第1章 直角三角形的边角关系 北师大版九年级数学下册单元综合练习题(含详解)

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2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合练习题（附答案）一、单选题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则sinA= (  )A．35 B．45 C．53 D．542．若△ABC的内角满足|cosA-12|+|tanB-33|=0，则△ABC的形状是（　　）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．则AB可表示为（    ）A．7sin28° B．7cos28° C．7cos28° D．7sin28°4．如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=42°,BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（    ）A． B．C． D．5．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，沿BE进行翻折，使A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（     ）A．6 B．3 C．23 D．36．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（   ）A．31010 B．12 C．13 D．10107．如图，从点P观测点B的俯角是（    ）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA8．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为3+1海里．观测站B到AC的距离BP是（   ）  A．3 B．1 C．2 D．3+12二、填空题9．在△ABC中，∠C=90°．(1)若AC=3，BC=4，则cosA=____，sinA=_____，tanB=_____；(2)若AB=15，sinA=13，则AC的长为______；(3)若AB=3，∠A=60°，则BC的长为_______．10．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=32，CD⊥AB于点D．若BD=23，则AD的长是 ．  11．如图，在矩形ABCD中，E是DC上一点，AE=AB，AB=2AD，则∠EBC的度数是 ．12．在边长为6的菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC、BD交于点O，点E是对角线BD上的点，且AE=2OE，则BE的长为 ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E在AB上，BE=2，点F在BD上，tan∠AEF=3，则EF= 14．如图，在龟山附近的小山AB的顶部有一座通讯塔BC，点A,B,C位于同一直线上．在地面P处，测得塔顶C的仰角为42°，塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为29米，则小山AB的高度为 米．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70,tan42°≈0.90．）15．“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒．16．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）三、解答题17．求下列各式的值：(1)2cos30°+2⋅sin45°-tan60°(2)tan45°+6cos45°-3tan230°18．解直角三角形(1)∠C=90°,AB=52,BC=5；(2)∠C=90°,AC=2,BC=6．19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，sinA=35．(1)求CD的长．(2)求tan∠DBC的值．21．图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=20cm，AD=50cm．(1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆CD的长度．（结果保留根号）(2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：5≈2.24）22．如图，已知直线y=2x+2与直线y=-2x+6相交于D，它们与x轴分别交于A，B两点，直线DF⊥x轴，交x轴于F，设点E是线段DF的中点，连接EB(1)求点D的坐标；(2)设G是线段EF上一点，如果∠GBF=∠DBE，求点G的坐标；(3)设点P为x轴上一点，∠DAO+∠DPO=θ，当tanθ=4时，求点P的坐标．23．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．(1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．(2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为8米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为多少？参考答案：1．解：由题意得：sinA=BCAB=610=35．故选：A．2．