2023-2024学年北师大版九年级数学上学期期中达标测试B卷(含答案)

这是一份2023-2024学年北师大版九年级数学上学期期中达标测试B卷(含答案)，共21页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E，F，G分别是，，的中点，且，则的长为( )
A.4B.3C.2D.1
2.如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放.小明发现重叠部分（四边形）是菱形，并进行如下所示的推理.
小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“”和“四边形是菱形”之间作补充.下列说法正确的是( )
A.应补充：，
B.小明的推理严谨，不必补充
C.应补充：
D.应补充：
3.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是( )
A.B.7C.5D.
4.如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是( )
A.B.C.D.
5.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元.为了提高销量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价( )
A.10元B.15元C.20元D.25元
6.如图，矩形中，，，点F为边上一点，连接，若线段绕点F顺时针旋转后，点D恰好落在边上的点E处，则的长度为( )
A.2B.1C.3D.1.5
7.若关于x的一元二次方程的两根分别为，1，则关于x的一元二次方程的两根分别为( )
A.，B.，
C.，D.，
8.如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为( ).
A.3B.C.D.
9.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
10.如图，在中，，，,动点P从点C出发，沿方向运动，速度是;同时，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是,则经过__________s后，P，Q两点之间相距.
11.如图，点O是正方形的对角线的中点，点K在边上，连接，分别过点A，C作的垂线，乘足分别为M，N，连接，有以下四个结论：
①；
②；
③是等腰直角三角形；
④，
其中一定正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
12.如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点H落到上，连接.下列结论错误的是( )
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中，，则菱形ABCD的面积为_________.
14.如图，将矩形ABCD绕点C旋转至矩形CEFG，其对角线交点O落在边AD上，连结AF，，点C到直线AF的距离为9，则_______；__________.
15.在0,1,2,3,4,5这六个数中,随机取出一个数记为a,使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是________.
16.对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有一根，则；
②若，则；
③若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；
④若c是方程的一个根，则一定有成立.
其中正确的是______填序号
17.如图,点E是正方形ABCD中BC延长线上一点,连接AE,点F是AE的中点,连接DF,若,,则AE的长为________.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，喜欢思考的小敏设计了如图所示的的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子，棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”.
(1)若小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是______；
(2)若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法求放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率.
19.（8分）用适当的方法解方程：
(1)；
(2).
20.（8分）如图，为平行四边形的对角线，将沿对角线翻折，得到，与边交于点E，连接.
（1）当为等边三角形时，证明：四边形为矩形；
（2）在（1）的条件下，当时，求.
21.（10分）2022年4月24日,第七个“中国航天日”,主题是“航天点亮梦想”.某网店为了弘扬航天精神,致敬航天人,特推出“神舟十三号”模型.已知该模型平均每天可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该网店准备适当降价,经过一段时间测算,发现每个模型每降低1元,平均每天可多售出2个.
（1）若每个模型降价4元时,平均每天可售出多少个模型?此时每天销售获利多少元?
（2）在每个盈利不少于25元的前提下,要使该模型每天销售获利为1200元,同每个模型应降价多少元?
（3）该模型每天的销售获利能达到1300元吗?如果能,请写出降价方案,如果不能,请说明理由.
22.（12分）如图,正方形ABCD中,点E在边BC上,为等腰直角三角形.
（1）如图,当时,求证:;
（2）如图,当时,点F恰好落在CD的延长线上,取EF的中点P,连接PD,求证:.
23.（13分）综合与实践
问题背景：已知在等边中，D是直线上一点，以为边向右作菱形，且，连接.
猜想验证：
（1）如图1，若D是线段上一点，则与之间的数量关系为________.
（2）如图2，若D是射线上一点，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明.
（3）如图3，若D是射线上一点，，，请直接写出的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：如图，，
四边形是矩形，
，
.
故选：D.
2.答案：A
解析：，且，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
故选项A正确；
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，
故选项B不符合题意；
从无法证得，
故选项C不符合题意；
菱形的对角线不一定相等，
故选项D不符合题意.
故选：A.
3.答案：C
解析：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
.
故选：C.
4.答案：B
解析：在第二个转盘中，4对应的圆心角度数是，相当于4出现两次，3出现一次，画树状图如图.
由图可知，一共有6种等可能的情况，其中两次都是偶数的有2种情况，故摇奖人中一等奖的概率是，故选B.
5.答案：D
解析：设每件衬衣应降价x元.根据题意，得，整理，得，解得，.商场要尽快减少库存，应舍去，.故选D.
6.答案：A
解析：由题意，，，
，
由矩形性质，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
.
故选：A.
7.答案：B
解析：把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，关于x的一元二次方程的两根分别为，1，或，解得，，即关于x的一元二次方程的两根分别为，.
