人教版数学八年级上册【阶段复习】专题02 全等三角形（培优卷）（原卷+解析）

这是一份人教版数学八年级上册【阶段复习】专题02 全等三角形（培优卷）（原卷+解析），共28页。试卷主要包含了2＝0等内容，欢迎下载使用。

A．4B．3C．2D．1
2．如图，在△ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，且∠BAO＝45°，顶点B的坐标为（﹣1，3），P为AB边的中点，将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1，0）上时，点P的对应点P′的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 ．
5.如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： ．（填序号）
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD＝180°；
③AC＝2BE+CE；
④AC＝2CD﹣CE．
6．（2019秋•樊城区期中）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．
（1）求证：AE＝CD；
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由；
（3）设CD、AE相交于点G，求∠AGC的度数．
7．（2020秋•牡丹江期中）已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，点D在直线BC上，连接CE．
（1）若点D在线段BC上，如图1，求证：CE＝BC﹣CD；
（2）若D在CB延长线上，如图2，若D在BC延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；
（3）若CE＝10，CD＝4，则BC的长为 ．
8．（2020秋•天河区校级期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求证：△OAP≌△OBC；
（2）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
9．（2018秋•蔡甸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），
∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．
（1）求证：∠ABO＝∠CAD；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．
10．（洪山区期中）如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣5）2＝0
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE延长线于D，试求点D的坐标；
（3）如图，M、N分别为OA、OB边上的点，OM＝ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系并证明你的结论．
11．（2022秋•博罗县期中）如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和y轴上一动点A（0，a），其中a＞0，以A点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．
（1）当a＝2时，则C点的坐标为（ ， ）；
（2）动点A在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）当a＝2时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
12．（花都区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），
①判断∠BCO与∠AEO是否相等（直接写出结论，不需要证明）．
②若OC＝2，求点E的坐标．
（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．
（3）若OC＞4时，请问（2）的结论是否成立？若成立，画出图形，并证明；若不成立，说明理由．
专题02 全等三角形（培优卷）
1．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，且∠BAO＝45°，顶点B的坐标为（﹣1，3），P为AB边的中点，将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1，0）上时，点P的对应点P′的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点P，B分别作PD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∴BE∥PD，
∵P为AB边的中点，
∴D为AE的中点，
∴PD＝BE，
∵∠BAO＝45°，顶点B的坐标为（﹣1，3），
∴AE＝BE＝3，OE＝1，
∴OA＝4，
∴A（﹣4，0），
∵DE＝AE＝，
∴OD＝，
∵PD＝BE＝，
∴P（﹣，），
∵将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1，0）上时，
∴平移距离为5，
∴P的对应点P′的坐标为（，），
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
【答案】D
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 ．
【答案】92°
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案为：92°．
5.如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： ．（填序号）
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD＝180°；
③AC＝2BE+CE；
④AC＝2CD﹣CE．
【答案】①②④
【解答】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
6．（2019秋•樊城区期中）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．
（1）求证：AE＝CD；
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由；
（3）设CD、AE相交于点G，求∠AGC的度数．
【解答】（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝120°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：△BMN为等边三角形，理由为：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB＝∠DCB，
又∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
即∠MBE＝∠NBC＝60°，
在△MBE和△NBC中，
，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM＝BN，∠MBE＝60°，
则△BMN为等边三角形．
（3）解：∵△ABE≌△DBC，
∴∠EAB＝∠BDC，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴∠ABM＝∠DGM，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABM＝60°，
∴∠DGM＝∠ABM＝60°，
∴∠AGC＝120°．
7．（2020秋•牡丹江期中）已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，点D在直线BC上，连接CE．
（1）若点D在线段BC上，如图1，求证：CE＝BC﹣CD；
（2）若D在CB延长线上，如图2，若D在BC延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；
（3）若CE＝10，CD＝4，则BC的长为 ．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB＝AC AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD，
∴CE＝CB﹣CD；
（2）解：当点D在CB的延长线上时，结论：CE＝CD﹣BC，
理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB＝AC AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵DC＝BD+BC，
∴CE＝CD﹣BC；
当点D在BC的延长线上时，结论：CE＝BC+CD，
理由：同当点D在BC的延长线上时的方法得△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∴CE＝BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
（3）解：由（2）知，△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∵CE＝10，
∴BD＝10，
∵CD＝4，
∴点D在线段BC上或在BC的延长线上，
当点D在线段BC的上时，由（1）知，CE＝BC﹣CD，
∴BC＝CE+CD＝10+4＝14，
当点D在BC的延长线上时，由（2）知，CE＝BC+CD，
∴BC＝CE﹣CD＝10﹣4＝6，
8．（2020秋•天河区校级期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求证：△OAP≌△OBC；
（2）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【解答】解（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°，
∴∠AOP＝∠BHP，
∵∠APO＝∠BPH，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）式子S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，
理由如下：如图2，连接OD，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，点D为AB的中点，
∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°，
∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°，
∴∠MOD＝∠NAD，
∵∠ODA＝∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA，
在△MOD和△NAD中，
，
∴△MOD≌△NAD（ASA），
∴S△MOD＝S△NAD，
∵S△AOB＝×4×4＝8，
∵点D为AB的中点，
∴S△DOB＝×S△AOB＝×8＝4，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4．
9．（2018秋•蔡甸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），
∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．
（1）求证：∠ABO＝∠CAD；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．
【解答】解：（1）在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠BAC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，
∵B（0，7），C（7，0），
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCO＝∠DCO＝45°，
∵AF⊥BC，AE⊥CD，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AB＝AD，
同理，△ABO≌△DAG，
∴DG＝AO，BO＝AG，
∵A（﹣3，0）B（0，7），
∴D（4，﹣3），
S四ABCD＝AC•（BO+DG ）＝50；
（3）过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，
∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，
∴EH＝EG，
∵∠BCO＝∠BEO＝45°，
∴∠EBC＝∠EOC，
在△EBH和△EOG中，
，
∴△EBH≌△EOG（AAS），
∴EB＝EO，
∵∠BEO＝45°，
∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，又∠OBC＝45°，
∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°，
∴BF＝BO＝7．
10．（洪山区期中）如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣5）2＝0
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE延长线于D，试求点D的坐标；
（3）如图，M、N分别为OA、OB边上的点，OM＝ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵|a+b|+（a﹣5）2＝0，
∴a＝5，b＝﹣5，
∴点A的坐标为（5，0），点B的坐标为
（0，﹣5），
故答案为：（5，0）；（0，﹣5）；
（2）过C作CK⊥x轴，过D作DF⊥y轴，
∵∠AED＝∠BOK＝90°，
∴∠DBO＝∠OAC，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOK+∠BOC＝90°+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝OD，
在△OCK与△ODF中，
，
∴△OCK≌△ODF（AAS），
∴DF＝CK，OK＝OF，
∴D（﹣2，3）；
（3）延长GP到L，使PL＝OP，连接AL，
在△AON与△BOM中，
，
∴△AON≌△BOM，
∴∠OAN＝∠OBM，
∴∠MBA＝∠NAB，
∵PG⊥BM，OP⊥AN，
∴∠NAB+∠OPA＝∠MBA+∠GPB＝90°，
∴∠OPA＝∠GPB＝∠APL，
在△OAP与△PAL中，
，
∴△OAP≌△PAL，
∴∠POA＝∠L，∠OAP＝∠PAL＝45°，
∴∠OAL＝90°，
∴∠POA＝90°﹣∠POB，∠GAL＝90°﹣∠OAN，
∵∠POB+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAN＝90°，
∴∠POB＝∠OAN，
∴∠POA＝∠GAL，
∴∠POA＝∠GAL＝∠L，
∴AG＝GL，
∴AG＝GL＝GP+PL＝GP+OP．
11．（2022秋•博罗县期中）如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和y轴上一动点A（0，a），其中a＞0，以A点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．
（1）当a＝2时，则C点的坐标为（ ， ）；
（2）动点A在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）当a＝2时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BA，∠BAC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°＝∠BAO+∠CAE，
∴∠ACE＝∠BAO，
在△ACE和△BAO中，
，
∴△ACE≌△BAO（AAS），
∵B（﹣1，0），A（0，2），
∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝2，
∴OE＝1+2＝3，
∴C（﹣2，3），
故答案为：﹣2，3；
（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．
过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BA，∠BAC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°＝∠BAO+∠CAE，
∴∠ACE＝∠BAO，
在△ACE和△BAO中，
，
∴△ACE≌△BAO（AAS），
∵B（﹣1，0），A（0，a），
∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，
∴OE＝1+a，
∴C（﹣a，1+a），
又∵点C的坐标为（c，d），
∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变；
（3）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，
分为三种情况：
①如图，过P作PE⊥x轴于E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°，
∴∠EPB＝∠ABO，
在△PEB和△BOA中，
，
∴△PEB≌△BOA（AAS），
∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2，
∴OE＝2+1＝3，
即P的坐标是（﹣3，1）；
②如图，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，
∵△CAB≌△PAB，
∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP，
∴∠CBP＝90°，
∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°，
∴∠MCB＝∠PBE，
在△CMB和△BEP中，
，
∴△CMB≌△BEP（AAS），
∴PE＝BM，CM＝BE，
∵C（﹣2，3），B（﹣1，0），
∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2，
即P的坐标是（2，1）；
③如图，过P作PE⊥x轴于E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，
∵△CAB≌△PBA，
∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°，
∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°，
∴∠ABO＝∠BPE，
在△BOA和△PEB中，
，
∴△BOA≌△PEB（AAS），
∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，
∴OE＝BE﹣BO＝2﹣1＝1，
即P的坐标是（1，﹣1），
综合上述，符合条件的P的坐标是（﹣3，1）或（2，1）或（1，﹣1）．
12．（花都区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），
①判断∠BCO与∠AEO是否相等（直接写出结论，不需要证明）．
②若OC＝2，求点E的坐标．
（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．
（3）若OC＞4时，请问（2）的结论是否成立？若成立，画出图形，并证明；若不成立，说明理由．
【解答】（1）解：①∠BCO＝∠AEO，
理由如下：∵∠ADC＝90°，
∴∠BCO+∠DAC＝90°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AEO+∠DAC＝90°，
∴∠BCO＝∠AEO；
②∵点A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
在△BOC和△AOE中，
，
∴△BOC≌△AOE（AAS）
∴OE＝OC＝2，
∴点E的坐标为（0，2）；
（2）证明：如图（2），作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，
∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，
∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，
∴DO平分∠ADC；
（3）画出图形，如图（3），
证明：作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，
∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，
∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，
∴DO平分∠ADC．