人教版数学八上高分突破训练专项10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用（2份，原卷版+解析版）

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△ABC中 , AD是BC边中线
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE


方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN


倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中）
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中）
【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△MDB中
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7
【答案】D
【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，
延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，
∵AD＝x，
∴AE＝2x，
在△BDE与△CDA中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，
即5+9＞2x，9﹣5＜2x，
∴2＜x＜7，
故选：D．
【变式1-2】（2019秋•贵港期中）如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．
求证：AB+AD＞2AE；
【解答】证明：（1）延长AE到M，使AE＝EM，连接DM，
∵AE为△ABD的中线，
∴BE＝DE，
在△AEB和△MED中
∴△AEB≌△MED（SAS），
∴AB＝DM，
在△AMD中，AD+DM＞AM，
即AB+AD＞2AE；
【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
1．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对
【解答】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE
∴△ACD≌△EBD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，
∴4＜AE＜20，
∴2＜AD＜10．
故选：A．
2．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF．
3．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
【解答】（1）结论：若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD＝DE；
证明：当AC∥BE时，
∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
当AD＝DE时，
∵点D是BC中点，
∴BD＝DC，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
4．（2021秋•汉阳区校级月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【解答】解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分线，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
5．（2020秋•津南区期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．
【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE
6．（2021秋•南召县期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．
【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
7．（2021秋•通榆县期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
8．（2021春•历下区期中）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
9．（2020秋•大安市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C．
（3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中，，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，
∴DF＝DC，
在△ADF与△ADC中，，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
10．（2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6则AD的取值范围是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．
【解答】解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，
∵AD＝DM，BD＝CD，∠ADC＝∠MDB，
∴△ADC≌△BDM，
∴BM＝AC，
在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，
即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7．
故选：C．
（2）∵△ADC≌△MDB，
∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠MFB＝∠AFE，
∴∠BMF＝∠BFM，
∴BM＝BF，
∴AC＝BF．
11．（2019秋•新吴区期中）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）阅读理解：
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（2）问题解决：
解：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵CD＝DB，DF＝DG，∠CDF＝∠BDG，
∴△CDF≌△BDG（SAS）
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°，
理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴∠D＝∠CBN，且CD＝CB，DF＝BN，
∴△CDF≌△CBN（SAS）
∴CF＝CN，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BN＝EN，
在△CEF和△CEN中，
，
∴△CEF≌△CEN（SSS）
∴∠FCE＝∠NCE＝∠FCN＝∠DCB，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠A+2∠ECF＝180°．