8.答案：D
解析：面积为16的正方形纸片，
，，，
正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，
，，，，，
，，，，
，，
，
设，则，，
在中，，
，解得，
，
，
，，
，
，
，
，
同理：，
，
.
故选D.
9.答案：C
解析：A、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故A选项不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意.
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故C选项符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故D选项不符合题意；
故选：C.
10.答案：10
解析：设x秒后P、Q两点相距25cm
则，，
由题意得，，
解得，，(舍去)，
则10秒后PQ两点相距25cm.
故答案是：10.
11.答案：B
解析：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，故①正确；
，故②正确；
如图，连接，
点O是正方形的中心，
，，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，故③正确；
由于点K可以在上移动，没有条件可以证明，故④不一定正确；
故选：B.
12.答案：D
解析：A.由折叠可知和分别是和的平分线.
又，
，
故选项A正确.
B.又点A与点G关于对称，
，
又，
，
故选项B正确.
C和D.如答图，过点C作于点M.
，
，
，
易知，，
设，
，，
点E是的中点，折叠后点H落到上，
点G与点H重合，.
易知点C，G，F共线，
.
，
，
解得.
，，
，
故选项C正确，选项D错误.
综上，故选：D.
13.答案：14
解析：在菱形ABCD中，，，
菱形ABCD的面积为.
14.答案：，
解析：如图，连结CF，CA，作，取FM中点N，
O为CF中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
设，
故，.
15.答案：
解析:当时,该方程不是一元二次方程,
当时,
解得
,2时,关于x的一元二次方程有实数解
随机取出一个数记为a,使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是
故答案为:
16.答案：①②③
解析：①若方程有一根，则，故正确；
②若，则可知方程有一个根为，
则，故正确；
③若方程的两个根是，，
则或，
所以方程的两个根为，，故正确；
④若c是方程的一个根，
则，
当时，则一定有成立，故错误.
所以其中正确的是①②③.
故答案为：①②③.
17.答案：
解析:如图所示,过点F作分别交AD,BC于G,H,则四边形GDCH为矩形,
,,,
四边形ABCD是正方形,
,,
点F是AE的中点,
,
又,
,
,,
在中,由勾股定理得,
,,
,
,
在中,由勾股定理得,
故答案为:.
18.答案：(1)；
(2)；
解析：(1)棋盘内已有四枚棋子，在剩余的5个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是1、2、5三个位置，
出现“三连珠”的概率是，
故答案为：；
(2)根据题意画树状图如下：
共有20个等可能的结果，两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的有2种，
两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率为.
19.答案：（1），
（2），
解析：（1）整理成一般形式，得
，，，
，
，
即，；
（2）
因式分解，得，
即，
所以或
所以，.
20.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：为等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，即B、A、三点共线，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形；
（2）由（1）可知，，，，
在中，，，
.
21.答案：（1）28,1008
（2）10
（3）1300
解析:（1）(件),
(元).
答:均每天可售出28件模型,此时每天销售获利1008元.
（2）设每件模型应降价x元,则每件盈利元,每天可售出件,
依题意得:,
整理得:,
解得:,.
又每件盈利不少于25元,
.
答:每件模型应降价10元.
（3）该模型每天的销售获利不能达到1300元,理由如下:
设每件模型应降价y元,则每件盈利元,每天可售出件,
依题意得:,
整理得:.
,
该方程无实数根,
即该模型每天的销售获利不能达到1300元.
22.解析:（1）证明:在AB上截取 QUOTE AB上截取BM=BE ,得 QUOTE ∠BME=45° ,
四边形ABCD是正方形,
, QUOTE ∵四边形ABCD是正方形 QUOTE ∴AB=BC,∠BCD=90° ,
,,
,,
, QUOTE ∴ΔAME≅ΔECF∴∠AME=∠ECF=135° , QUOTE ∴∠DCF=45° .
方法二
（2）在CD上截取 QUOTE CD上截取DN=DF ,连接EN QUOTE EN ,
QUOTE ∵∠BAD=∠EAF=90° ,
QUOTE ∴∠BAE=∠DAF ,
, QUOTE ∵AB=AD,AE=AF ,
QUOTE ∴ΔABE≅ΔADF ,
QUOTE ∴BE=DF ,
QUOTE ∴CE=CN ,
在中, QUOTE 在RtΔECN中，CE=22EN ,
, QUOTE ∵PE=PF,DN=DF ,
QUOTE ∴EN=2PD ,
QUOTE ∴CE=2PD．
23.答案：（1）
（2），见解析
（3）
解析：（1），理由为：
菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：.
（2）.
理由：是等边三角形，
，.
四边形是菱形，
，.
，，
，
，
，.
.
，
.
，
.
（3）.
如图，过点A作于点O.
是等边三角形，
，
，
.
，
在中，
根据勾股定理，得，
.
由（2）知，
，
的长为.
如图，过点A分别作，的垂线，垂足分别为点E，F，则.
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形.
1
2
3
4
5