解：∵|cosA-12|+|tanB-33|=0，∴cosA=12,tanB=33，∴∠A=60°,∠B=30°，∴∠C=90°，即△ABC的形状是直角三角形．故选：A．3．解：设扶梯的长度为x米，由题意得，sin28°=7AB，解得AB=7sin28°,故选D．4．解：∵∠C=90°,∠B=42°,BC=8，∴AC=BC⋅tanB=BC⋅tan42°，∴用科学计算器求AC的长的按键顺序为：；故选D．5．解：∵∠BCA=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=BCAB=36=12，∴∠A=30°，∠ABC=60°，根据轴对称的性质可知：∠CBE=∠ABE=12∠ABC=12×60°=30°，∠D=∠A=30°，∴CE=BC⋅tan∠CBE=BC⋅tan30°=3×33=3，∵∠D=30°，∴DE=2CE=2×3=23，故选：C．6．解：如图，过点B作BC⊥AO于点C，连接AB并延长，过点O作OD⊥AB交AB延长线于点D，在Rt△ADO中，∵∠ADO=90°，AD=4，DO=2，由勾股定理可知：AO=AD2+DO2=25，同理，在Rt△BDO中，由勾股定理可知：BO=22，设CO=x，在Rt△BCO中，由勾股定理可知：BC2=BO2-CO2=222-x2；同理，在Rt△ACB中，AC2=AO-CO2=25-x2，AB=2，∴BC2=AB2-AC2=22-25-x2，∴222-x2=22-25-x2，∴8-x2=4-20-45x+x2，解得x1=655，即CO=655，∴BC=BO2-CO2=255，∴sin∠AOB=BCOB=1010，故选：D．7．解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角，∴从点P观测点B的俯角为∠CPB，故选：B．8．解：由题意得∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=15°+90°=105°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-105°=45°，过B作BP⊥AC，垂足为P，  ∴∠BPC=∠BPA=90°，∴∠PBA=90°-∠BAC=60°，∠CBP=∠ABC-∠PBA=45°，∴BP=CP，AP=BPtan30°，设BP=CP=x，则AP=3x，∴AC=CP+AP=x+3x=3+1，解得x=1，∴观测站B到AC的距离BP是1．故选：B．9．(1)35，45，34(2)102(3)33210．解：∵ sinB=32，∴∠B=60°，∵CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°-60°=30°，∴BC=2BD，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-60°=30°，∴AB=2BC，∴AB=4BD，∴AD=3BD=3×3=63．故答案为：63．11．解：∵AE=AB，AB=2AD∴AE=2AD∵四边形ABCD是矩形∴∠D=90°∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°∵cos∠DAE=ADAE=12∴∠DAE=60°∴∠BAE=30°∵AE=AB∴∠ABE=∠AEB=12180°-∠BAE=75°∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°．故答案为：15°．12．解：由菱形的性质可知，AC⊥BD，AB=BC，∵∠B=60°，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，∴△ABC为等边三角形，∴AO=CO=12AB=3，∴BO=DO=AB⋅cos30°=6×32=33．∵点E在对角线BD上，∴点E的位置有两种情况：①如解图①，当点E在BO上时，∵OEAE=sin∠OAE=12，∴∠OAE=30°，∴OE=AO⋅tan30°=3×33=3，∴BE=BO-OE=33-3=23；②如解图②，当点E在DO上时，由①可得OE=3，∴BE=BO+OE=33+3=43，综上所述，BE的长为23或43．故答案为：23或43．13．解：如图，作DM∥EF交AB于点M，则∠AMD=∠AEF，∵四边形ABCD是矩形，AD=6，tan∠AMD=AMAD=tan∠AEF=3，∴AM=2，∴由勾股定理得DM=AD2+AM2=210．∵AM=2，AB=8，∴BM=6，∵EF∥DM，∴△BEF∽△BMD，∴EFDM=BEBM=13，∴EF=2103．故答案为：2103．14．解：由题意可知，在Rt△PAC中，∵∠APC=42°，tan42°=ACAP，∴tan42°=AB+BCAP，∴AP=AB+BCtan42°，在Rt△PAB中，∵∠APB=35°，tan35°=ABAP，∴AP=ABtan35°，∴AB+BCtan42°=ABtan35°，∴tan35°⋅AB+tan35°⋅BC=tan42°⋅AB，∴tan42°-tan35°AB=tan35°⋅BC，∴AB=tan35°⋅BCtan42°-tan35°≈0.70×290.90-0.70≈102m，故答案为：102．15．解：作BD⊥AC于点D．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴∠DAB=30°∴AB=2BD=200（米），AD=AB2-BD2=1003（米），同理，CD=BD=100（米）．则AC=(100+1003)（米）．则平均速度是100+100310=10(3+1)=103+10（米/秒），故答案为：103+10．16．解：由题意得：AB=30（海里），AC⊥CE,在Rt△ACD中，∠CAD=45°，CD=80海里，∴AC=CDtan45°=80（海里）∴BC=AC-AB=80-30=50（海里），在Rt△BCE中，∠CBE=70°， ∴CE=BC⋅tan70°≈50×2.75=137.5（海里），∴DE=CE-CD=137.5-80=57.5≈58（海里），即乙船向正东方向航行了58海里，故答案为：5817．