6或2
【解答】解：（1）OA＝BC＝12÷3＝4，
故答案为：4；
（2）当S＝4时，
①若正方形OABC平移后得图2，
重叠部分中AO′＝4÷3＝，AA′＝4﹣＝．
故答案为：；
②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，点A向右或向左移动4÷2＝2，
因此点A′表示的数为4+2＝6或4﹣2＝2，
故点A′所表示的数6或2．
12．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是 ；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）（0，﹣4）； （2）x＝ （3）不存在
【解答】解：（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”，
∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”，
∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”，
故答案为：（0，﹣4）；
（2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4
解得，x＝
答：x＝；
（3）不存在．
若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4，
若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4，
若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在．
13．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为16．
（1）数轴上点B表示的数为 ；
（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S．
①当S＝4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；
②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BF＝BB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．
【答案】（1）﹣5．（2）①点A'表示的数为﹣4或2；②t＝4．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
∵点A表示的数为﹣1，
∴AO＝1，
∴BO＝5，
∴数轴上点B表示的数为﹣5，
故答案为：﹣5．
（2）①∵正方形的面积为16，
∴边长为4，
当S＝4时，分两种情况：
若正方形ABCD向左平移，如图1，
A'B＝4÷4＝1，
∴AA'＝4﹣1＝3，
∴点A'表示的数为﹣1﹣3＝﹣4；
若正方形ABCD向右平移，如图2，
AB'＝4÷4＝1，
∴AA'＝4﹣1＝3，
∴点A'表示的数为﹣1+3＝2；
综上所述，点A'表示的数为﹣4或2；
②t的值为4．理由如下：
当正方形ABCD沿数轴负方向运动时，点E，F表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；
当点E，F所表示的数互为相反数时，正方形ABCD沿数轴正方向运动，如图3，
∵AE＝AA'＝×2t＝t，点A表示﹣1，
∴点E表示的数为﹣1+t，
∵BF＝BB′＝×2t＝t，点B表示﹣5，
∴点F表示的数为﹣5+t，
∵点E，F所表示的数互为相反数，
∴﹣1+t+（﹣5+t）＝0，
解得t＝4．