人教版数学八上高分突破训练专项14 等腰三角形分类讨论问题综合应用（2份，原卷版+解析版）

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类型一：腰和底不明时需讨论
类型二：顶角和底角不明时需讨论
类型三：涉及中线、高位置的讨论
类型四：等腰三角形个数的讨论
类型五：动点引起的分类讨论
【考点1 腰和底不明时需分类】
【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
【答案】B
【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是8，8．
4+8＞8，符合条件．成立．
故周长为：4+8+8＝20．
故选：B
【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 ．
【答案】14cm或16cm
【解答】解：当4cm为腰时，三边为4cm、4cm、6cm，可以构成三角形，
∴周长为：4+4+6＝14（cm）；
当6cm为腰时，三边为为6cm、6cm、4cm，可以构成三角形，
∴周长为：6+6+4＝16（cm）；
综上，周长为14cm或16cm．
故答案为：14cm或16cm．
【考点2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50°B．50°或65°C．80°D．65°
【答案】B
【解答】解：
当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°，
所以底角为50°或65°，
故选：B．
【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°，则其底角是（ ）
A．40°B．100°C．80°D．100°或40°
【答案】A
【解答】解：当100°为顶角时，其他两角都为40°、40°，
当100°为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于90°，故底角不能为100°，
所以等腰三角形的底角为40°、40°．故选A
【变式2-2】（2020秋•慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是（ ）
A．20°B．50°C．60°D．80°
【答案】C
【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°，另外两个角的度数都为50°；
当100°的角是底角的外角时，两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°，顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故∠A的度数不能取的是60°．
故选：C．
【考点3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ）
A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故选：D．
【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
【答案】D
【解答】解：当高在三角形内部时，如图1，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，
∴∠A＝60°；
∴顶角是60°；
当高在三角形外部时，如图2，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角是120°．
故选：D．
【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为 ．
【答案】75°或15°
【解答】解：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD＝60°，
则∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°；
如图（2），∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．
故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．
故答案为：75°或15°．
【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC各边的长．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
设AD＝CD＝xcm，BC＝ycm，
分两种情况：
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为8cm，8cm，11cm；
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为10cm，10cm，7cm；
综上所述：△ABC各边的长为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．
【变式4】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是 ．
【答案】8或4
【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，
∵其中一部分比另外一部分长2，
∴腰比底大2或底比腰大2，
∴腰为8或4．
故答案为：8或4．
【考点4 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【解答】解：如图所示：
分三种情况：
①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置；
②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置；
③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，
故选：B．
【变式5-1】如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【解答】解：分三种情况：如图：
当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，
当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，
当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故选：C．
【变式5-2】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：分三种情况，如图：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
当BA＝BP时，以B为圆形，BA长为半径画圆，交直线BC于P1，P2两个点，
∵BA＝BP2，∠ABC＝60°，
∴△ABP2是等边三角形，
∴AB＝BP2＝AP2，
当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P2，
当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P2，
综上所述，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，
故选：B．
【考点5 动点引起的分类】
【典例6】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝2，
∴AB＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【变式6】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，求∠BDA的度数为多少时，△ADE是等腰三角形．
【解答】解：（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大，
∴∠BDA逐渐变小，
故答案为：30，110，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）若AD＝DE时，
∵AD＝DE，∠ADE＝40°
∴∠DEA＝∠DAE＝70°
∵∠DEA＝∠C+∠EDC
∴∠EDC＝30°
∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
若AE＝DE时，
∵AE＝DE，∠ADE＝40°
∴∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠AED＝100°，
∵∠DEA＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
由题意知AD＝AE不可能，
综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．
1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）cm．
A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8
【答案】C
【解答】解：5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8，
∵5+5＞8，
∴5cm、5cm、8cm能组成三角形；
5cm是底边时，腰长为（18﹣5）＝6.5cm，
5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6.5或5cm．
故选：C．
2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）
A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；
当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．
故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．
故选：C．
3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则其底角为（ ）
A．65°B．32.5°
C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°
【答案】C
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得顶角是90°+25°＝115°，
则其底角为（180°﹣115°）÷2＝32.5°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°，
则其底角为（180°﹣65°）÷2＝57.5°．
故选：C．
4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm，一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，该三角形的腰长是 cm．
【答案】8或6
【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边长是ycm，
根据题意得或，
解得或，
∵8、8、5与6、6、9都能组成三角形，
∴该三角形的腰长为8cm或6cm．
故答案是8或6．
5．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）
A．45°或36°B．72°或36°
C．45°或72°D．45°或36°或72°
【答案】C
【解答】解：①设三角形底角为α，顶角为2α，
则α+α+2α＝180°，
解得：α＝45°，
②设三角形的底角为2α，顶角为α，
则2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
∴2α＝72°，
∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，
故选：C．
6．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】B
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点C1，C2，C3即为所求；
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，则点C4，C5，C6即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，则点C7，C8即为所求；
综上所述：符合条件的点C的个数是8，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当∠BDA的度数是 时，△ADE是等腰三角形．
【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变小，
故答案为：小；
（2）分三种情况：
当AD＝AE时，
∴∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED＞∠C，
此种情况不存在，
当DA＝DE时，
∵∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝∠DEA＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°，
当EA＝ED时，
∴∠EAD＝∠ADE＝40°，
∵∠C＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°，
综上所述：∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
8.（秋•宝应县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；
（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1） 20 （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE
（3）当∠BAD＝30°或60°时，△ADE能成为等腰三角形
【解答】解：（1）∵∠BAD＝20°，∠B＝40°，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE；
理由：∵∠ADE＝40°，∠B＝40°，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC．
∴∠BAD＝∠EDC．
在△ABD和△DCE中，
．
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）能，当∠BAD＝30°或60°时，△ADE能成为等腰三角形．
理由：①当∠BAD＝30°时，
∵∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∵∠ADE＝40°，∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴DA＝DE，
∴△ADE为等腰三角形；
②当∠BAD＝60°时，
∵∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∵∠ADE＝40°，∠BAD＝60°，∠DAE＝40°，
∴EA＝ED，
∴△ADE为等腰三角形．
综上所述，当∠BAD＝30°或60°时，△ADE能成为等腰三角形。