解：（1）2cos30°+2⋅sin45°-tan60°=2×32+2×22-3=1（2）tan45°+6cos45°-3tan230°=1+6×22-3×332=3218．（1）解：∵∠C=90°,AB=52,BC=5，∴AC=AB2-BC2=522-52=5，sinA=BCAB=552=22， ∴∠A=45°，∴∠B=∠C-∠A=45°；（2）解：∠C=90°,AC=2,BC=6，∴AB=AC2+BC2=22+62=22，tanA=BCAC=62=3， ∴∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°．19．解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，即∠ADC=∠ADB=90°，∵∠C=45°，AC=2，∴AD=AC⋅sin45°=2×22=2，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC=2，∵∠B=30°，∴BD=ADtan30°=233=6，∴BC=BD+DC=2+6．20．（1）解：∵DE⊥AB，AE=8，在Rt△ADE，sinA=DEAD=35，设DE=3x，AD=5x，由勾股定理可得DE2+AE2=AD2，即3x2+82=5x2，解得 x=-2（舍去）或x=2，∴DE=6，AD=10，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=6；（2）∵DE⊥AB，∠C=90°，CD=DE，又∵BD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BEDHL，∴BC=BE，设BC=BE=y，在Rt△ABC中，sinA=BCAB=BCAE+BE=y8+y=35，解得y=12，即BC=BE=12，∴在Rt△BCD中，tan∠DBC=CDBC=612=12．21．（1）解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，由题意得：AB=CE=10cm，BC=AE=20cm，∵AD=50cm，∴ED=AD-AE=50-20=30cm，在Rt△CED中，CD=CE2+DE2=102+302=1010cm，∴可伸缩支撑杆CD的长度为1010cm；（2）解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G，解：由题意得：AB=FG=10cm，AG=BF，∠AGD=90°，在Rt△ADG中，tanα=DGAG=34，∴设DG=3xcm，则AG=4xcm，∴AD=AG2+DG2=(4x)2+(3x)2=5xcm，∵AD=50cm，∴5x=50，解得：x=10，∴AG=40cm，DG=30cm，∴DF=DG+FG=30+10=40cm，∴BF=AG=40cm，∵BC=20cm，∴CF=BF-BC=40-20=20cm，在Rt△CFD中，CD=CF2+DF2=202+402=205≈45cm，∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为45cm．22．（1）解：由题意可得：y=2x+2y=-2x+6，解得：x=1y=4，∴点D的坐标为1,4．（2）解：∵直线DF⊥x轴，交x轴于F，∴点F的坐标为1,0，∵点E是线段DF的中点，∴点E的坐标为1,2，∴DE=2，∵直线y=-2x+6与x轴分别交于B点，∴B3,0，∴ FB=OB-OF=3-1=2，∴BD=3-12+0-42=25，BE=3-12+0-22=22，如图：过E作EI⊥BD于I，作EH⊥BG交BG延长线于H，∵12×25×EI=12×2×2，∴EI=255，∴sin∠DBE=EIBE=25522=1010；设G1,g，即GF=g，BG=3-12+0-g2=4+g2∵∠GBF=∠DBE，∴sinGBF=GFBG=sin∠DBE=1010，∴g4+g2=1010，解得：g=23（舍弃负值）；∴点G的坐标为1,23（3）解：∵直线y=2x+2 x轴交于A，∴A-1,0，即OA=1如图：连接OD,DF，若点P在点A的左侧，∵OF=1,DF=4,∴tan∠DOF=DFOF=4，即∠DOF=θ，∴∠DOF=∠DAO+∠ADO=θ，∵∠DAO+∠DPO=θ，∴∠OPD=∠ADO，∵∠AOD=∠DOP，∴△OAD∽△ODP，∴OAOD=ODOP，∴OD2=OA⋅OP，∴12+42=1⋅OP，即OP=17，∴点P的坐标为-17,0．同理可得：若点P在点A的右侧时，点P的坐标为19,0．综上，点P的坐标为-17,0或19,0．（1）解：根据题意，CD=3.5米，BD=6米，如图所示，连接AC并延长交BD延长线于点M，∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，∴CDDM=12，即3.5DM=12，∴DM=7（米），∴BM=BD+DM=6+7=13（米），同理，ABBM=12，∴AB=12BM=12×13=6.5（米）；（2）解：如图所示，延长AG交EF延长线于点N，过点G作GH⊥FN于点H，EF=8米，FG=4米，∠GFH=30°，∴在Rt△GFH中，FG=GH·sin30°=12GF=2（米），FH=GF·cos30°=32×4=23（米），∴GH=2（米），FH=23（米），∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，∴GHHN=12，即2FN=12，∴FN=4（米），∴EN=EF+FH+FN=8+23+4=12+23（米），在Rt△AEN中，AEEN=12，∴AE=12EN=12×12+23=6+3（米），∴树的高度为6+3米．题号12345678  答案AADDCDBB