人教版数学八年级上册【阶段复习】专题01 三角形（培优卷）（原卷+解析）

这是一份人教版数学八年级上册【阶段复习】专题01 三角形（培优卷）（原卷+解析），共29页。试卷主要包含了5°，∠BAC＝∠BAO＝22，5°，解得∠A＝45°；等内容，欢迎下载使用。
1.（2020秋•薛城区期末）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，则∠BDC＝（ ）
A．35°B．40°C．30°D．45°
2．（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（ ）
A．24°B．28°C．32°D．36°
4．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2018，则∠A2018的度数是（ ）
A．B．C．D．90°+
5．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
7．（2021春•宣汉县期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝70°，则∠BOC＝ ．
8．如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是 ．
9．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB＝∠ADB；
③∠ADC+∠ABD＝90°；
④，其中正确的结论有 ．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝ ．（用含α的式子表示）
三、解答题
13．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
14．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．
（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝ ；
（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝ ；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．
15.（2020春•未央区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
16．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
17．（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数.
18．如图①，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝ ；∠E＝ ．
19．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．
20．小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
专题01 三角形（培优卷）
选择题
1.（2020秋•薛城区期末）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，则∠BDC＝（ ）
A．35°B．40°C．30°D．45°
【答案】A
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故选：A．
2．（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：延长BC交AD于E，
∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，
∵∠BCD是△CDE的一个外角
∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，
故选：C．
3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（ ）
A．24°B．28°C．32°D．36°
【答案】B
【解答】解：如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
故选：B．
4．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2018，则∠A2018的度数是（ ）
A．B．C．D．90°+
【答案】B
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝•α＝，
∴∠An＝，
∴∠A2018＝．
故选：B．
5．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16
【答案】C
【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
7．（2021春•宣汉县期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝70°，则∠BOC＝ ．
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠A＝110°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°．
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×70°＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
8．如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是 ．
【答案】α+β
【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，
∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β
故填α+β．
9．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
【答案】①②④
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①正确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF＝∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴∠D＝∠A，故②正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB＝∠ADB；
③∠ADC+∠ABD＝90°；
④，其中正确的结论有 ．
【答案】①③④
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故②错误；
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，
故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ABD＝90°，
∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣∠BDC，
故④正确；
故答案是：①③④．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝ ．
【答案】6
【解答】解：连接BE，GE．
∵∠1是△ADH的外角，
∴∠1＝∠A+∠D，
∵∠2是△JHG的外角，
∴∠1+∠G＝∠2，
∴在四边形BEFJ中，∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF＝360°…①，
在△BCE中，∠EBC+∠C+∠BEC＝180°…②，
①+②得，∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC＝360°+180°＝540°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°，
∴n＝＝6．
∴n＝6．
故答案为：6．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝ ．（用含α的式子表示）
【答案】120°+α
【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
在△ADC与△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，
∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，
∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，
∴∠EDC＝∠ADC＝150°，
∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∵ED＝AD，
∴△EDA为等边三角形，
∴∠EAD＝∠AED＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB是∠EAD的角平分线，
∵AB是ED的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，
∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∴∠EDB＝∠BED＝30°﹣α，
∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α
＝120°+α，
故答案为：120°+α．
三、解答题
13．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°﹣x，
n＝12…40°．
故这个多边形的边数是12．
（2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°+x，
n＝12…40°．
180°﹣40°＝140°，
故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．
14．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．
（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝ ；
（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝ ；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．
【解答】解：（1）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+45°＝135°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN＝67.5°，∠BAC＝∠BAO＝22.5°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°；
（2）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+60°＝150°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN＝75°，∠BAC＝∠BAO＝30°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝75°﹣30°＝45°；
（3）∠C不会随A、B的移动而发生变化．
理由如下：根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠C＝45°．
15.（2020春•未央区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）∠BAE＝40° （2）∠DAE＝20° （3）可以，∠DAE＝20°
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝40°；
（2）∵AD⊥BC，∠B＝70°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
而∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝20°
（3）可以．
理由如下：
∵AE为角平分线，
∴∠BAE＝，
∵∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝﹣（90°﹣∠B）＝，
若∠B﹣∠C＝40°，则∠DAE＝20°．
16．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．
17．（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数.
【答案】（1）130° （2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
18．如图①，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝ ；∠E＝ ．
【解答】解：（1）∠ACB的大小不变．
在△AOB中，由∠AOB＝80°，得∠OAB+∠OBA＝100°，
因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB＝∠OAB，∠CBA＝∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA＝（∠OAB+∠OBA）＝×100°＝50°，
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣50°＝130°；
（2）∠E的大小不变．
证明：因为AC、AD分别平分∠OAB和∠BAM，
所以∠CAB＝∠OAB，∠DAB＝∠BAM，
所以∠CAB+∠DAB＝（∠OAB+∠BAM）＝×180°＝90°，
即∠CAD＝90°，
所以∠CAE＝90°，
又由（1）可知∠ACB＝130°，
所以∠ACE＝50°，
在△AEC中，由∠CAE＝90°，∠ACE＝50°，得
∠E＝180°﹣90°﹣50°＝40°；
（3）∠ACB＝90°+，∠E＝．
理由：因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB＝∠OAB，∠CBA＝∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA＝（∠OAB+∠OBA），
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（180°﹣∠AOB）＝90°+∠AOB＝90°+；
因为BC、AD分别平分∠OBA和∠BAM，
所以∠ABE＝∠OBA，∠DAB＝∠BAM，
因为∠BAM是△ABO的外角，
所以∠O＝∠BAM﹣∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
∴∠E＝∠DAB﹣∠ABE＝∠BAM﹣∠OBA＝（∠BAM﹣∠ABO）＝∠O＝n．
故答案为：90°+，．
19．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．
【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）解：【问题探究】∠P＝52°，
理由：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；
【拓展延伸】
由（1）可知：∠C+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠C+∠CAP＝∠P+∠PDC，∠B+∠BDP＝∠P+∠PAB，
∴∠C+∠CAP+∠B+∠BDP＝2∠P+∠PDC+∠PAB，∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B，
∴2∠P＝∠C+∠CAP+∠B+∠BDP﹣∠PDC﹣∠PAB，
∵∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BDP＝∠CDB，∠PAB＝∠CAB，
∴2∠P＝α+β+∠CAB+∠CDB﹣∠CDB﹣∠CAB＝α+β+∠CDB﹣∠CAB＝α+β+（∠CDB﹣∠CAB）＝α+β+（∠C﹣∠B）＝α+β+（α﹣β）＝，
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
20．小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，
∵CD是AB边上的高线，
∴CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】解：相等．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，∠ACD＝∠B，
∴∠CFE＝∠CEF；
【探究延伸】解：∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．