人教版数学八上高分突破训练专项04 全等三角形基本模型（4大模型）（2份，原卷版+解析版）

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模型一：平移型

模型二：翻折型

模型三：旋转型

模型四：一线三垂直型



【类型一：平移型】
【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： .
【解答】证明：
，即 .
∴在 和 中，
.
【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．
【解答】证明：∵，
∴
在和中
∵
∴
∴．
【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD．
【解答】证明：
在和中，
【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：．
【解答】证明：∵，
∴即，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC=DF．
【类型二：翻折型】
【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．
【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△BAC和△BDC中，
∴△BAC≌△BDC，
∴AC＝DC．
【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ．
求证： ．
【解答】证明：∵ 是 的角平分线（已知），
∴ （角平分线定义），
在 与 中，
∵
∴ ．
【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【解答】解：在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠C．
【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.
【解答】证明：如图，记的交点为O，
∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC.
【类型三：旋转型】
【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．
【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABO和△EDO中
，
∴△ABO≌△EDO．
【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中 ，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
【典例4】如图，，，，求证：.
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴.
【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，
∵AE＝AB，AC=AF，
∴△EAF≌△BAC，
∴EF＝BC；
（2）解：∵△EAF≌△BAC，
∴∠AEF=∠ABC＝65°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC＝65°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.
【类型四：一线三垂直型】
【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．
（1）求证：MN＝BM+CN；
（2）求证：∠BAC＝90°．
【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），
∴BM＝AN，CN＝AM，
∴MN＝AM+AN＝BM+CN；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，
∴a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【变式5-2】在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 .
（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，
①求证： ≌ ；
②求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
【解答】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
1．如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．
【解答】证明：∵，
∴，
在和△CDE中，
，
∴．
2．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．
【解答】证明：∵DC∥AB，
∴∠D=∠B，
在△COD与△AOB中，
，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴DC=AB．
3．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BＦ＋FC＝CE＋FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
4．如图，等边的内部有一点D，连接BD，以BD为边作等边，连接AD，CE，求证：．
【解答】证明：∵ABC和DBE为等边三角形
∴∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB
∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC即∠ABD=∠CBE
在ABD和CBE中
∴AD=CE
5．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.
【解答】证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.
6．如图，点 在一条直线上， ，求证： .
【解答】证明：
∴ 即
在△ABE和△DCF中 ∴△ABE≌△DCF．
∴
7．如图，已知AB、CD相交于点O，且AD=CB，AB=CD．求证：∠A=∠C．
【解答】证明：连接BD，如图，
在△ABD和△CDB中，
∵AD=CB，AB=CD，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A=∠C．
8．已知：如图，A、C、F、D在同一条直线上，且ABDE，AF＝DC，AB＝DE，求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AD+CF＝CF+DF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
9．如图：点E、F在BC上， ， ， ，AF与DE交于点G.过点G作 ，垂足为H.
（1）求证：
（2）求证：
【解答】（1）证明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DEC，
∴EG=GF，
∵GH⊥BC，
∴∠EGH=∠FGH.
10．如图，AD平分 .
（1）求证： ：
（2）若 ，求 的度数.
【解答】（1）证明： 平分 .
又
（2）解： .
又 .
又 .
又 .
11．如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵是的外角，
∴．
又∵，∴．
（2）解：在和中，
，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
12．如图，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点．
求证：
（1）；
（2）．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
即，
在和中
，
（2）解：由（1）全等可知：
，，
，
13．如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△DBE．
（2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD，
∴∠ABD＝∠AED，
又∵∠AED＝∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠C，
∵∠CBE＝50°，
∴∠BEC＝∠C＝65°．
14．已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，
求证：（1）AE∥FB，
（1）DE=CF.
【解答】（1）证明：在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴DE=CF．
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）求证：∠ABE=∠CAD
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠HBD＝∠CAD，
∵∠HBD＝∠ABE，
∴∠ABE=∠CAD
（2）解：AB＝BD+DH
理由是：∵在△BDH和△ADC中
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
16．如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M.
（1）求证：BE=AD；
（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.
【解答】（1）证明：如图1，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）α
（3）解：△CPQ为等腰直角三角形
证明：如图2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形.