人教版数学八上高分突破训练专项16 轴对称之将军饮马模型（2份，原卷版+解析版）

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基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【典例1】（2022春•漳州期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．
故选：D．
【变式1】（2021春•成都期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
【典例2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【变式2-1】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】C
【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝5，
∵•BC•AD＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故选：C
【变式2-2】（2021秋•甘南县期末）如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（ ）
A．4B．6C．7D．10
【答案】C
【解答】解：∵直线l垂直平分AB，
∴A，B关于直线l为对称，
∴F与D点重合时，AF+CF最小，最小值是BC＝4，
∴△ACF周长的最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝3+4＝7，
故选：C．
【变式2-3】（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（ ）
A．3B．C．3.5D．
【答案】A
【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．
【典例3】（2021春•西乡县期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】D
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．
故选：D
【变式3-1】（2021秋•海珠区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．21B．7C．4D．2
【答案】B
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则CM+DM＝AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，
∴AD的长为CM+MD的最小值．
故选：B．
【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称．
连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴AD⊥BC．
∵S△ABC＝16，BC＝4，
∴AD＝＝＝8．
∵MA＝MC，
∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．
故选：D
【典例4】（2020秋•郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，
由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，
∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，
此时△PEF周长最小，
∵PO＝OP'，OP＝OP''，
∴OP'＝OP''，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∴△OP'P''是等边三角形，
∵OP＝1，
∴P'P''＝1，
故选：D．
【变式4-1】（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．5B．15C．20D．30
【答案】B
【解答】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∵OD＝OE＝15，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，
而∠MON＝50°，
∴∠P1OP2＝100°，
∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．
【典例5】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．130°
【答案】C
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60°B．90°C．100°D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
【变式5-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．aB．2a﹣180°C．180°﹣aD．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
∴B1的坐标（3，﹣2）；
（2）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于P，
则点P即为所求．
【变式6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小.
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
从图象看，B1点的坐标是（﹣3，2）．
（2）A点关于x轴的对称点A′坐标为（4，﹣4），
连接A'B交x轴于P点，则PA+PB＝PA'+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，
1．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．
故选：C．
2．（2022•海港区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6B．8C．6D．4.8
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝9.6．
故选：A．
3．（2022春•定海区期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQB．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQD．路线：PE→EF→FQ
【答案】C
【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
4．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．115°C．120°D．130°
【答案】B
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
5．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7B．6C．9D．10
【答案】D
【解答】解：如图所示，连接BM，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴AM+CM＝BM+CM，
当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，
又∵AC＝4，BC＝6，
∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，
故选：D．
6．（2021秋•海丰县期末）如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，
∵OE为∠AOB的角平分线，
∴DP＝CP，
∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此时PC+PB的值最小，
∵∠AOB＝30°，OB＝6，
∴BD＝3，
故选：A．
7．（2022春•茌平区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）
【答案】C
【解答】解：如图，将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ，EF∥PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形，
∴FP＝QE，
作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，
则PF'＝PF，F'（6，﹣2），
∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF'最小，
即AP+EQ最小，
∵A（0，4），F'（6，﹣2），
∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4，
∴P（4，0），
故选：C．
8．（2021秋•北安市校级期末）如图，等边三角形ABC的边长为6，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．10B．12C．16D．18
【答案】B
【解答】解：连接CA1交BC1于点E，
∵直线l⊥AB，且△ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∴A，B，A1共线，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，
∴∠CBC1＝60°，
∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，
∴BD⊥CA1，CD＝DA1，
∴C，A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝12，
故选：B．
9．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【答案】C
【解答】解：如图：
过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．6
【答案】B
【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．
故选：B．
11．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是 °．
【答案】100
【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．
故答案为：100．
12．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 ．
【答案】128°
【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，
∴AM＝EM，AN＝NF，
∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，
由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，
∵∠BAD＝116°，
∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，
∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，
∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，
故答案为：128°．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，﹣4）．
（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：（1）如图所示；C点坐标为；（4，﹣4），D点坐标为：（﹣4，4）；
（2）连接BD交y轴于点P，P点即为所求；