第1章 直角三角形的边角关系 北师大版数学九年级下册达标测试卷(含答案)

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第一章 直角三角形的边角关系 达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 计算eq \r(2)sin 45°的结果等于(　　)A.eq \r(2) B．1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)2．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为70°，则梯子底端到墙脚的水平距离为(　　)A．5cos 70°米 B．5sin 70°米 C.eq \f(5,tan 70°)米 D.eq \f(5,cos 70°)米3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是(　　)A．tan A＝eq \f(5,12) B．tan A＝eq \f(5,13) C．sin A＝eq \f(5,12) D．cos A＝eq \f(5,12)4．如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sin α＝(　　)A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)5．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos B的值中，错误的是(　　)A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝eq \f(1,3)，则tan B的值是(　　)A.eq \f(2 \r(2),3) B．2 eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,3)7．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长BC为10 m，则大树的长为(　　)A．5 eq \r(3) m B．10 eq \r(3) m C．15 eq \r(3) m D．20 eq \r(3) m8. 如图为某大坝的截面示意图，迎水坡AB的坡比为1∶2，背水坡CD的坡比为1∶1，若坡面CD的长度为6 eq \r(2)米，则迎水坡AB的长度为(　　)A．4 eq \r(3)米 B．6 eq \r(3)米 C．6 eq \r(5)米 D．24米9．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为(　　)A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) C.eq \f(\r(3)＋1,3) D.eq \f(\r(3)－1,2)10.如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20 cm，AB＝160 cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度(点D到地面的距离)为(　　)A．80 eq \r(2) cm B．80 eq \r(3) cmC．(80 eq \r(2)＋20)cm D．(80 eq \r(3)＋10)cm二、填空题(每小题3分，共15分)11．计算eq \r(18)－4cos 45°的结果是________．12．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为1∶3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是______米．13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE＝4，cos A＝eq \f(3,5)，则菱形ABCD的周长为________．14．在△ABC中，若∠A，∠B满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos A－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin B－\f(\r(2),2)))2＝0，则∠C＝________.15．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B(0，eq \r(3))，点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是________．三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(10分)计算：(1)sin2 30°＋cos2 30°＋tan 30°tan 60°；　　(2)tan 45°sin 45°－2cos 30°cos 45°.17．(8分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝eq \f(1,5)，cos C＝eq \f(eq \r(2),2)，AC＝eq \r(2).求：(1)BC的长；(2)∠ADC的正弦值．18．(7分)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米到C处，测得条幅底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶eq \r(3)，且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，M，E，C，N在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41)19．(8分)项目化学习：小明的爸爸是测绘员，元旦期间，小明和爸爸带着经纬仪和无人机一起去郊外进行测绘实践活动，已知经纬仪的高度为1.5米．活动一：如图①，小明在点A处安置经纬仪，测得CD与水平线的夹角∠α＝30°，CD＝100米，则点D与点A的高度差为________米．活动二：小明想继续测量山坡两侧点N与点M的高度差，但因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，小明寻求爸爸的帮助，爸爸画出如图②所示的测绘图纸，在点M，N处分别安置经纬仪，将无人机悬停到遮挡区域上空，测得PG与水平线的夹角∠α1＝53°，QG与水平线的夹角∠α2＝27°，PG＝70米，QG＝90米．请你根据以上数据求点N与点M的高度差．(结果精确到0.1米．参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89)20．(8分)研学实践：塔山阻击战革命烈士纪念碑(图①)位于葫芦岛市区以东 12公里的连山区塔山乡塔山村，是“全国爱国主义教育示范基地”，同学们来到塔山阻击战革命烈士纪念碑所在地，利用无人机采集纪念碑主碑的相关数据．数据采集：如图②，先将无人机升至距离地面10 m高的点C处，测得主碑最高点A的仰角∠MCA为37°，再将无人机从点C处竖直向上升至距离地面 15.8 m高的点D处，测得点A的俯角∠NDA为45°.数据应用：已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求纪念碑主碑AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)21．(8分)请阅读下列材料，并完成相应的任务：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△BCD中，CD＝asin B，在Rt△ACD中，CD＝bsin A，∴asin B＝bsin A，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).任务：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)；(2)如图③，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求△ABC的面积．(结果保留整数．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9，eq \r(3)≈1.732)22．(13分)综合与实践：【问题情境】在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图①，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，请用含a，c及∠B的三角函数的式子表示b2.