湖北省荆州市实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份湖北省荆州市实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的识别，理解并掌握一元二次方程的概念及一般表达式式是解题的关键．根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”及一般表达式即可求解．
【详解】解：A、整理得，，是一元二次方程，符合题意；
B、整理得，，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
D、当时，，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A ．
2. 二次函数 的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数y＝−（x＋2）2−1的顶点坐标为（−2，−1）．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
3. 若一元二次方程的一个根是0，则等于（ ）
A. B. 3C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根求参数，直接开方法法，理解一元二次方程的根的概念，掌握由一元二次方程的根求参数，直接开方法是解题的关键．
根据题意，把x=0代入计算可得，再直接开方，最后根据一元二次方程中二次项系数不能为0即可求解．
【详解】解：一元二次方程的一个根是0，
∴把x=0代入得，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
故选：B ．
4. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 7B. -7C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是解题的关键．根据题意，运用一元二次方程根与系数的关系“”即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
故选：B ．
5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且，计算即可．
【详解】∵一元二次方程有实根，
∴且，
解得，
故选A．
6. 若是方程的根，则的值为（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代入求值，理解并掌握方程的解，代数式的代入求值的计算是解题的关键．
根据是方程的根，可得，，再根据题意，把代数变形为，代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∵，
∴原式，
故选：D．
7. 荆州方特八月份共接待游客12万人次，十月份共接待游客25万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，设每月的平均增长率为，则九月的接待游客的数量为，十月的接待游客的数量为，由此即可求解．
【详解】解：八月份共接待游客12万人次，设每月的平均增长率为，
∴九月的接待游客的数量为，
∴十月的接待游客的数量为，
∵十月份共接待游客25万人次，
∴，
故选：A ．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，
选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，
选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，
选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意．
故选：C．
9. 二次函数为常数且中的与的部分对应值如下表：
给出了结论：
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③；
④二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析，二次函数图象的性质，理解表格，找出图象开口方向，与轴的交点，对称轴直线等知识是解题的关键．
根据表格信息，可得二次函数图象的增减性可得函数开口向上，函数有最小值，把点代入解析式得，运用待定系数法可得解析式，当x=1，函数取得最小值，可判定①；根据二次函数图象轴的交点，可判定②；根据可判定③；根据可判定④；由此即可求解．
【详解】解：把点代入解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为：，
当x=1，函数取得最小值，最小值为，故①错误；
∵图象开口向上，x=-1时，，时，，
∴当时，，故②正确；
∵当x=-1时，，
∴，故③正确；
∵当x=-1时，；当时，，
∴二次函数的图象与轴有两个交点，交点坐标为，
∴两个交点分别在轴两侧，故④正确；
综上所述，正确的有②③④，共3个，
故选：C ．
10. 已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( )
A. B. C. -kD. k
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴轴，从而可得，进而求解．
【详解】解：，
抛物线对称轴为轴，
，
将代入得，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 方程化成一般形式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】化为的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
12. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ .
【答案】（﹣2，0）
【解析】
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）
13. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二限交于点．若点的坐标为，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图：基本作图：作已知角角平分线；也考查了第二象限点的坐标特征，一元二次方程的解法．由作图知点P位于第二象限角平分线上，可得，再解方程并检验即可．
【详解】解：由作图知点P位于第二象限角平分线上，
∴，
∴，
解得：或，
当时，点的坐标为不符合题意，
当时，点的坐标为，符合题意，
∴．
故答案为：．
14. 已知函数图象与轴只有一个交点，则的值为_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．
【详解】解：当时，即，函数化为，此直线与轴只有一个交点；
当，当时，抛物线与轴只有一个交点，即，
解得：，
综上所述，值为或．
故答案为：或．
15. 一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．若已知方程的中点值是2，其中一个根是3，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解．先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出n，然后再计算即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
方程化为，
把代入得，
解得：，
∴．
故答案为：．
16. 已知一元二次方程的两根是，如果，那么的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由根的判别式结合二次根式有意义的条件可得，利用可得或或，再分情况讨论即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵有意义，
∴，
∵一元二次方程的两根是，
∴，，
∵，
∴或，
∴或或，
当时，不符合题意，舍去，
当，
∴，
解得：，不符合题意，舍去，
当，
∴，
解得：，
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解方程，一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 解方程
（1）
（2）．
【答案】（1），．
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键；
（1）先计算，再利用求根公式解方程即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
∴，．
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
18. 已知，二次函数．
（1）将函数关系式化为顶点式；
（2）利用描点法画出所给函数的图象（要求列表）；
（3）当时，观察图象，函数值的取值范围为__________．
