山东省德州市三校联考2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 （解析版）-A4

这是一份山东省德州市三校联考2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 （解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小题正确；
②ax2+bx+c=0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误；
③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小题错误；
④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小题错误．
故选A．
考点：一元二次方程的定义．
2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：B．
3. 二次函数图象的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把二次函数化成一般形式，利用对称轴为直线x=求解即可.
【详解】∵=，
∴二次函数图象的对称轴是x==；
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴的计算，学会选择计算对称轴的基本方法是解题的关键.
4. 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案．
【详解】解：A．中，，不合题意；
B．中，，不合题意；
C．，，不合题意；
D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意；
故选：D．
5. 根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
6. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出二月份的营业额，三月份的营业额，然后根据一月份的营业额＋二月份的营业额＋三月份的营业额，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为，三月份的营业额为，
∴可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
7. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可．
【详解】解：根据函数图像可知，当时，，，
结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或，
故选：D．
8. 已知二次函数的图象经过点，，且，则的值可能是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线解析式可知抛物线的开口向下，对称轴为直线，由点A和点B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，然后结合即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，，
∵，
∴，
故选：D．
9. 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，顶点式与一般式互相转化等知识，先把二次函数的一般形式转化成顶点式，再根据平移的性质得出平移后的解析式，再把平移后的解析式化成一般形式即可得出答案．
【详解】解：
把它向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是 ，
即，化为一般形式为：，
故选：C．
10. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键．
根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可．
【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意；
C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
故选：B．
11. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（ ，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0，正确的有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0，与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＞0，故①正确，函数图象与x轴有两个不同交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故②正确，由图象可知，，则2b=﹣2a，2a+b=﹣b＞0，故③正确，由抛物线过点（﹣1，0），（0，﹣2），（2，0），可得：，解得：，∴ =，∴顶点坐标是（，﹣），故④错误，∴当x＜时，y随x的增大而减小，故⑤正确，当x=1时，y=a+b+c＜0，故⑥错误，由上可得，正确的是①②③⑤，故选B．
点睛：本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
12. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1，
即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=．
故答案选C ．
二、填空题
13. 抛物线的顶点坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤是解题的关键．将化为顶点式，即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
14. 定义新运算“”：对于任意实数，都有，例如．若，则它的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算，因式分解求一元二次方程的根，根据定义新运算的计算方法可得为，根据因式分解法即可求解．
【详解】解：∵，
∴得，，整理得，，
∴或，
解得，，
故答案为： ．
15. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称，
又，
∴函数的解析式为：，
∴，，，
∴，
故答案为：．
16. 如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为__________．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小.
【详解】解：如图，因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次，
所以.
17. 是方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根，求代数式的值，根据一元二次方程根的定义得，进而得出，然后整体代入计算即可．
【详解】∵a是方程的一个根，
∴，
即，
∴．
所以代数式．
故答案为：2025．
18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门．当羊圈的长为______米时，能围成一个面积为的羊圈？
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设羊圈的宽为米，则长为米，根据面积为列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设羊圈的宽为米，则长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，；
当时，；
即当羊圈的长为或米时，能围成一个面积为的羊圈，
故答案为：或
三、解答题（共78分）
19. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3）
（4），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）把9移到方程的右边，利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（2）把7移到方程的右边，利用配方法解一元二次方程即可．
（3）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
【小问2详解】
∴
∴，
【小问3详解】
∴
【小问4详解】
∴，
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）不存在
【解析】
【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k取值范围；
（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．
【详解】（1）∵原方程有两个实数根，
∴△≥0
即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ，
∴1﹣4k≥0，
∴k≤，
∴当k≤时，原方程有两个实数根；
（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立，
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，
由x1·x2-x12-x22≥0，
得3x1·x2-（x1+x2）2≥0
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，
整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立；
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴为______；
（2）当时求抛物线最大值（用含a的字母表示）
（3）若当时，的最小值是，求当时，的最大值；
【答案】（1）直线
（2）
（3）11
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．
（1）根据对称轴直线代入求解即可．
（2）根据二次函数解析式可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而增大．进而可得出当时y的值为最大值，代入求解即可．
（3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可．
【小问1详解】
解：抛物线对称轴为直线．
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线开口向上，
又对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而增大．
∴当时抛物线的最大值即当时，y的值，
此时
【小问3详解】
解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
又当时，的最小值是，
∴当时，，
即，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵当比当离对称轴直线近，
∴当时，取的最大值，
此时．
22. 云梦鱼面是湖北地区的汉族传统名吃之一，主产于湖北省云梦县，并因此而得名，1915年，云梦鱼面在巴拿马万国博览会参加特产比赛获优质银牌奖，产品畅销全国及国际市场．今年云梦县某鱼面厂在“农村淘宝网店”上销售云梦鱼面，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30元，为了扩大销售，4月准备适当降价．据测算每袋鱼面每降价1元，销售量可增加20袋．
（1）每袋鱼面降价5元时，4月共获利多少元？
（2）当每袋鱼面降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让厂家获利2860元？
【答案】（1）2700
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据总利润等于每袋的利润×销售量，即可求解；
（2）设每袋鱼面降价x元，根据总利润等于每袋的利润×销售量，列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解∶根据题意得：元，
答：每袋鱼面降价5元时，4月共获利2700元；
【小问2详解】
解∶设每袋鱼面降价x元，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
因为能尽可能让利于顾客，
所以x=3，
答：每袋鱼面降价3元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
23. 二次函数，其顶点的坐标为．是抛物线与x轴的两个交点（在右侧）
（1）求出图象与轴的交点的坐标；
（2）画出二次函数图像
（3）在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】对于（1），先将顶点坐标代入关系式，再令，可得答案；
对于（2），根据关系式画出抛物线即可；
对于（3），先求出，可知，即可得出y的值，再代入关系式得出答案．
【小问1详解】
∵二次函数图象的顶点坐标是，
∴．
令，则，
解得，
所以点；
【小问2详解】
如图所示．
【小问3详解】
设点P的坐标是，
根据题意得，
∴，
即，
解得或（舍），
∴，
解得或，
∴点P的是或．
【点睛】这是一关于二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了求二次函数关系式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，画二次函数的图象，选择适当的关系式是解题的关键．
24. 小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法．
如：解方程
解：原方程可变形为
，
直接开平方整理得：；
我们称小明的这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程变形为
，
直接开平方整理得：；
上述过程中的______；______；______；______．
（2）请用“平均数法”解方程：
【答案】（1）5，2，，
（2）；
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
【小问1详解】
解：
原方程可变形为
∴
∴
∴直接开平方整理得：；
∴，，，．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5，2，，．
【小问2详解】
原方程可变形为，
∴
∴
∴直接开平方整理得：；
25. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）【观察探究】
方程的解为：___；
（2）【问题解决】
若方程有四个实数根，分别为、、、．
①a的取值范围是___；
②计算___；
（3）【拓展延伸】
①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：
②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___．
【答案】（1）
（2）①；②0
（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；
（2）①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，即可求解；
（2）①由函数图象平移可直接进行求解；②结合函数图象可求解x的范围问题．
【小问1详解】
解：由题意及图象可看作直线与函数图象交点问题，如图所示：
∴方程的解为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程有四个实数根，则a的取值范围是；
故答案为：；
②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，
假设方程有四个实数根，从小到大分别为、、、，
∴，
∴；
故答案为：0
【小问3详解】
解：①由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：
；
②由图象可得：当时，自变量x的取值范围为．
故答案为：．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09