【实践操作】经过同学们的思考后，甲同学说：“要将锐角三角形转化为直角三角形来解决问题，并且不能破坏∠B，因此可以过点A作AD⊥BC于点D，如图②.”乙同学说：“要想得到b2，要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决．”【探索发现】(1)丙同学说：“那就要先求出AD＝________，BD＝________．”(用含c及∠B的三角函数的式子表示)(2)丁同学顺着他们的思路，求出b2＝AD2＋DC2＝____________(其中sin2B＋cos2B＝1)．【解决问题】(3)请利用丁同学的结论解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝5，求AC的长．23．(13分)综合与探究：图①是太原市某前后门都是大小相等的双开门型公共汽车，前门上车，后门下车；图②是此公共汽车后门开合过程中某一时刻的俯视示意图，AB，CD，BD表示门轴的滑动轨道，且AB⊥BD，CD⊥BD，EF，GH分别代表两扇门，E，G分别在AB，CD上以相同的速度滑动，带动F，H在BD上滑动；两扇门关闭时如图③，此时，点E与点B重合，点G与点D重合，点F与点H重合；两扇门完全开启时如图④，此时，点F与点B重合，点H与点D重合．已知EF＝GH＝50厘米．(1)某天因轨道润滑问题，后门最大只能开启到图②的位置，测得∠EFB＝∠GHD＝66.4°，求此时车门打开的宽度(即线段FH的长度)；(参考数据： sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，tan 66.4°≈2.29)(2)在(1)的情况下，后门每分钟可下乘客12名，若后门完全开启时，每分钟可下乘客18名，出现轨道润滑问题时，公交车距离终点站还有12千米，离规定到站时间还有1小时，已知公交车的平均速度为20千米/时，则本次公交车要晚到多长时间？答案一、1.B　2.A　3.A　4.C　5.C　6.B　7.B　8.C　9.D　10.D二、11.eq \r(2)　12.eq \r(10)　13.40　14.75°　15.(1，eq \r(3))三、16.解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(\r(3),3)×eq \r(3)＝2.(2)原式＝1×eq \f(\r(2),2)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),2).17．解：(1)作AH⊥BC于点H.在Rt△ACH中，∵cos C＝eq \f(CH,AC)＝eq \f(\r(2),2)，AC＝eq \r(2)，∴CH＝1，∴AH＝eq \r(AC2－CH2)＝1.在Rt△ABH中，∵tan B＝eq \f(AH,BH)＝eq \f(1,5)，∴BH＝5，∴BC＝BH＋CH＝6.(2)∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BC＝6，∴CD＝3，∴DH＝CD－CH＝2，∴AD＝eq \r(AH2＋DH2)＝eq \r(5).∴在Rt△ADH中，sin∠ADH＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(\r(5),5).即∠ADC的正弦值为eq \f(\r(5),5).18．解：如图，过点D作DH⊥AN于点H，过点E作EF⊥DH于点F，则∠AHD＝∠DHN＝∠DFE＝∠EFH＝90°.易知四边形EFHN为矩形，∴EN＝FH，EF＝HN.∵坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶eq \r(3)，∴易得EF＝10米，DF＝10 eq \r(3)米，∴DH＝DF＋FH＝DF＋EN＝DF＋EC＋CN＝10 eq \r(3)＋10＋20＝(10 eq \r(3)＋30)米．在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH×tan 30°＝(10＋10 eq \r(3))米，∴AN＝AH＋HN＝AH＋EF＝10＋10 eq \r(3)＋10＝(20＋10 eq \r(3))米．∵∠BCN＝45°，∴易得BN＝CN＝20米，∴AB＝AN－BN＝10 eq \r(3)≈17(米)．答：条幅的长度约是17米．19．解：活动一：51.5活动二：如图，过点G作GH⊥l于点H，过点P作PE⊥GH于点E，过点Q作QF⊥GH于点F，则∠PEG＝∠QFG＝90°.在Rt△PGE中，sin α1＝eq \f(GE,PG)，∴GE＝PG·sin α1＝70×sin 53°≈56(米)．在Rt△QGF中，sin α2＝eq \f(GF,QG)，∴GF＝QG·sin α2＝90×sin 27°≈40.5(米)，∴GE－GF≈56－40.5＝15.5(米)，即点N与点M的高度差约为15.5米．20．解：过点A作AF⊥DE，垂足为F.易知四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF.由题意知AF∥MC∥ND，∴∠CAF＝∠MCA＝37°，∠DAF＝∠NDA＝45°.设AF＝x m，在Rt△AFC中，∵tan ∠CAF＝eq \f(CF,AF)，∴CF＝AF·tan ∠CAF＝AF·tan 37°≈0.75x m.在Rt△ADF中，∵tan ∠DAF＝eq \f(DF,AF)，∴DF＝AF·tan ∠DAF＝AF·tan 45°＝x m.∵DF＋CF＋CE＝DE，CE＝10 m，DE＝15.8 m，∴x＋0.75x＋10≈15.8，∴x≈3.31，∴AF＝DF≈3.31 m，∴AB＝EF＝DE－DF≈15.8－3.31≈12.5(m)．答：纪念碑主碑AB的高度约为12.5 m.21．(1)证明：如图①，过点A作AF⊥BC于点F，则在Rt△ABF中，AF＝csin B，在Rt△ACF中，AF＝bsin C，∴csin B＝bsin C，∴eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C) .　　　(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.∴在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×eq \f(\r(3),2)＝40 eq \r(3)(m)．由题意易得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)，∴BC＝eq \f(AC·sin∠BAC,sin B)≈eq \f(80×0.9,0.8)＝90(m)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE≈eq \f(1,2)×90×40 eq \r(3)≈3 118(m2)．即△ABC的面积约为3 118 m2.22．解：(1)csin B；ccos B(2)a2＋c2－2ac·cos B(3)如图，延长BC，AD交于点E.∵∠B＝90°，∠BAD＝60°，∴∠E＝30°.∵AB＝4，∴AE＝2AB＝8.∵AD＝5，∴DE＝3.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°.∴易得CE＝2 eq \r(3).∴AC2＝CE2＋AE2－2CE·AE·cos 30°＝12＋64－2×2 eq \r(3)×8×eq \f(\r(3),2)＝28.∴AC＝2 eq \r(7)(负值已舍去)．23．解：(1)由题意得BD＝EF＋GH＝50＋50＝100(厘米)．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.在Rt△EBF中，∠EFB＝66.4°，EF＝50厘米，cos∠EFB＝eq \f(BF,EF)，∴BF＝EF·cos∠EFB＝50×cos 66.4°≈50×0.40＝20(厘米)．同理可得DH≈20厘米，∴FH＝BD－BF－DH≈100－20－20＝60(厘米)．答：此时车门打开的宽度(即线段FH的长度)约为60厘米．(2)设本次公交车要晚到x分钟，由题意，得12×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(60×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,20)))＋x))＝18×60×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,20)))，解得x＝12.答：本次公交车要晚到12分钟．题序12345678910答案