【答案】（1） （2）作图见详解
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，配方法的运用，掌握配方法，二次函数作图的方法，根据图示求函数值的取值范围是解题的关键．
（1）运用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可；
（2）根据题意，令x=0，则，令，二次函数图象与轴的交点为，由（1）可得，顶点坐标为，由此描点连线即可作图；
（3）根据（2）中的图示可得，当时，，当时，，计算验证如此，由此即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：令x=0，则，令，则，
解得，，
∴二次函数图象与轴的交点为，
由（1）可得，顶点坐标为，
∴描点，连线如图所示，
【小问3详解】
解：由（1）可得，顶点坐标为，
∴二次函数的对称轴直线为x=1，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴函数的最大值为，当时，；当x=2时，；
∴当时，函数值的取值范围为，
故答案为：．
19. 向左或向右平移函数的图象，完成以下问题：
（1）将图象右平移4个单位长度，直接写出平移后函数图象的解析式，并概括三条该函数图象的性质；
（2）继续平移的图象，能使得到的新图象过点吗？若能，请求出平移的方向和距离．若不能，请说明理由．
【答案】（1），函数性质见解析
（2）函数向左平移或个单位．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，二次函数的性质；
（1）先得出平移后的解析式，再根据顶点式得出函数性质即可；
（2）设平移后的函数为，将代入求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：将图象右平移4个单位长度，平移后函数解析式为，
该函数图象的性质为：
①函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
②当时，函数最大值为，
③当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
【小问2详解】
能，设平移后的函数为，
将代入得：，
∴，
解得：或，
所以平移后的函数为或
即抛物线的顶点为或，
∴函数向左平移或个单位．
20. 、分别是方程的两个根，请完成以下问题：
（1）填空： _________；
（2）求值：
1）；
2）．
【答案】（1）
（2）1）；2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，
（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系即可得出结论；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得到、的值，
1）将化为，然后利用整体代入的方法计算即可；
2）先根据一元二次方程根的定义得到，则变形为，然后利用整体代入的方法计算即可；
解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，．
【小问1详解】
解：∵、分别是方程的两个根，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵、分别是方程的两个根，
∴，，，
1）；
2）∵，
∴，
∴
．
21. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板的直角顶点放在原点，三角板一个锐角顶点在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）二次函数解析式为
（2）在该抛物线上，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的特征，全等三角形的性质与判定，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再代入点A的坐标求解即可；
（2）如图所示，作轴，轴，垂足分别为D、C，通过证明，得到，求出，在中，求出当时，y值即可得到结论．
【小问1详解】
解：设该二次函数解析式为，
把代入中得：
，
∴，
∴该二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：在该抛物线上，理由如下：
如图所示，作轴，轴，垂足分别为D、C，
∴，
∵，
∴
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴在该抛物线上．
22. 已知四个点，抛物线经过其中三个点．
（1）点A在抛物线上吗？为什么？
（2）求与k的值．
【答案】（1）不在，理由见解析
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式；
（1）由的顶点坐标为，对称轴方程为直线，再结合点A的坐标进一步分析可得答案；
（2）由，在抛物线上，可得①，结合在抛物线上，再利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：∵的顶点坐标为，对称轴方程为直线，
而，，
∴线段的垂直平分线为直线，
∴，在抛物线上，
∴①，
∵，
∴抛物线的开口向下，
把代入可得：②，
联立①②可得：，不符合题意舍去，
∴点A不在抛物线上；
【小问2详解】
解：由（1）可得：把代入，
∴，
∵，
∴，，
综上：，．
23. 某村自助菜地去年种植南瓜20亩，总产量为，今年该村扩大了种植面积，并引进新品种，使南瓜总产量增长到．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，设今年平均亩产量的增长率为，试完成以下问题：
（1）去年种植南瓜的亩产量是____________；
（2）今年种植南瓜的面积是____________；（用含的式子表示）
（3）求今年平均亩产量的增长率．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）今年平均亩产量的增长率为．
【解析】
【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用；
（1）由总产量除以种植面积即可得到答案；
（2）由去年的种植面积乘以即可；
（3）由亩产量乘以种植面积等于总产量，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵某村自助菜地去年种植南瓜20亩，总产量为，
∴；
【小问2详解】
解：∵今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，设今年平均亩产量的增长率为，
∴今年种植南瓜的面积是亩；
【小问3详解】
解：由题意可得：，
整理得：，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴今年平均亩产量的增长率为．
24. 如图，抛物线与轴分别交于两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点，作CD垂直轴于点，连接，若，将沿轴向右平移个单位，当点落在抛物线上时，求的值；
（3）在（2）的条件下，当点第一次落在抛物线上记为点，点是抛物线上一点，试探究：在抛物线对称轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的值为或
（3）点的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到点的坐标，根据平移得到平移后点的坐标，根据点的纵坐标，代入抛物线可求出平移的距离，由此即可求解；
（3）由（2）可得点的坐标，分类讨论，①如图所示，当是平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴分别交于，两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式．
【小问2详解】
解：∵，且，
∴，且，
∴，
沿轴向右平移个单位，设平移后的点的对应点为，则点的纵坐标为，
∴把代入抛物线解析式，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或，
∵，
∴当点落在抛物线上时，向右平移或个单位，
∴的值为或．
【小问3详解】
解：抛物线解析式，
∴对称轴为，
∴设，
∵当点第一次落在抛物线上记为点，
∴由（2）可知，
①如图所示，当是平行四边形的对角线时，

设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
②当为平行四边形的对角线时，

同理：设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
③当为平行四边形对角线时，如图，

同理：设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类讨论等知识的综合是解题的关键．
…
-2
0
3
4
5
…
…
12
5
0
0
5
12
…
-2