人教版数学八上高分突破训练专项12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用（2份，原卷版+解析版）

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秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等
角平分线＋垂直构造全等模型：

【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【答案】略
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【答案】略
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【变式1-2】（秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【答案】（1）略 （2）BE＝1，AE＝4．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【典例2】（2021秋•江岸区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）若∠DAB＝60°，求证：AB＝3CD．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AD于点F，则∠EFD＝∠EFA＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴EC＝EF，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△EAB和Rt△EAF中，
，
∴Rt△EAB≌Rt△EAF（HL），
∴∠EAF＝∠EAB，
∴AE是∠DAB的平分线．
（2）证明：∵∠DAB＝60°，∠EAF＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝60°，
∴∠DEC＝30°，∠DEA＝90°，
∴DE＝2CD，AD＝2DE，
∴AD＝4CD，
在△DEF和△DEC中，
，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴DF＝DC，
∴AF＝AD﹣DF＝4CD﹣CD＝3CD，
∵Rt△EAB≌Rt△EAF，
∴AF＝AB，
∴AB＝3CD．
【变式2-1】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【解答】证明：（1）如图，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵CB＝CD，∠CEB＝∠CFD＝90°，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠CDF，EB＝DF．
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°．
（2）∵∠CAF＝∠CAE，∠F＝∠CEA＝90°，AC＝AC，
∴△AFC≌△AEC（AAS）．
∴AF＝AE．
∵AF＝AD+DF，EB＝DF，
∴AF＝AD+EB．
∵AE＝AB﹣EB，
∴AF+AE＝AD+AB，
∴AD+AB＝2AE．
【变式2-2】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
【解答】解：连接FB，过F作FI⊥AC，垂足为I，
∵AD平分∠CAB，FI⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FI，
又FG垂直平分BC，
∴FC＝FB，
在Rt△FIC与Rt△FHB中，
，
∴Rt△FIC≌Rt△FHB（HL），
∴CI＝BH，
在Rt△FIA与Rt△FHA中，
，
∴Rt△FIA≌Rt△FHA（HL），
∴AI＝AH，
∴AB＝AH+HB＝AI+BH＝AC+CI+HB＝AC+2BH，
∵AB＝10，BH＝2，
∴AC＝6．
1．（2022•任城区校级三模）如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝AB+DC＝12，即AB+4＝12．
∴AB＝8．
故选：D．
2．（2021秋•长丰县期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝ ．
（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（AAS），
∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，
∴AB+AD＝2AF，
∵AB＝12，AD＝8，
∴AF＝10，
故答案为：10．
（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE＝S△DCF，
设△BEC的面积为x，
∵△ABC的面积是24，△ADC面积是16，
∴24﹣x＝16+x，
∴x＝×（24﹣16）＝4．
即△BEC的面积等于4，
故答案为：4．
3．（2022春•驿城区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，BE＝CF．
求证：AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是△ABC的角平分线．
4．（2021秋•东莞市校级期末）点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；
（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E为DF的中点，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB；
（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠DEC＝35°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，
∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAB＝35°；
（3）证明：如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，
又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
6．（2021春•驿城区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝20，AC＝16，求AF的长．
【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE．
设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝20﹣x＝AC＝16，
解得：x＝4．
∴AF＝16﹣4＝12．
7．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
8．（2017秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分线段BC，AE平分∠BAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G．
（1）求证：BF＝CG．
（2）若AB＝8，AC＝6，求AF的长．
【解答】（1）证明：连接BE、EC．
∵BD＝DC，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵EA平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
在RT△EFB和RT△EGC中，
，
∴△EFB≌△EGC，
∴BF＝CG．
（2）证明：在RT△AEF和RT△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG，
∴AF＝AG，
∵△EFB≌△EGC，
∴BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF．
即2AF＝AB+AC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴AF＝7．
9．（2020秋•南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，
∴a＝b＝4t，
∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA＝45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，
∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠OND＝∠ODB，
∴ON＝OD（等角对等边）；
（2）答：BD＝2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△ABE≌△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴AC＝2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE＝90°，
又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC＝∠OBD，
在△OAC与△OBD中，，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD＝AC，
∴BD＝2AE；
（3）OG的长不变，且OG＝4t．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH＝90°，
∵∠BPF＝90°，
∴∠BPO+∠FPH＝90°，
∴∠FPH＝∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP＝FP，
在△OBP与△HPF中，，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，
∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，
∴AH＝OA+AP＝OP，
∴FH＝AH，
∴∠GAO＝∠FAH＝45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG＝OA＝4t．